统计学第三章变量分布特征的描述

1、 第一节第一节 集中趋势的描述集中趋势的描述 第二节第二节 离中趋势的描述离中趋势的描述 第三节第三节 分布形状的描述分布形状的描述 第三章第三章 变量分布特征的描述变量分布特征的描述 第一节第一节 集中趋势的描述集中趋势的描述 一、集中趋势与平均指标一、集中趋势与平均指标 二、数值平均数二、数值平均数 三、位置平均数三、位置平均数 平均指标是将变量的各变量值差异抽象平均指标是将变量的各变量值差异抽象化、以反映变量值一般水平或平均水平的指化、以反映变量值一般水平或平均水平的指标，也就是反映变量分布中心值或代表值的标，也就是反映变量分布中心值或代表值的指标。指标。 平均指标的具体表现称为平均指标

2、的具体表现称为平均数平均数，平均，平均数因计算方法不同可分为数因计算方法不同可分为数值平均数数值平均数和和位置位置平均数平均数两类。两类。 2.2.加权算术平均数加权算术平均数 加权算术平均数是根据变量数列计算的，即以各组变量值加权算术平均数是根据变量数列计算的，即以各组变量值（或组中值）乘以相应的频数求出各组标志总量，加总各组标志（或组中值）乘以相应的频数求出各组标志总量，加总各组标志总量得出总体标志总量，再用总体标志总量除以总频数。总量得出总体标志总量，再用总体标志总量除以总频数。 若以若以 表示第组表示第组 的变量值（或组中值）（的变量值（或组中值）（=1，2，k），），以以 表示第表示

3、第i组的频数（组的频数（=1，2，k），以），以k表示分组数，则加表示分组数，则加权算术平均数的计算公式为：权算术平均数的计算公式为： = （可简记为（可简记为 ） ixiifx12121121kiikkikkiix fxxfffxffffiiix fxf3.3.算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质 各变量值与算术平均数的离差之和等于零，即：各变量值与算术平均数的离差之和等于零，即： =0 （对于简单算术平均数）（对于简单算术平均数） =0 =0 （对于加权算术平均数）（对于加权算术平均数） 2) 各变量值与算术平均数的离差平方之和为最小值，各变量值与算术平均数的离差平方之和为最小值，即：

4、即： = =最小值最小值 只有当只有当 时，等号成立。时，等号成立。()ixx()iix fx2()xxi2()xxi20()ixx0 xx4.4.算术平均数的优缺点算术平均数的优缺点 算术平均数具有以下几个优点：一是可以利用算术平均数具有以下几个优点：一是可以利用算术平均数来推算总体标志总量，因为算术平均数算术平均数来推算总体标志总量，因为算术平均数与变量值个数之乘积等于总体标志总量（变量值总与变量值个数之乘积等于总体标志总量（变量值总和）；二是由算术平均数的两个数学性质可知，算和）；二是由算术平均数的两个数学性质可知，算术平均数在数理上具有无偏性与有效性（方差最小术平均数在数理上具有无偏性

5、与有效性（方差最小性）的特点，这使得算术平均数在统计推断中得到性）的特点，这使得算术平均数在统计推断中得到了极为广泛的应用。三是算术平均数具有良好的代了极为广泛的应用。三是算术平均数具有良好的代数运算功能，可以进行代数计算。数运算功能，可以进行代数计算。 4.4.算术平均数的优缺点算术平均数的优缺点 算术平均数也有其局限性，主要表现在以下两算术平均数也有其局限性，主要表现在以下两个方面：一是算术平均数易受特殊值（特大或特个方面：一是算术平均数易受特殊值（特大或特小值）的影响，当变量存在少数几个甚至一个特小值）的影响，当变量存在少数几个甚至一个特别大或特别小的变量值时，就会导致算术平均数别大或特

6、别小的变量值时，就会导致算术平均数迅速增大或迅速变小，从而影响对变量值一般水迅速增大或迅速变小，从而影响对变量值一般水平的代表性；二是根据组距数列计算算术平均数平的代表性；二是根据组距数列计算算术平均数时，由于组中值具有假定性而使得计算结果只是时，由于组中值具有假定性而使得计算结果只是一个近似值，尤其是当组距数列存在开口组时，一个近似值，尤其是当组距数列存在开口组时，算术平均数的准确性会更差。算术平均数的准确性会更差。 常用常用的分位数有四分位数、十分位数和百分位数，的分位数有四分位数、十分位数和百分位数，他们分别是将数值序列他们分别是将数值序列4 4等分、等分、1010等分和等分和10010

