最新一轮北师大版理数学教案：第7章 第7节　空间向量在立体几何中的应用 Word版含解析

1、 第七节空间向量在立体几何中的应用考纲传真1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量l是空间一直线，a，b是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量(与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)(2)平面的法向量如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量(所有与直线l平行的非零向

2、量都是平面的法向量) 2夹角的计算(1)直线间的夹角设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角s1与s2的夹角s1，s2范围(0，)求法cos |coss1，s2|coss1，s2关系当0<s1，s2时，s1，s2；当<s1，s2<时，s1，s2(2)平面间的夹角已知平面1和2的法向量分别为n1和n2，当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当<n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2(3)直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为，则sin |coss，n|.1(思考辨析)判断下列结论的正误(

3、正确的打“”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改编)设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()a3b4c5d6c，则u·v2×62×(4)4t0，t5.3(20xx·全国卷)直三棱柱abc­a1b1c1中

4、，bca90°，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为()a.b c.dc建立如图所示的空间直角坐标系c­xyz，设bc2，则b(0,2,0)，a(2,0,0)，m(1,1,2)，n(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故bm与an所成角的余弦值cos .4如图7­7­1所示，在正方体abcd­a1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线on，am的位置关系是_图7­7­1垂直以a为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴

5、，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则a(0,0,0)，m，o，n，··0，on与am垂直5(20xx·唐山模拟)过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd，若abpa，则平面abp与平面cdp所成的二面角为_. 【导学号：57962357】45°如图，建立空间直角坐标系，设abpa1，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)，由题意，ad平面pab，设e为pd的中点，连接ae，则aepd，又cd平面pad，cdae，从而ae平面pcd.(0,1,0)，分别是平面pab，平面pcd的法向量，且，45°.故平面pa

6、b与平面pcd所成的二面角为45°.利用向量证明平行与垂直问题如图7­7­2所示，在底面是矩形的四棱锥p­abcd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.图7­7­2(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc.证明以a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，所以e，f，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0).3分(1)因为，所以

7、，即efab.又ab平面pab，ef平面pab，所以ef平面pab.6分(2)因为·(0,0,1)·(1,0,0)0，·(0,2,0)·(1,0,0)0，所以，即apdc，addc.9分又因为apada，ap平面pad，ad平面pad，所以dc平面pad.因为dc平面pdc，所以平面pad平面pdc.12分规律方法1.利用向量证明平行与垂直，充分利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键2运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何定理满足的条件，如用直线的方向向量与平面的法向量垂直

8、来证明线面平行，必需强调直线在平面外变式训练1(20xx·北京房山一模)如图7­7­3，四棱锥p­abcd的底面为正方形，侧棱pa底面abcd，且paad2，e，f，h分别是线段pa，pd，ab的中点图7­7­3求证：(1)pb平面efh；(2)pd平面ahf.证明建立如图所示的空间直角坐标系a­xyz.a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，h(1,0,0).3分(1)(2,0，2)，(1,0，1)，2，pbeh.pb平面efh，且eh平

9、面efh，pb平面efh.6分(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，·0×02×1(2)×10，9分·0×12×0(2)×00，pdaf，pdah.又afaha，pd平面ahf.12分线面角与异面直线所求的角角度1求异面直线所成的角将正方形abcd沿对角线ac折起，当以a，b，c，d四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线ad与bc所成的角为() 【导学号：57962358】a.b.c.dc不妨以abc为底面，则由题意当以a，b，c，d为顶点的三棱锥体积最大，即点d到底面abc的距离最大时，平面adc

10、平面abc.设点o是ac的中点，连接bo，do.则易知bo，co，do两两互相垂直以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令bocodo1.则o(0,0,0)，a(0，1,0)，d(0,0,1)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，于是(0,1,1)，(1,1,0)，因此cos，.所以异面直线ad与bc所成的角为.规律方法1.利用向量法求异面直线所成的角(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量1，2；(3)代入公式|cos1，2|求解2两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向

