第4章土中应力

1、4.1 概述概述4.2 土中自重应力土中自重应力 4.3 基底压力基底压力4.4 地基附加应力地基附加应力一、土中应力分类：按起因分自重应力与附加应力 u 自重应力由土体本身重量产生的应力称为自重应力。u 附加压力土体在外荷载作用产生，在土体中产生的应力增量。（包括建筑物荷载、车辆荷载、水流的渗透力、地震荷载等）。它是引起土体变形或地基变形的主要原因。u自重应力两种情况 （1）在自重作用下已经完成压缩固结，自重应力不再引起土体或地基的变形； （2）土体在自重作用下尚未完成固结，它将引起土体或地基的变形。u 土中某点总应力=土中某点的自重应力+附加应力4.1 概 述按应力传递方式分有效应力与孔隙

2、应力u 有效应力土粒所传递的粒间应力。u 孔隙应力土中水和气体所传递的应力。水传递的应力称为孔隙水压力；气体传递的应力称为孔隙气压力； 在饱和土中有孔隙气压力吗？二、土的特性及应力计算方法连续介质假设土是三相体，而不是连续介质，研究沉 降和承载力时认为土体是连续的；线弹性体假设土为非均质性和非理想弹性体的影响。 在实际工程中，外部荷载引起土中的应 力水平较低，应力与应变关系接近线性 关系，因而可采用弹性理论公式。均质、等向假设土体为各向异性，但当土层性质变化 不大时可看为均质、等向体。4.1 概 述4.1 概 述土中应力自重应力(geostatic stress)附加应力(additional

3、 stress)土体受自身重力作用而存在的应力土体受外荷载以及地下水渗流、地震等作用而附加产生的应力增量假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空间（half space），这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。计算方法应力符号约定正应力：压为正，拉为负剪应力：逆时针为正，顺时针为负应力沿坐标轴的方向与其作用面外法线沿坐标轴的方向一致时为正，否则为负应用弹性力学理论时应用摩尔圆时4.1 概 述土中应力0cxcyKz0zxyzxy天然地面z1线cz天然地面任意深度天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。处水

4、平面上的竖直自重应力。cycx、天然地面任意深度天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。处竖直面上的水平自重应力。K0土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测或经验公式确定。土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测或经验公式确定。如：如：zxyzxy、天然地面任意深度天然地面任意深度z处土单元体的剪应应力。处土单元体的剪应应力。001 sin1KK ，czzzczczzczAA?cz由土柱的重量由土柱的重量W=竖向应力合力竖向应力合力00AzAcz1004.2 土中自重应力4.2.1 均质土中自重应力注：注： （1）计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部）计算点在地下水位以下，

5、由于水对土体有浮力作用，则水下部分自重应力计算用分自重应力计算用有效重度（浮容重）有效重度（浮容重） 计算；计算； satw 浮重度（有效重度）: 土的有效重度:sat土的饱和重度:w水的重度（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即采用采用饱和容重计算饱和容重计算。4.2 土中自重应力4.2.1 均质土中自重应力地下水位面不透水层面h1h2h3h41233, 44,

6、 11h2211hh332211hhh1 122334434()whhhhhh3wh34()whhczczzniiih1cz 4.2.2 成层土中自重应力4.2 土中自重应力不透水层顶面及层面以下按上覆水土总重计算地下水下降，有效自重应力增大地下水下降，有效自重应力增大Zczhrwh原地下水位变动后地下水位4.2.3 地下水位升降时的土中自重应力h原地下水位变动后地下水位rwh地下水上升，有效自重应力减小地下水上升，有效自重应力减小讨论题：讨论题：地下水对地基的影响，利用及防治地下水对地基的影响，利用及防治4.2 土中自重应力4.2.4 土质堤坝自身的自重应力4.2 土中自重应力 土质堤坝的剖

7、面形状不符合半空间（半无限体）的假定，其边界条件以及路基、坝基的变形条件对堤坝自身的应力有明显影响，要严格求解其自重应力既困难又复杂。通常，为实用上的方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝，其自身任意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积，从临空点竖直向下堤身自重应力按直线分布例题例题31 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图21中。试计算地中。试计算地面下深度为面下深度为2.5m、5m和和9m处的自重应力，并绘出分布图。处的自重应力，并绘出分布图。 解解 本例天然地面下第一层粉土厚本例天然地面下第一层粉土厚

