分数的意义加减和乘除

1、目 录第一节：分数的意义与性质 分数的意义 真分数、假分数、带分数（考点） 分数的性质（考点、重点） 第二节：分数的加减法 约分、通分、化简以及分数大小的比较（考点、重点） 分数与小数的互换（考点）第三节：分数的乘除法 分数的计算法则（考点、重点、难点） 分数的混合运算（考点、重点） 实际问题考点、重点、难点）第一节：分数的意义与性质知识点一、分数的意义1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。被除数÷除

2、数 = 用字母表示：a÷b= （b0）。4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。二、真分数和假分数1、真分数和假分数： 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。2、假分数与带分数的互化： 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。三、分数的基本性质1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做

3、分数的基本性质。四、约分1、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系： 所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。3、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。4、两个数互质的特殊判断方法： 1和任何大于1的自然数互质。 2和任何奇数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。 不相同的两个质数互质。当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。5、求最大公因数的方法： 倍数关系：最大公因数就是较小数。 互质关系：最大公因数就是1 一

4、般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。6、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。7、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）五、通分1、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。2、两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系：几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数。3、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。4、求最小公倍数的方法： 倍数关系： 最小公倍数就是较大数

5、。 互质关系： 最小公倍数就是它们的乘积。 一般关系： 大数翻倍（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）。5、分数的大小比较： 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。6、约分和通分的依据都是分数的基本性质。六、分数和小数的互化：1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；2、 分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留两位小数。）3、判断分数是否能化成有限小数的方

6、法： 判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数； 把分数的分母分解质因数:如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。典型例题：例一：七分之六里有（ ）个七分之一，1里面有（ ）个五分之一，4里面有几个三分之一。练习一1、十五分之七表示把（ ）平均分成（ ）份，表示这样的（ ）份。2、把一根5米长的绳子平均截成7段，每段是这根绳子的（ ），每段长（ ）米。3、把16块巧克力平均分给4位同学，则每人分得（ ）块，每人分得的巧克力是这盒巧克力的（ ）。4、一又五分之三的分数单位是（ ），它有

7、（ ）个这样的分数单位，再添上（ ）个这样的分数单位就是3。例二：读出下面的分数，再把它们分别写在下面的圈中。 真分数 假分数 带分数 练习二1、要使 九分之x 是真分数，八分之x 是假分数，x=（ ）。2、3块橡皮泥做了4个飞船模型，平均每个飞船模型用多少块橡皮泥？平均每块橡皮泥做多3、分母是11的真分数有（ ）个，假分数（ ）个。4、如三分之二、四分之三、五分之四。一百分之九十九，这样的分子分母相差一的分数，分子分母数字越大，这个分数就越大。5、写两个分数值是3的假分数（ ）（ ），写两个分母是9,分数值比1大又比2小的假分数（ ）（ ）。6、在 中，假分数有（ ），真分数有（ ）。7、自

8、然数a和b，当a（ ）b时， 是真分数，当a（ ）b时，是假分数； 当a（ ）b时，1 8 判断： 是真分数，那么a3（ ）9 判断： 是假分数，那么b5（ ）例三：1、把下面的假分数化成带分数或者整数。 2、把下面的带分数和整数化成假分数。 2 1 43、分数单位是的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）。八分之三的分子增加6，要使分数大小不变，分母要增加（ ）。练习三1、比八分之一大，比七分之一小的分数有多少个？举例。2、大小相等的两个分数，分数单位必须一样么？3、三分之二和一百分之三，谁的分数单位大？4、三分之二和十五分之十，（ ）相同，（ ）不同。5、把下列假分数化

9、成整数或带分数 6、把下列各数化成假分数 7、 填上适当的数字。 8、 写出分母是5的所有真分数 。9、写出分子是7的所有真分数 。例四：1、把的分子扩大3倍，要使分数的大小不变，它的分母应该（ ）2、把的分母缩小4倍，要使分数的大小不变，它的分子应该（ ）3、把一个分数的分子扩大5倍，分母缩小5倍，这个分数的值就（ ）4、的分母增加14，要使分数的大小不变，分子应该增加（ ）5、 6、（1）把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数。 （2）在下面的括号里填上适当的数 = = = =练习四1、在里填上适当的运算符号，在里填上适当的数。 2÷2、把下列分数化成分母是10而大小不变的分

10、数。 2、 判断（对的打“”，错的打“×” ）1、 分数的分子和分母乘上或除以一个数，分数的大小不变（ ）2、 分数的分子和分母都乘上或除以一个相同的自然数，分数的大小不变（ ）3、 分数的分子和分母加上同一个数，分数的大小不变（ ）4、 一个分数的分子不变，分母扩大3倍，分数的值就扩大4倍（ ）5、 将变成 后，分数扩大了4倍（ ）6、 的分子扩大3倍，要使分数大小不变，分母要乘上3（ ） 第三讲分数的乘除法（一）、分数乘法的意义。（只看第二个因数） 1、分数乘整数（第二个因数为整数时）：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数和得简便运算。 求一个分数的几倍是多少

