16极限存在准则两个重要极限65346

1、12一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则3例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn注意注意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy4x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxx

2、xx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:am5例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnx6二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(

3、lim定义定义ennn )11(lim)71828. 2( e73.含三角函数的含三角函数的方法方法:“配配”1. 配配 sin2. 三相同三相同lim0 xsin xx0 x82. 趋势含含 的的 型型:)x(g)x( f )01(方法方法“配配”1. 倒数关系( 1+ x)x1或 ( 1+x1)x )01(3.三相同变化x( 1+ x)1x或( 1+1x)x9例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 10例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )

4、11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 11故极限存在，练习：练习：1.1.设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设axnnlim则由递推公式有1()2aaaaaa)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx12 2. 2. 设, ),2, 1(0iai证证: 显然,1nnxx证明下述数列有极限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即nx单调增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消” 法法13三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 14思考题思考题1、求极限、求极限