8、6m，其中地下水位以上和以下的厚度分别，其中地下水位以上和以下的厚度分别为为3.6 m和和2.4m，第二层为粉质粘土层。依次计算，第二层为粉质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例图各深度处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例图35中中。图图3-1柔性基础柔性基础（一）柔性基础（一）柔性基础 柔性基础的抗弯刚度很小，可以柔性基础的抗弯刚度很小，可以随地基的变形而任意弯曲随地基的变形而任意弯曲（a)荷载均布时，基底压力分布与荷载 形式一致。（b)沉降中央大，边缘小。要使沉降均匀， 基底应力 p(x,y)

9、=常数(a)(b)u基底压力基底压力作用于基础底面传至地基的单位面积压力，又称接触压力。作用于基础底面传至地基的单位面积压力，又称接触压力。u影响基底压力的分布和大小的因素影响基底压力的分布和大小的因素基础的埋深地基土性质荷载（大小、分布）基础（刚度）建筑物荷重建筑物荷重 基础基础 地基地基在地基与基础的在地基与基础的接触面上产生的压力接触面上产生的压力 （地基作用于基础底面的反力）（地基作用于基础底面的反力）4.3 基底压力4.3.1 基底压力的分布规律刚性基础刚性基础 刚性基础的抗弯刚度很大，受荷刚性基础的抗弯刚度很大，受荷后原来是平面的基底沉降后仍然保持后原来是平面的基底沉降后仍然保持平

10、面。基底压力分布形式有以下三种平面。基底压力分布形式有以下三种（二）刚性基础（二）刚性基础4.3 基底压力4.3.1 基底压力的分布规律圆形刚性基础模型底面反力分布图(a)在砂土上（无超载）（b)在砂土上（有超载）（c）在硬黏土上（无超载）（d）在硬黏土上（有超载）4.3 基底压力4.3.1 基底压力的分布规律抛物线形马鞍形布森涅斯克解布森涅斯克解假定：地基是半无限弹性假定：地基是半无限弹性体，基础底面没有摩擦力。体，基础底面没有摩擦力。2)/2(112)(BxBQxpxP(x)Bx = 0 x = B/2BQxp2)()(xp计算值实测值应力重分布（1）条形基础的接触压应力（2）长方形基础的

11、接触压应力）长方形基础的接触压应力222)/2(1)/2(114),(LyBxBLQyxpLyxQ（3）圆形基础的接触压应力）圆形基础的接触压应力22)/(112)(RrRQrpB简化计算简化计算pQ计算值计算值实测值实测值简化计算简化计算基底压力按直线分布简化计算4.3 基底压力4.3.1 基底压力的分布规律1. 中心荷载下的基底压力中心荷载下的基底压力FGdA=b lp室内地坪室内地坪室外地坪FGdp内墙或内柱基础内墙或内柱基础外墙或外柱基础外墙或外柱基础AGFpF上部结构作用在基础上的竖向力标准上部结构作用在基础上的竖向力标准组合组合G基础及其上回填土重基础及其上回填土重GGAd一般取3

12、20/GkN m地下水位以下应扣除水的浮力，取310/GkN mA基底面积基底面积, ,对于条形基础沿对于条形基础沿长度方向取长度方向取1 1单位长度的截条计单位长度的截条计算，此时公式中的算，此时公式中的l改为改为1 , ,F及及G则为基础截条的相应值。则为基础截条的相应值。A=b l计算地坪4.3 基底压力4.3.2 基底压力的简化计算2. 偏心荷载下的基底压力偏心荷载下的基底压力WMAGFppminmaxlbyxeF+Gel /6大偏心pmaxpmaxpmink3k=3(l / 2 e)61 (minmaxleAGFpp式中：式中：M作用于矩形基底力矩设计值作用于矩形基底力矩设计值 kN

13、.mW基础底面的抵抗矩基础底面的抵抗矩32,6mblW e偏心荷载的偏心矩偏心荷载的偏心矩m,GFMe在上式中，当在上式中，当 e=l/6时时，pmin=0当当el/6时时，pmin0，此时属于大偏心此时属于大偏心按下式计算按下式计算kbGFp3)(2maxM或4.3 基底压力4.3.2 基底压力的简化计算室内室外F=830kNGM1m0.7m0.6ml=3mb=1.5mF+Ge例：求M=200kN.m、600kN.m时的基底压力。解：3(kPa).1206(kPa).294 30.21611.535 .10383061m63)m(21. 05 .103830200kN)(5 .10315.