11、 求几个相同分数的和是多少，就用这个分数乘”几“ 例如：×3，表示：3个相加是多少，还表示的3倍是多少。 2、一个数（小数、分数、整数）乘分数（第二因数为真分数时）：一个数乘分数的意义与整数乘法的意义不相同，是表示这个数的几分之几是多少。例如：6×，表示：6的是多少。 ×，表示：的是多少。3、一个数（小数、分数、整数）乘分数（第二因数为大于1的分数时）：一个数乘分数的意义与整数乘法的意义也不相同，是表示这个数的几倍是多少。例如：×1，表示：的1倍是多少。（二）、分数乘法的计算法则：1、分数乘整数的运算法则是：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。带

12、分数乘整数的计算方法，先把带分数化成假分数，再按照分数乘整数的方法进行计算注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（分母和整数约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（计算结果必须是最简分数）2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。用字母表示为x=(a不等于0，c不等于0)（分子乘分子，分母乘分母）分数乘分数的计算方法也适用于小数乘分数，先把小数化成分数，再计算。分数乘分数，这里的分数也可以是带分数，先把带分数化成假分数，再计算。分数乘分数的计算方法同样适用于分乘整数，先把整数化成分母是1的分数，再计算。注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要

13、先把带分数化成假分数再计算。（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。（三）积与因数的关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a.一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b<1时，c<a(b0).一个数（0除外）乘等于1

14、的数，积等于这个数。a×b=c,当b=1时，c=a.0乘任何数都得0注：1.在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。（希望同学们好好理解）（四）分数乘法混合运算1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a

15、5;(b±c)=a×b±a×c（五）、解决实际问题。1分数应用题一般解题步行骤。（1）找出含有分率的关键句。（2）找出单位“1”的量（3）根据线段图写出等量关系式：单位“1”的量×对应分率=对应量。（4）根据已知条件和问题列式解答。2乘法应用题有关注意概念。（1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少？（2）找单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，注意“的”前“比”后的规则。当句子中的单位“1”不明显时，把原来的量看做单位“1”。（3）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几，甲比乙少几分之几表示甲比乙少数占乙的几

16、分之几。（4）在应用题中如：小湖村去年水稻的亩产量是750千克，今年水稻的亩产量是800千克，增产几分之几？题目中的“增产”是多的意思，那么谁比谁多，应该是“多比少多”，“多”的是指800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克多几分之几，结合应用题的表达方式，可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻的亩产量多几分之几？”（5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。（6）当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之几”、 “甲

17、比乙少几分之几”的形式。（7）乘法应用题中，单位“1”是已知的。（8）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是比较，单位一致”的规则。（9）找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单位“1”是最后一步用除法，其余计算应在前）。 单位“1”×分率=比较量 ； 比较量÷分率=单位“1”（10）单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分率的单位“1”，然后再相加减。（11）单位“1”的特点： 单位“1”为分母； 单位“1”为不变量。（12）分率与量要对应。多的对应量对多的分率

18、；少的对应量对少的分率；增加的对应量对增加的分率；减少的对应量对减少的分率； 提高的对应量对提高的分率； 降低的对应量对降低的分率；工作总量的对应量对工作总量的分率； 工作效率的对应量对工作效率的分率；部分的对应量对部分的分率；总量的对应量对总量的分率；例如：1、求一个数的几分之几是多少？（求一个数的几分之几用乘法计算） 方法：单位“1”的数量×对应分率=对应数量。2、分数的连乘。找到每一个分率的单位“1”。分数的意义与性质及应用题专项训练一、列式计算。1、（1）60吨的是（ ）吨？（2）（ ）吨的是60吨？（3）60吨是（ ）吨的？2、（1）50千克的是（ ）千克？（2）

19、（ ）千克的是50千克？（3）50千克是（ ）千克的？3、（1）的的（ ）？（2）是的（ ）？ （3）（ ）的是？（4）（ ）的是？（5）是（ ）的？4、（1）多少米的是米？（2）一个数的是，这个数是多少？（3）平方米的是多少？（4）升是多少升的？（5）公顷是公顷的多少？5、（1）把5米长的绳子平均分成8段，每段是这根绳子的几分之几？每段长多少米。（2）幼儿园把千克的糖果平均分给5个小朋友，每人分得这些糖果的几分之几？每人分得多少千克？（3）一堆沙子吨，一个星期运完，平均每天运这堆沙子的几分之几？平均每天运多少吨？（4）把米长的绳子平均分成10段，每段是这根绳子的几分之几？每段长多少米？二、解