7、0等等分的分的3 3个点、个点、9 9个点和个点和9999个点上的数值。其中四个点上的数值。其中四分位数第分位数第2 2点的数值、十分位数第点的数值、十分位数第5 5个点的数值个点的数值和百分位数第和百分位数第5050个点的数值，就是中位数。所个点的数值，就是中位数。所以，中位数就是一个特殊的分位数。以，中位数就是一个特殊的分位数。 根据中位数的原理，你能写出四分根据中位数的原理，你能写出四分位数的公式吗？位数的公式吗？ 反映了一组数据的集中程度日常生反映了一组数据的集中程度日常生活中诸如活中诸如“最佳最佳”、“最受欢迎最受欢迎”、“最满意最满意”等，都与众数有关系，它等，都与众数有关系，它反

8、映了一种最普遍的倾向。反映了一种最普遍的倾向。 根据单项式数列确定众数比较容易，只要找出出现频根据单项式数列确定众数比较容易，只要找出出现频数最多或出现频率最高的变量值即可。如果根据组距数最多或出现频率最高的变量值即可。如果根据组距式数列来确定众数，则先要找出频数最多的一组作为式数列来确定众数，则先要找出频数最多的一组作为众数组，然后运用公式来确定众数。众数组，然后运用公式来确定众数。 下限公式为：下限公式为： （式中式中 为众数组频数与下一组频数之差，为众数组频数与下一组频数之差， 为众数组频数与上一组频数之差；为众数组频数与上一组频数之差；L L、d d的含义与中位数公式的相同。）的含义与

9、中位数公式的相同。） 上限公式为：上限公式为： ( (式中式中U U的含义与中位数公式的相同。的含义与中位数公式的相同。) )oM1012LdM121012UdM 一般来说，平均数、中位数和众数一般来说，平均数、中位数和众数都是一组数据的代表，分别代表这都是一组数据的代表，分别代表这组数据的组数据的“一般水平一般水平”、“中等水中等水平平”和和“多数水平多数水平”。平均数涉及。平均数涉及所有的数据，中位数和众数只涉及所有的数据，中位数和众数只涉及部分数据。它们互相之间可以相等部分数据。它们互相之间可以相等也可以不相等，没有固定的大小关也可以不相等，没有固定的大小关系。系。 在一组数据中出现次数

10、最多的数就是这在一组数据中出现次数最多的数就是这组数据众数，众数和平均数一样，也是组数据众数，众数和平均数一样，也是描述一组数据集中趋势的统计量，但它描述一组数据集中趋势的统计量，但它和平均数有以下两点不同：一是平均数和平均数有以下两点不同：一是平均数只是一个只是一个“虚拟虚拟”的数，即一组数据的的数，即一组数据的和除以该组数据的个数所得的商，而众和除以该组数据的个数所得的商，而众数不是数不是“虚拟虚拟”的数，是一组数据中出的数，是一组数据中出现次数最多的那个数据，是这组数据中现次数最多的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据。真实存在的一个数据。 平均数的大小与一组数据里的每个数据平均数的

11、大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数大小的改变，而众数则仅与一组数平均数大小的改变，而众数则仅与一组数据的出现的次数有关，某些数据的变动对据的出现的次数有关，某些数据的变动对众数没有影响，所以在一组数据中，如果众数没有影响，所以在一组数据中，如果个别数据变动较大，但某个数据出现的次个别数据变动较大，但某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的组数据的“集中趋势集中趋势”比较合适。比较合适。 中位数是通过排序得到的，它不受最中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响。中大、最小两个极端数值的影响。中位数在一定程度上综合了平均数和位数在一定程度上综合了平均数和众数的优点，具有比较好的代表性。众数的优点，具有比较好的代表性。当一组数据中的个别数据变动较大当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中时，常用它来描述这组数据的集中趋势。趋势。 张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。起来算一算，人人都是张百万。对于这样的问题，不是对于这样的问题，不是“平均数平均数”的错，的错，也不是统计学的错，统计学中有现成解决也不是统计学的错，统计学中