14、15 . 1320m)(15. 123 . 11mkN200) 1 (minmaxleAGFppGFMeAdGdMG属于小偏心荷载问题。pmaxpmin)kPa(4 .4825 . 186. 03)5 .103830(23)(2)m(86. 064. 0232m63)m(64. 05 .103830006mkN006)2(maxkbGFpelkGFMeM属于大偏心荷载问题。pmax3k=2.5m室内室外F=830kNGM1m0.7m0.6ml=3mb=1.5mF+Ge 矩形基础在双向偏心双向偏心荷载作用下，若 则矩形基底边缘四个角点处的压力可由下式计算yyxxWMWMAGFppminmaxyy

15、xxWMWMAGFpp21yxlbF+GMyMxpminpmaxp2p1式中式中Mx，My荷载合力分别对矩形基荷载合力分别对矩形基底底x，y对称轴的力矩，对称轴的力矩，kN.mWx，Wy基础底面分别对基础底面分别对x，y轴的轴的抵抗矩，抵抗矩，m3min0p2. 偏心荷载下的基底压力偏心荷载下的基底压力4.3 基底压力4.3.2 基底压力的简化计算FG天然地面基础底面dpp0cA基底压力AGFp基底平均附加压力00cpppd式中c0p p0 0 基底附加压力，由于建筑物的建设，基底在原自重应力基础基底附加压力，由于建筑物的建设，基底在原自重应力基础 上新增加的压应力上新增加的压应力,kPa,k

16、Pa。土中自重应力标准值，土中自重应力标准值，kPa基底以上土的天然土层重度的加权平均值，地下水位以下取有基底以上土的天然土层重度的加权平均值，地下水位以下取有 效重度。效重度。d d 基础埋深，从天然地面算起，基础埋深，从天然地面算起，m。4.3 基底压力4.3.3 基底附加压力c没有考虑基底土的回弹，是近似。浅基础可以，深基础为(0,1) ciiihh0M(x、y、z） 4.4 地基附加应力假设地基土为弹性半空间体假设地基土为弹性半空间体xzy半空间表面1885年，J. Boussinesq提出了公式求解弹性半空间表面作用一竖向集中力时地基中任意点的应力和位移解1882年，V. Cerru

17、ti提出了求解弹性半空间表面作用一水平集中力时地基中任意点的应力和位移解1936年，R. Mindlin提出了弹性半空间内某一深度处作用一竖向集中力时地基中任意点的应力和位移解yzxox y xy yz zx z pMxyzrRMxyxyyzzxz 4.4 地基附加应力4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力1. 布辛奈斯克解布辛奈斯克解22222yxrzyxRzyxzxxzzyxyyzyx直角坐标系下的应力分量xyzopRrzM(x,y,z)xy2352235223522/522/52252532323225223232252cos2323cos2323)()2(32123) 1)/(12

18、3)(2323)()2()(32123)()2()(32123RpxRxzpRpyRyzpzRRzRxyRxyzpzpzrzrzzpRzpzRRzRyzRRzRzRRzypzRRzRxzRRzRzRRzxpxzzxzyyzyxxyzyxz 4.4 地基附加应力4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力1. 布辛奈斯克（布辛奈斯克（Boussinseq）解）解式中：当z=0时, 地表沉降为地表沉降为E：土的弹性模量弹性模量，土力学中称为土的变形模量变形模量E0RRzEpuzRRyRyzEpuzRRxRxzEpuzyx1)1 (22)1 ()()21 (2)1 ()()21 (2)1 (3233

19、4.4 地基附加应力4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力Erpuz)1 (2 在地基上作用一集中力p=100kN，要求确定： （1）在地基中z=2m的水平面上，水平距离r = 0、1、2、3、4m处各点的附加应力 值，并绘出分布图； （2）在地基中r =0的竖直线上距地基表面z = 0、1、2、3、4m处各点的附加应力 值，并绘出分布图； zzz=2mp=100kN1m2m3m4m1m2m3m4m解解（1）由公式由公式计算表见下页，计算结果绘计算表见下页，计算结果绘于图中于图中11. 9（kPa)6.8kPa2.1kPa0.6kPa0.2kPa分布图z同理（同理（2）计算表见下页，计）计