20、决实际问题。1、（1）平行四边形的底是米，高是米。面积是多少平方米？ （2）平行四边形的底是米，高是底的，高是多少米？（3）平行四边形的底是米，高是底的。面积是多少平方米？（4）平行四边形的面积是平方米，高是米，底是多少米？（5）平行四边形的底是米，是高的，高是多少米？（5）平行四边形的底是米，是高的。面积是多少平方米？2、（1）果园里有梨树120棵，桃树棵数是梨树的，果园里有桃树多少棵？（2）果园里有梨树120棵，桃树棵数是梨树的，苹果树棵数是桃树的，苹果树有多少棵？（3）果园里有桃树96棵，苹果树棵数是桃树的。果园里桃树和苹果共有多少棵？（4）果园里有梨树120棵，是桃树棵数的，果园里有桃

21、树多少棵？（5）果园里有苹果树80棵，是桃树棵数的。果园里苹果树和桃树共多少棵？（6）农场有桃树96棵，是梨树棵数的，苹果树棵数是梨树的，农场有苹果树多少棵？（7）园艺场里银杏树的棵数是柳树的，是广玉兰棵数的，柳树有160棵，园艺场里有广玉兰多少棵？（8）公园里有月季花90棵，正好是郁金香的，兰花的棵数是郁金香的，郁金香有多少棵？3、（1）食堂运来大米500千克，运来的面粉比大米少，运来的面粉比大米少多少千克？（2）食堂运来大米500千克，运来面粉是大米的，运来的蔬菜是面粉的，运来蔬菜多少千克（3）食堂运来大米300千克，运来的面粉是大米的，运来大米和面粉共多少千克？（4）食堂大米比面粉多，正

22、好多300千克，食堂面粉有多少千克？（5）食堂运来大米250千克，是运来面粉的，运来的蔬菜是面粉的，运来蔬菜多少千克？ （6）食堂里大米的是200千克，用去这些大米的，用去大米多少千克？（7）食堂运来大米200千克，是运来面粉的，运来大米和面粉共多少千克？（8）食堂有大米吨，第一天用掉，是第二天用掉的，第二天用掉多少吨？（8）食堂有一批面粉，蒸馒头用去吨，正好是做面条的，做面条用去的面粉是做糕点的，做糕点用去面粉多少千克？4、（1）一台织布机小时可以织布米。1小时织布多少米？织1米布需要多少小时？（2）一辆汽车小时行驶20千米。1小时行驶多少千米？行驶1千米需要多少小时？（3）一台拖拉机小时耕

23、地公顷。1小时耕地多少公顷？耕1公顷地需要多少小时？（4）吨菜籽可以榨油吨。榨1吨有需要多少吨菜籽？每吨菜籽可以榨多少吨油？5、（1）一块三角形钢板，底是米，高是米。面积是多少平方米？（2）一块三角形布料，它的面积是平方米，底是米，高是多少米？（3）公园里有一片三角形草地，面积是平方米，高是米，底是多少米？6、（1）每台收割机1小时收割公顷稻田，4台这样的收割机，小时收割稻田多少公顷？（2）一块地公顷，用3台拖拉机来耕，小时可以耕完。平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷？（3）2台织布机小时共织布米，每台织布机每小时织布多少米？ （4）学校运来吨煤，用去吨后，又用去余下的，又用去多少吨？（5）面粉

24、厂小时生产面粉吨。照这样计算，小时生产多少面粉？分数乘法除法训练题一、填空 22分1、一根电线长5米，如果用去，还剩全长的（ ），如用去米，还剩（ ）米。2、50人的是35人； 米是( )米的； ( )米是20米的。3、苹果树的棵树相当于梨树的，是把（ ）看作单位“1”的量，若苹果树有120棵，梨树有（ ）棵；若已知梨树有120棵，苹果树有（ ）棵。4、 35平方米=（ ）平方分米 25分钟=（ ）时5、4÷5 = = = 20 ：（ ）=（ ）小数6、 : 的比值是（ ） , 24 : 1.5的比值是（ ） 。 ：化成最简整数比是（ ）, 2.5 ：1.25化成最简整数比是（ ）。

25、7、一辆小轿车每行6千米耗油 千克，平均每千克汽油可以行驶（ ）千米，行1千米要耗油（ ）千克。8、某厂男、女工人数比是7 ：8，那么女工人数相当于男工的；女工人数占全厂总人数的。9、单独行完同一段路，甲车用5小时，乙车用4小时。甲、乙两车的时间比是（ ： ），速度比是（ ： ）。10、一个三角形的三个内角度数的比是2：3：5，它最大的内角是（ ）度，这是一个（ ）三角形。二、计算：40分1.直接写数：5分7 × = ÷ 6 = ÷ = 1.6 ÷ 0.7 = 1÷3×=÷ = ÷ = × 0.15 = ÷ = ×÷×=2.巧算: 8分（ + ）× 48 97× (-) ÷ ÷23×3.脱式计算: 9分× 3 ÷ ÷ ÷ （×）÷ 4.求X. 6分：X = X X = （+ ）X