普通高等学校招生考试四川卷(文数).doc

1、2009年高考数学试题四川卷(文)全解全析一、选择题(5X 12= 60分)1、设集合S 匚= x 1 x <5 , T =x I (x+7) (x_3) <0 .则 ScTA. x I 7 Vx v 5 B.C. x I 5 V x v 3D.【答案】C【解析】S 二 x | -5 c x , T = x I 3 v x v 5 x 7 v x vI - 7 £ X 3 S T = x一 5 v x v 32、函数 y = 2X1 (x R)的反函数是A. y = 1 log 2 x(x 0)B, y 二 log 2 (x -1) ( x 1)C. y 1 log 2

2、x(x 0)D, y 二 log 2 (x 1) (x -1)【答案】C【解析】由y=2、十二x +1 = log 2 y二x 二+log 2 y,又因原函数的值域是y > 0 ,其反函数是y 1 log2 x(x - 0)3、等差数列 &的公差不为零，首项ai= 1, d2是印和的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为d,则(1 d)2 =1 (1 4d). d工0,解得d=2, S10=100 4、已知函数f (x)=sin(x-)(x-R),下面结论错误 的是A.函数f (x)的最小正周期为 2二B.函数

3、f (x)在区间0,孑上是增函数C.函数f (x)的图象关于直线x 0对称D. 函数f (x)是奇函数【答D案】 U解31析 f(x)二sin(x - 3)-" B C均正确，故借法的是D【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。J5 _10.618,这种矩形给人以美感,5、设矩形的长为a,宽为b,其比满足b : a二称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.595 0.639乙批次：0.6180.6130.5920.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均

4、数，与标准值 0. 618比较，正确结论是A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲批次的平均数为0. 617,乙批次的平均数为0. 613【备考提示】用以上各数据与0.618 (或0.6)的差进行计算，以减少计算量，说明多思则少算。6、如图，已知六棱锥P - ABCDEF的底面是正六边形，PA 一平面ABC, PA二2AB则下列结论正确的是A. PB _ ADB. 平面PAB 平面PBCC. 直线BC 平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45

5、76;【答案】D【解析】/ AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB1平面PAE所以平面PAB 平面PBC也不成立；BC/ AD平面PAD,二直线BC 平面PAE也不成 立。在Rt PAD中，PA= AD- 2AB, /-Z PDA= 45° . / D 正确7、已知 a , b , c , d 为实数，且 c > d .则a > b ”是a cb - d ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】显然，充分性不成立.又，若a c>b d和c> d都成立，则同向不等式相加得a >

6、; b即由 “ a c > b d " = “a > b " 2 2X y8、已知双曲线 2 = 1 (b 0)的左、右焦点分别是Fi、F2,其一条渐近线方程为y二x ,2 b占八、PC、3, yo ）在双曲线上则PF1 PF2 =A. 12B. 2 C. 0 D. 4【答案】C【解析】由渐近线方程为y二x知双曲线是等轴双曲线，.双曲线方程是 /=/ 二 2于是两焦点坐标分别是(一2, 0)和(2, 0),且P(V3, 1)或P(J31).不妨去P(J3, 1),则PR =(-2-PF2 =(2 .3,-1)PRPF2(_2 一 .、3, 1) (2 、3, _

7、1) = _ (2 . 3) (2-.3)仁 09、如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，/ABC =90球心0到平面ABC的距离是一，则B、C两点的球面距离是JiA.B.二D. 2X 口 案】 【解 析】 点。是AC的/ AC是小圆的直径。所以过球心。作小圆的垂线，垂足0-=n,AC = 3.2,3, BC二即 BC二 OB二 OCoJiBOC 3，则B、C两点的球面距离二-3二二A原料3吨,B原料2吨；生5万元，每吨乙310、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润 产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗

8、A原料不超过13吨，B原料不超过18吨那么该企业可获得最大利润是A. 12万元【答案】DB. 20万元C. 25 万元D. 27 万7EA原料B原料甲产品X吨3x2x乙产品y吨y3y匚R Y ndi 止南7/R v血iy >0则有：o3x +y 兰 132x 3y 空 18目标函数z =5x 3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知:当x=3, y=5时可获得最大利润为27万兀，故选D3位女生中有且只有两 位11、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端, 女生相邻，则不同排法的种数是A. 60【答案】BB. 48C. 42D. 36【解析】解法一、从3名女生