20、算表见下页，计算结果绘于图中算结果绘于图中3kPa5.3kPa11.9kPa47.8kPa分布图zp=100kN例题例题（集中荷载作用下地基中的附加应力分布）（集中荷载作用下地基中的附加应力分布）22/5253) 1)/(12323zpzrRzpzExcel计算表计算表（1）在地基中）在地基中z=2m的水平面上，不同深度处的附加应力的水平面上，不同深度处的附加应力（2）在荷载作用点下不同深度处的附加应力）在荷载作用点下不同深度处的附加应力例题例题5323RzPz例题例题（3）取附加应力为10、5、2、1kpa，反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0的竖直线上的z值，并绘出4个附加应力等

21、值线。100KN510212/5221/123zrzpz在竖向集中力作用下，地基附加应力越深越小，越远越小，z=0为奇异点，无法计算附加应力 4.4 地基附加应力4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力1. 布辛奈斯克解布辛奈斯克解22/5253) 1)/(12323zpzrRzpz 4.4 地基附加应力4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力2. 等代荷载法等代荷载法niiiniiizpzzp12121zyxzxxzzyxyyzyx直角坐标系下的应力分量xyzophRrzM(x,y,z)xy53h23Rxzpzz 4.4 地基附加应力4.4.2 水平向集中力作用时的地基附加应力西罗提（西

22、罗提（Cerruti）解）解 4.4 地基附加应力4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力1、均布的矩形荷载、均布的矩形荷载角点下垂直附加应力角点下垂直附加应力1、均布的矩形荷载、均布的矩形荷载 4.4 地基附加应力dxdyzyxpzdz2/52223)(23l bAzzdxdyzyxpzd0 02/52223)(123)(arcsin)(2(222222222222222zbzllbzblzbzlzbllbzpz)(arcsin)(2(2122222222222222zbzllbzblzbzlzbllbzcbznblm,pcz令令l为长边b为短边角点应力系数角点下垂直附加应力角

23、点下垂直附加应力令令)1)(arcsin1)1)() 12(212222222222nnmmnmnnmnmmnc4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力pcz1、均布的矩形荷载、均布的矩形荷载 4.4 地基附加应力角点下垂直附加应力角点下垂直附加应力4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力任意点下垂直附加应力任意点下垂直附加应力（1）计算点在荷载面内）计算点在荷载面内（2）计算点在荷载面外）计算点在荷载面外ABDCFEIHGABCDEFGHJpHIGDcIFCGcEBFIcAEIHcHIGDzIFCGzEBFIzAEIHzIz)( ,pHDGJcHCFJcEAGJc

24、EBFJcHDGJzHCFJzEAGJzEBFJzJz)( ,1、均布的矩形荷载、均布的矩形荷载 4.4 地基附加应力4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力（3）计算点荷载面边缘）计算点荷载面边缘BCIE, zAEID, zI ,ZABCDIE（4）计算点在荷载面边缘外）计算点在荷载面边缘外HCFJzEBFJzDHJGzAEJGzJz,ABCDEFGHJ任意点下垂直附加应力任意点下垂直附加应力1、均布的矩形荷载、均布的矩形荷载 4.4 地基附加应力4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力4m5mF=1940kNP0=100kPad=1.5m1m1m1m1m1m1m

25、1m1m1m 以角点法计算图中矩形基础中心点下不同深度处的附加应力z解解 (1)计算基底附加应力计算基底附加应力p0基础及其上回填土的总重基础及其上回填土的总重kNAdGG6005 . 14520基底压力平均设计值基底压力平均设计值kPaAGFp1274560019400基底平均附加应力设计值基底平均附加应力设计值kPadpppc1005 . 118127000100kPa957554392821171391m例题例题注意到这是角点下的计算公式，按1/4面积计算，然后叠加。(2)计算基础中心点下不同深度处的附加应力计算基础中心点下不同深度处的附加应力例题例题32112)sin(2ApAApz角

26、点下中心点下zz4 中心点下角点下下面的Excel计算表中取)1)(arcsin1)1)()12(22222222222nnmmnmnnmnmmnpc例题例题Excel计算表计算表A4m5mF=1940kNP0=100kPad=1.5m1m1m1m1m1m1m1m1m1m95755439282117139 当有相邻基础如图, 面积 荷载相同, 求基础A中心线下的垂直附加应力.计算结果见图0.42.04.46.88.89.69.68.49.61m例题例题不考虑相邻基础影响的分布线考虑了相邻基础影响的分布线相邻基础的影响分布线 4.4 地基附加应力2、三角形分布的矩形荷载、三角形分布的矩形荷载角点

