工程力学—第二章平面汇交力系

1、 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于是指作用于物体上的各力的作用线位于同一平面内且汇交于一点的力系。同一平面内且汇交于一点的力系。汇交力系也称为共点力系汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理据力的可传性原理，将作用于，将作用于刚体上的各汇交力沿其作用线移至刚体上的各汇交力沿其作用线移至汇交点，即可形成汇交点，即可形成平面共点力系平面共点力系，并不影响其对刚体的作用效果并不影响其对刚体的作用效果。平面汇交力系平面汇交力系1 1、力的合成的几何法、力的合成的几何法cos2212221FFFFR

2、)180sin(sin1RFa.a.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：合力方向由正弦定理：由余弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则合成，由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。也可用力的三角形法则合成。BC 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 多边形多边形OABCOABC称力多边形称力多边形 力多边形与顺序无关力多边形与顺序无关，分力首尾相接为不封闭的力，分力首尾相接为不封闭的力多边形，合力矢沿相反方向连接力多边形的缺口多边形，合力矢沿相反方向连接力多边形的缺口（从第（从第一个力矢的始端到最后

3、力矢的末端）一个力矢的始端到最后力矢的末端），构成力多边形的，构成力多边形的封闭边。这种用力多边形求合力的作图方法，称为封闭边。这种用力多边形求合力的作图方法，称为力的力的多边形法则多边形法则。 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件AF2F4F3F1FRF2F1AF3F4FR1FR2FRF2AF4F3F1FR 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件FR O F1 F2 F3 Fn FR O F1 F2 F3 Fn 合力作用于刚体与原力系等效合力作用于刚体与原力系等效n1iin321RF.FFFFF如共线则大小

4、、方向如共线则大小、方向 取决于各分力的代数和取决于各分力的代数和求合力求合力,只需依次平移各力只需依次平移各力,使其首尾相接使其首尾相接,最后画出封闭边即可最后画出封闭边即可. 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件b. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成 ( 力多边形法）力多边形法）先作力多边形先作力多边形abcde再将再将R 平移平移至至 A 点点 即：平面汇交力系的即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的合力的作用线通过各力的汇交点。汇交点。即：FRnFFFFR321结论：结论：推广至推广至 n

5、 个力个力 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件c、平面汇交力系平衡的几何条件、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FR或或矢量和即合力矢量和即合力力多边形自行封闭力多边形自行封闭力系中各力的力系中各力的等于零。等于零。平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 inRFFFFF21F2F1AF3F4FR平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平

6、面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件10nRiiFF FF2F1AF3F4FR 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件2 2、解题步骤、解题步骤平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件A A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A60603030H HK K(c)(c)解：解：(1) (1) 取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4) (4) 解出：解出：NA=Pcos30NA=Pcos30

7、=17.3kN=17.3kN，NB=Psin30NB=Psin30 =10kN=10kN(2) (2) 画出受力图。画出受力图。(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、NA NA 和和NB NB 的闭合力三角形。的闭合力三角形。 例题例题 水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方向与，方向与梁的轴线成梁的轴线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定铰链支座所示，试求固定铰链支座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。 平面汇交力系合成的几

8、何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)解：解：(1) (1) 取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。(2) (2) 画出受力图。画出受力图。P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、S SB B 和和N ND D 的闭和力三角形。的闭和力三角形。例题例题 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到

9、制动蹬上的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成 =45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水平，水平，ADAD铅铅直，试求拉杆所受的力。已知直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上 ，又，又B B、C C、D D都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不计。自重不计。平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5） 代入数据求得：代入数据求得：

10、S SB B=750 N=750 N。（4 4）由几何关系得：）由几何关系得： 由力三角形可得：由力三角形可得：O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件577. 0)(tg22hrhrr又由几何关系：又由几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：tgPFcosPNBF=11.5kN , NB=23.1kN所以所以 由

11、作用力和反作用力的关系，由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍碾子对障碍物的压力等于物的压力等于23.1kN。平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 PABCD ， FAP.tanPFB50 PFPFBA2522 FBFA FB P平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件XFq定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。q大小计算：Fx=FcosFy=FcosFsinq正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负。q投影和分力关系：如将F沿坐

12、标轴方向分解，所得分力 、 的值与F在同轴上的投影Fx、Fy相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量。YF力在轴上的投影与合力投影原理力在轴上的投影与合力投影原理思考题思考题1：写出各轴上的投影计算式，判定正负。：写出各轴上的投影计算式，判定正负。 sincosFYFX思考题思考题2： 分析力的分力分析力的分力与投影有何不同？与投影有何不同？合力投影定理合力投影定理由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x轴和在轴和在y轴投影的和分别为：轴投影的和分别为： XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一：合力在任一轴上的投影，

13、等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。即：力在轴上的投影与合力投影原理力在轴上的投影与合力投影原理niiynyyyRyniixnxxxRxFFFFFFFFFF121121.合力的投影与各分力投影的关系：合力的投影与各分力投影的关系：2cos;cos2222通常：RRRYRRRxRyRxRFFyFFFFxFFFyFxFFF表达式：表达式：AF2F4F3F1FRxy力在轴上的投影与合力投影原理力在轴上的投影与合力投影原理合成的解析法合成的解析法FR= F1 + F2 + + Fn = FiAF2FnF3F1FRxyjiFRyRxRFF根据合矢量投影定理：根据合矢量投影定理：yiyn

14、yyRyxixnxxRxFFFFFFFFFF2121RRyRRRxRyixiRyRxRFFFFFFFFF),cos(,),cos()()(2222jFiF平面汇交力系合成的解析法与平衡的解析条件平面汇交力系合成的解析法与平衡的解析条件平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系中是：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和均等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和均等于零。平衡的必要和充分条件是：该力系的合力平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。等于零。 0)()(2222yixiRyRxRFFFFF00yixiFF

15、平面汇交力系合成的解析法与平衡的解析条件平面汇交力系合成的解析法与平衡的解析条件平面简单力系平面简单力系0)()(2222 yixiRyRxRFFFFF 00yixiFF1 1、平面汇交力系的平衡方程、平面汇交力系的平衡方程平面简单力系平面简单力系2 2、解析法解题步骤、解析法解题步骤几点说明：几点说明：平面简单力系平面简单力系 xy, 0, 0 yxFFPFPFBA21,25 FA FB PABCD0cos AFP0sin ABFF平面简单力系平面简单力系C0coscos, 00sin)(, 0 BABCyBCBAxFFFFFFF0cos, 0 CBMyFFF sin2FFFBABC cot

16、2cosFFFCBM BMFACFBBCF CBF 平面简单力系平面简单力系cm 24 EAOE246 tan OEDE 01.1441arctan N 750 sin180sin FFB 平面简单力系平面简单力系， 0 0 yxFF 045 sin sin 0 cos45 cos FFFFFDDB 969. 0 cos , 243. 0 sin,03.14 N 750 BF已知已知：45平面简单力系平面简单力系G,0,0 yxFF 030 sin30 cos FFFABBC030 cos60 cos FGFBCkN 45. 5 ABFkN 5 .74 BCF平面简单力系平面简单力系30,866.0 cos RhRGFFFFBAB cossinkN, 10sin FFBkN 34.11 cos BAFGF F平面简单力系平面简单力系kN 5 .11 tan GFkN 09.23 cos GFBkN 09.23 cos GFBF平面简单力系平面简单力系02 cos2 cos, 002 sin2 sin, 0 FFFFFFFADAByADABx 2 cos2 FFFADAB ABF22平面简单力系平面简单力系kN 166