9、中任取2人“捆”在一起记作A, （ A共有C； A； =6种不同排法），剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在 两端的要求）此时共有6X 2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的 三个元素中选出 四个位置插入乙，所以，共有12X 4= 48种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A, （A共有C； A； =6种不同排法），剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分 三类情况:第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中

10、间，共有6A； A；=24种排法;第二类：“捆绑” A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A；=12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。D.1，则有：（2） （ - f（X）是偶函数，则此时共有6A；=12种排法三类之和为24+ 12 + 12=48种。且对任意实数 X都有12、已知函数f （X）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,5xf (x 1) = (1 x) f (x),则 f ()的值是1A.C. 1u 【答案】一,、1X【解析】若X至0,则有f (x1)=f(x),取1-2f (2) 1心去“纭）1由此得f （&#

11、177;） =0 1飞f” d12 f(?) =5 f(3) =5 f(1) =5L2323231 12f(_)=5f(-) = 01 2 222009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第H卷考生注意事项：请用0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上.13.抛物线于二4x的焦点到准线的距离是.【答案】2【解析】焦点F (1, 0),准线方程x = -1 ,焦点到准线的距离是21 614. (2x>的展开式的常数项是(用数字作答)w-2xm【答案】-20【解析】Tr i=(

12、-l)rC； (2x)6J (±)r =(1)匕26'、2; 令 6-2r =0,得 r = 3 2x33故展开式的常数项为(T) C6 - -2015.如图，已知正三棱柱ABC - AEG的各条棱长都相等， 材是侧棱CG的中点，则异面直线AB和BM所成的角的大小是。【答案】90°【解析】作BC的中点N,连接AN,则AN，平面BCQBi,连接BN,贝uBiN是ABi在平面BCCB的射影， BiN ± BM , ABiJLBM.即异面直线AB】和BM所成的角的大小是90°16设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f : V) V, a - V,

13、记a的象为f (a)。若映射 f： K> V满足：对所有a、b V及任意实数都有ff a J aj ,则fb称为平面M上的线性变换。现有下列命题:设f是平面M上的线性变换，a、b V,则f (a b)二f (a) f (b)若e是平面M上的单位向量，对aV,设f(a) =a e,贝U f是平面M上的线性变换;对a V,设f (a) - _a,则f是平面M上的线性变换;设f是平面物上的线性变换，a V,则对任意实数k均有f (ka) =kf (a)。其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)【答案】【解析】：令L则f (a - f (a) f (b)故是真命题同理，：令，二k, 一二0,贝U

14、 f(ka)二kf(a)故是真命题：f (a)a,则有 f (b)bf ( aj b) - -( aj b)-B (-a) (b)二 f (a) (b)是线性变换，故是真命题：由 f (a) = a e,则有 f (b) = b ef ( a I b) = ( a | b) e 二 (a e尸(b e) - e = > f(a)q f (b) - e / e是单位向量，e羊0,故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.

15、(本小题满分12分)在MBC中，A B为锐角，角N B C所对的边分别为a.、b c,且45 Wos i A , $Bi=n 51 0(I )求A B的值；(11 )若 a -b T,求 a b c 的值。sinA 二-1【解析】(I ) A B为锐角，a , sin B ；cosA 二 1 -s in2 A = U, cosBj l-si 2, 5n 5 3. 10 5 . 10cos (A B)= cosAcosB -sin Asin B5105100 ： AB: :B 二/510JIA B -4(II )由(1 )知 Csin C由sin A sinB sinCa - . 2b, c -

16、> > 5b又a-bi-, 2-12b - b - 2 -1 b =1a 一 2, c =、. 512 分18.（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司3组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 -是省外游客，其余是省内游客。41 2在省外游客中有持金卡，在省内游客中有一持银卡。一3 3（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率【解析】I ）由题意得

17、，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡.设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则p(A)二 CCC° C362所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是-. 6分7（II ）设事件B为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：事件B为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件Bz为“采访该团2人，持金卡1 人，持银卡1人”两种情况，则44105P(B) =P(B) P(B2)、贫 等C36 C36所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是4412分10519 （本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF

18、所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB =AE, FA = FE, NAEF =45°(I )求证：EF _L平面BCE ；(II )设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证：PM 平面BCE(Ill )求二面角F BDA的大小。【解析】解法 因为平面ABE吐平面ABCD BCu平面ABCD BC _L AB,平面ABEFA平面ABCD=AB 所以BC _L平面ABEF.所以BC_LEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB二AE所以/ AEB=45 ,又因为/ AEF=45,所以/ FEB=90 ,即 EF± BE.因为BC二平面ABCD, BE二平面BCE,BCH

19、BE=B所以 EF HfflBCE6分1 (H )取BE的中点N,连结CN,皿“贝八MN AB 止PC2 PMNC为平行四边形，所以PM CN. / CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内, PM 平面 BCE.(Ill )由 EA _L AB,平面 ABEFL 平面 ABCD 易知 EA，平面 ABCD.作FGL AB,交BA的延长线于G,则FG/ EA.从而FG，平面ABCD,作GHL BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD ± FH. / FHG为二面角F-BD-A的平面角. / FA=FE, / AEF=45 ,/ AEF=90 , / FAG=45 .与1设 AB=1,

20、则 AE=1, AF=,则 FG 二 AF sin FAG =-221 3在 Rt BGH 中，/ GBH=45 , BG=AB+AG=l+=,2 2GH = BG sin GBH = 32 工玄224，在 Rt zd FGH 中,tan FHG 二GH 3面角F -BD-A的大小为arc tan12分一解法二：因ABE等腰直角三角形，AB = AE,所以AE _ AB又因为平面ABEF -平面ABCD二AB,所以AE，平面ABCD,所以AE AD即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系设 AB=1,则 AE =1 , B(0, 1,0), D(l,0, 0), E(0, 0, 1)

21、,C(1, 1,0) FA =FE,. AEF =45. AFE =90。,从而 F(0, 乙 乙EF =(i, Ly, )- BE =(0,1, 1),BC =(1,0, 0) 乙乙一 一 11 一 一于是 EF BE =00 - EF BC =0乙 乙EF ± BE, EF ± BC BE 平面 BCE - BC 平面 BCE - BC - BE = B EF _ 平面 BCE 1111 (ii)M(0, 0, 2), P(l, 2, 0),从而 PM 十 1 二，2) 于是 PM EF =(-l,-±, ±) (0, -±, -1) =0

22、J -±=02 22 24 4 PM±EF，又EF,平面BCE,直线PM不在平面BCE内，故PM 平面BCE(III )设平面BDF的一个法向量为并设7?二(x, y, z)3 1BD =(l,-l,0),BF 珂。，-/x _y =0即(3 221-y H- z = 0取平面ABDD的一个法向量为n2 = (0, 0, 1)JM BD =0n. n2 33 Hcosn5 7取 y=l,则 x=l ,从而 m 1, 3)故二面角F - BD - A的大小为arccos20 (本小题满分12分)已知函数f (x) = x3 2bx? ex-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y

23、 = 5xT0。(I )求函数f (x)的解析式;1(II )设函数g(x) = f (x) mx,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数 3g( x)取得极值时对应的自变量x的值.【解析】(I )由已知，切点为(2,0),故有f( 2)=0,即4b-3=02又 f (X) =3x 4bx C,由已知 f (2) =12 8b c =5得 8b c 7=0 联立，解得b - -1, c=1.所以函数的解析式为 f (x) =X3 -2x2 x - 239(n )因为 g(x) = x-2x- X-2)rnx.32 1 令 g (X) =3x2 4x 1 § m=0当函数有极

24、值时U_0,方程3x2 _4x i二0有实数解，由么=4(1 m) _ 0 ,得m当m =1时，g (x) = 0有实数x 在左右两侧均有 g (x) 0,故函数g(x)无极值1 1f 当 m ： ：1 时，g (x)二 0 有两个实数根 x (2 -、1 一 m), X2(2、1 m), g (x), g(x)33情况如下表:X/ o oX )(一 ，1X1(Xl, X2)X2(X2 中二。)gr(X)+0-0+g(x)/极大值极小值/所以在m(-：，1)时，函数g(x)有极值;当x二JL(2 -m)时，g(x)有极大值；当x = 1(21 - m)时，g(x)有极小值；3 3 12分21.