27、角点1下的垂直附加应力下的垂直附加应力4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力dxdyzyxbpxzdz2/52223)(23l bAzzdxdyzyxxbpzd0 02/52223)(23) 1()1 (122222221 ,nmnnnmmntbznblm,ptz1 , 1b为沿三角形分布荷载方向的边长角点1的应力系数角点角点1下的垂直附加应力下的垂直附加应力 4.4 地基附加应力2、三角形分布的矩形荷载、三角形分布的矩形荷载令令4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力角点角点2下的垂直附加应力下的垂直附加应力 4.4 地基附加应力2、三角形分布的矩形荷载、三角形

28、分布的矩形荷载pczptz1 , 1ptz2, 2=t,1c2t,=pt,22z,4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力 4.4 地基附加应力2、三角形分布的矩形荷载、三角形分布的矩形荷载4.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力lZbM（0，0，Z）p11122梯形分布矩形荷载下的附加应力梯形分布矩形荷载下的附加应力怎么计算？怎么计算？想一想：想一想：p2r0pozzz 4.4 地基附加应力 3、均布的圆形荷载、均布的圆形荷载ppzrrz232201114.4.3 竖向矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力 4.4 地基附加应力4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用

29、时的地基附加应力 1、线荷载、线荷载0sincos2cos2sincos2cos22112131yzxyxzyxzRpRpRpRp 4.4 地基附加应力 2、均布的条形荷载、均布的条形荷载l(510)b可看成是条形基础dpRpdxpcos1dpRpdz231cos2cos2)(cossincossin121122pz)()cos()sin(121212px1222sinsinpxy注意坐标设置Poxzzxpdx1312b1204.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力主应力大小主应力大小主应力方向主应力方向主应力线主应力线最大剪应力最大剪应力线线 4.4 地基附加应力 2、均布的条形

30、荷载、均布的条形荷载0031sinp2 )tan(22tan2121xzxy4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力 4.4 地基附加应力 2、均布的条形荷载、均布的条形荷载l(510)b可看成是条形基础pmmnmnmmnmnpsz2222211z16) 144() 144(4221tan221tan pmmnnmpsxz22222xz16) 144(32pmmnmnmmnmnpsx22222211x16) 144() 144(4221tan221tan bxnbzm 令令4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力 4.4 地基附加应力 2、均布的条形荷载、均布的条形荷载

31、pszzpsxxpsxzxz4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力 某条形基础底面宽度b=1.4m,作用于基底的平均附加应力p0=200kPa，要求确定（1）均布条形荷载中点下中点下地基附加应力 的分布图。 z（2）深度深度z=1.4z=1.4和和2.8m2.8m处水平面上 的 分布图。 z（3）在均布条形荷载边缘外荷载边缘外1.4m处地基下面的 分布图。zb=1.4m1.4m基底平面P0=200kPa1.4m2.8m6.0m2001641108061502924282723143.461437821106155412717例题例题 4.4 地基附加应力 2、均布的条形荷载、均布

32、的条形荷载有什么规律？4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力 按公式（3.6）计算，上面的计算中，L1，L2如图所示。L1L2212121() sin()cos()zp11arctanLz22arctanLzzxyBp pzP Px21解：解： 由公式（3.6） 每隔0.7m取一计算点，分别表算见下页，结果见图示。 4.4 地基附加应力4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力（1）计算中点下中点下地基中的附加应力 （2）计算z=2m深度处地基中的附加应力（3）计算深度z=2.8m处地基中的附加应力（4）计算x=2.1m不同深度处地基中的附加应力也可由公式求解pmmnm

33、nmmnmnpsz2222211z16) 144() 144(4221tan221tan u均布条形荷载下地基中附加应力分布规律：均布条形荷载下地基中附加应力分布规律：1、z不仅发生在荷载面积之下，而且分布在荷载面积以外相当大的范围之下，即地基附加应力的扩散分布；2、在离基础底面（地基表面）不同深度z处各个水平面上，以基底中心点下轴线处的z最大，随着距离中轴线愈远愈小；3、在荷载分布范围内任意点沿垂线的z值，随深度愈向下愈小。 3、三角形分布的条形荷载、三角形分布的条形荷载 4.4 地基附加应力4.4.4 竖向线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力 4.4 地基附加应力1、 矩形荷载blphABCDzzbznblmnmnmnnmmKpKhhhz,1121222222z4.4.5 水