11、量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角角度2求直线与平面所成的角(20xx·全国卷)如图7­7­4所示，长方体abcd­a1b1c1d1中，ab16，bc10，aa18，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1ed1f4.过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 图7­7­4(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线af与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形ehgf如图所示.5分(2)作emab，垂足为m，则ama1e4，emaa18，因为四边形ehgf为正方形，所以ehefbc10.于是m

12、h6，所以ah10.以d为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系d­xyz，则a(10,0,0)，h(10,10,0)，e(10,4,8)，f(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8).8分设n(x，y，z)是平面ehgf的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以af与平面ehgf所成角的正弦值为.12分规律方法1.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影，直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余

13、角就是斜线和平面所成的角2(1)求直线与平面所成的角，不要误认为是直线的方向向量与平面法向量的夹角(2)若求线面角的余弦值，要利用平方关系sin2cos21求值.利用空间向量求二面角(20xx·全国卷)如图7­7­5，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，面abef为正方形，af2fd，afd90°，且二面角d­af­e与二面角c­be­f都是60°.图7­7­5(1)证明：平面abef平面efdc；(2)求二面角e­bc­a的余弦值解 (1)证明：由已知可得

14、afdf，affe，所以af平面efdc.2分又af平面abef，故平面abef平面efdc.4分(2)过d作dgef，垂足为g.由(1)知dg平面abef.以g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系g­xyz.6分由(1)知dfe为二面角d­af­e的平面角，故dfe60°，则|df|2，|dg|，可得a(1,4,0)，b(3,4,0)，e(3,0,0)，d(0,0，)由已知得abef，所以ab平面efdc.8分又平面abcd平面efdccd，故abcd，cdef.由beaf，可得be平面efdc，所以cef为二面角c

15、­be­f的平面角，cef60°.从而可得c(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面bce的法向量，则即所以可取n(3,0，).10分设m是平面abcd的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角e­bc­a的余弦值为.12分规律方法1.求解本题要抓住几点：(1)充分利用垂线，建立恰当的直角坐标系；(2)确定二面角d­af­e与二面角c­be­f的平面角；(3)从空间图形能判定二面角e­bc­a为钝角2利用向量计算二

16、面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小变式训练2 (20xx·郑州质检)如图7­7­6，在梯形abcd中，abcd，addccb1，bcd120°，四边形bfed为矩形，平面bfed平面abcd，bf1.图7­7­6(1)求证：ad平面bfed；(2)点p在线段ef上运动，设平

17、面pab与平面ade所成锐二面角为，试求的最小值. 【导学号：57962359】解(1)证明：在梯形abcd中，abcd，addccb1，bcd120°，ab2.bd2ab2ad22ab·ad·cos 60°3.ab2ad2bd2，adbd.2分平面bfed平面abcd，平面bfed平面abcdbd，de平面bfed，dedb，de平面abcd，则dead.又debdd，ad平面bfed.5分(2)由(1)知可建立以直线da，db，de为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令ep(0)，则d(0,0,0)，a(1,0,0)，b(0，0)，p(0，

18、1)，(1，0)，(0，1)设n1(x，y，z)为平面pab的法向量，由得取y1，则n1(，1，).10分n2(0,1,0)是平面ade的一个法向量，cos .0，当时，cos 有最大值.的最小值为.12分利用空间向量解决探索性问题如图7­7­7所示，正abc的边长为4，cd是ab边上的高，e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角a­dc­b，如图7­7­7所示(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；(2)求二面角e­df­c的余弦值；(3)在线段bc上是否存在一点p，使apd

19、e？证明你的结论图7­7­7解(1)如图，在abc中，由e，f分别是ac，bc中点，得efab.又ab平面def，ef平面def，ab平面def.3分(2)以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)，易知平面cdf的法向量为(0,0,2).5分设平面edf的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，二面角e­df­c的余弦值为.8分(3)设p(x，y,0)，则·y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，xy2.10分把y代入上式得x，在线段bc上存在点p，使apde.12分规律方法1.根据题目的条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论2假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在变式训练3如图7­7­8，在长方体abcd ­a1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点图7­7­8(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1