25、(本小题满分12分)22印F2,离心率e上，右准x y2已知椭圆一l(a b 0)的左、右焦点分别为a b线方程为x = 2。(I)求椭圆的标准方程;(II )过点F1的直线I与该椭圆交于M、N两点，且FM警，求直线的方程。【解析】(I )由已知得*' 解得a二2, c = 1 2a2.C- Z? - . a2 -C2 =12 所求椭圆的方程为 汀=1_ ,X - -1(II )由(1 )得 3(1,0)、F2(l,0)2 X 9彳y 1设 M (-1,、N( -1,-(-2,子)(-2,一上(-4, 0) =4,这与已知相矛盾。若直线I的斜率不存在，则直线I的方程为x - -1,由若

26、直线1的斜率存在，设直线直线1的斜率为k,则直线1的方程为y二k(x 1),设 M (为,yj、N(X2, y2),y = k(x 1)联立(X? + 21，消元得(1 2k-)x- 4k-x 2k一 _2 =07 丫刊为 X2笛，沁 2 二 2, 2k2 -22 1 2k2121 2k22k% y2 二 k(* X2 2) =1 2k7,又 F2M 二陪T,yJ, F?N 二区T, Y 2)F2M F2N =(Xi X2 _2, yi y2)922F2M + F2 N z = &X + X2 _2) 2 + (% + y2) 9k +2(2k. 2八262 3 _J+2klT1+2k

27、 厩4), H ) R化简得 40k4 23k2 -17 =0解得R =1或k?二7 (舍去)k=： 1 所求直线1的方程为y=x-1或y = _x1 12分22.(本小题满分14分)设数歹ij fa. ?的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有/5sh 1成立，记4 +a_ *bn （ n N ） o1 _a n（I ）求数列与数列的通项公式；（II ）设数列Ibn冷勺前n项和为Rn,是否存在正整数k，使得Rn 4k成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由;(III）记Cn=b2n -binl_（4 N* ），设数列心？的前n项和为Tn,求证：对任意正整数tl都有Tn :【解析

28、】（I ）当n=l时，a =5S 1, ai5S 1n 11的等比数列, 42即詈V1二数列：堤首项为a ,公比为q44 + (-£) (n N*).L4JI）不存在正整k,使得R-4k成立。4 e）n证明：由（I ）知bn,b b2k 1 2k(_4)2kJL_l(_4)2k-l2015 16k-4016k116k 4 .8(16k -1) (16k 4)当n为偶数时，设n=2nl(m三N)_ Rn =(b d) (bs bD 1 ( (b2mj bzm) ： ： 8m =4n当n为奇数时，设n =2m 1 (m. N )- Rn =(b b» (b3 SIH (b2mj

29、3 bzmn)：8(m -1) 4=8m -4 = 4n对于一切的正整数 n,都有Rn : 4k不存在正整数k,使得& _4k成立。5)由得Cn sb2n J 1 b2n552n ' 2' FZi15 615 16n15 16n15(16n -1) (16n 4T(16n)2 3 16n -4/ (16n)216n134C2 ：33当n =1时， T<|,当n _2时，411 T25 (硬硬川肓)1 1 2.4 .25旗口(和1-±161< 4 25丘耳3314821614分赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑

30、中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动，大 脑细胞活动需要大量能量。科学研究证实，虽然大脑的重量只占人体重量的 2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的20%,它的能量来源靠 葡萄糖氧化过程产生。据医学文献记载，一个健康的青少年学生30分钟用脑，血糖浓度在120毫 克/100毫升，大脑反应快，记忆力强；90分钟用脑，血糖浓度降至80毫 克/100毫升，大脑功能尚正常；连续120分钟用脑，血糖浓度降至60毫克 00毫升，大脑反应迟钝，思维能力较差。我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度 大，这 样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩

31、产 生重大影响。因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为一个高效果的考试加油。二、考场记忆“短路”怎么办呢？对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。不要在一大 张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。打草稿也要像解题一样，一题一题 顺着序号往下写。最好在草稿纸题号前注上符号，以确 定检查侧重点。为了 便于做完试卷后的复查，草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号 以便核查，保留清晰的分析和计算过程。2答题要按先易后难顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟 悉试卷，合理安排考试进度，先易后难，先熟后生，排除干扰。考试中很可能遇到一些没有见过或复习过的难题，不要蒙了。一般中考试卷的题型难度分布基本上是从易到难排列的，或者交替排列。3遇到容易试题不