大学数学：ch3-习题课（2）定积分的概念与计算

1、1、设、设f (x) 是连续函数，且是连续函数，且,)(103xdttfx (7).f 则则1122、设、设 f (x)是连续是连续 函数，且函数，且,)(2)(10dttfxxf 则则 f (x)= .x-100( )() ( ),( )( )()xxfxxt g t dt fxg t dtsin401( )1,( ) .xtf xu du dtfx 4.4.设求设求4( )cos1si(n)fxxx201( )()( ), ( )2( ),( ) .xf xxtg t dt g tfxfx 3.3.设连续，设连续，求求1、设、设f(x) 是连续函数，且是连续函数，且,)(103xdttfx

2、 (7).f 则则23231031)1(13)1()()(3xxfxxfxdttfx 121231)7(2 f71:3 x令令解得解得x=2,所以所以2、设、设f(x)是连续函数，且是连续函数，且,)(2)(10dttfxxf ,2)(1010 xdIdxxf dttf)(10,)(10Idttf 则则 f(x)=x-1 .解解: 设设于是于是,2)(Ixxf 两边在两边在0，1上积分上积分112( )1.f xx11:2 ,22III 即即存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbF

3、dxxfba 问题问题1 1 问题问题2 2 问题问题3 3曲边梯形的面积曲边梯形的面积 非均匀分布细棒的质量非均匀分布细棒的质量 变速直线运动的路程变速直线运动的路程1 1、定积分的定义、定积分的定义定义定义 baIdxxf)(iinixf )(lim10 .2 2、可积的条件、可积的条件（1）利用定积分定义求定积分；）利用定积分定义求定积分；（2）利用定积分定义求极限）利用定积分定义求极限( ) , f xa b 在上有界在上有界（2 2）可积的充要条件）可积的充要条件（1 1）可积的必要条件）可积的必要条件1nkkkx 0, 0, ( ),d 01lim0nkkdkx 或01:.,nax

4、xxb称为称为 f 关于分割关于分割 的的DarbouxDarboux大和大和, ,1( )niiiSMx 称为称为 f 关于分割关于分割 的的Darboux小和小和,1( )niiismx 1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b设在上有界设在上有界对任意分割对任意分割定义定义1(1, 2,),iiiiiMminfxx 称称为为在在上上的的.振幅振幅其中其中1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin 1( , ):nkkkSfx 积分和积分和11( )( )()nnkkkkkkkSsMmxx ( )( , )( )sSS (1)(1)相应相应

5、于于 的所有的积分和与达布和满足的所有的积分和与达布和满足不等式不等式下，达布和下，达布和 ( )s( )Sk( , )S(2)(2)在固定的分法在固定的分法 是常数，是常数，此时由于此时由于 的选取的任意性，的选取的任意性， 积分和积分和 却是变化的，却是变化的，注意:大和的几何意义大和的几何意义:曲边梯形曲边梯形“外接外接”矩矩形形小和的几何意义小和的几何意义:曲边梯形曲边梯形“内接内接”矩矩形形面积之和面积之和.面积之和面积之和.xyOab( )yf xxyO( )yf xab由大和与小和的几何意义知道,可积的充要条件由大和与小和的几何意义知道,可积的充要条件的一系列小矩形面积之和可以达

6、到任意小, 只要的一系列小矩形面积之和可以达到任意小, 只要 , a b 对的分割足够地细.对的分割足够地细.( )yf x的几何意义为: 下图中包围曲线的几何意义为: 下图中包围曲线Oxabyiix ( )yf x定理1.2的几何意义 定理1.2的几何意义 11( )( )()nnkkkkkkkSsMmxx (3)可积函数类：可积函数类：( ) , ( ) ( ) , ()( ), , if xC a bii f xa biiif xa ba b ( ( ) )若若；在在上上有有界界，且且只只有有有有限限个个间间断断点点；若若在在（）内内单单调调且且在在上上有有界界. .3 3、定积分的几何

7、意义、定积分的几何意义4 4、定积分的性质、定积分的性质5 5、变上限的、变上限的积分积分dttfxxa )()()()()(xfdttfdxdxxa 连续连续( ) d( )( )baf xxF bF a 记作记作 ( )F xab( )F x ab6 6、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式( ) , ( ) , ,( )( )( , )f xa bF xC a bFxf xxa b 设在上可积，又设在上可积，又条件：条件： dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv7 7、定积分

8、的计算法、定积分的计算法 奇奇函函数数当当为为为为偶偶函函数数当当）（)(0)()(2)(.10 xfxfdxxfdxxfaaa8. 定积分常用公式定积分常用公式的的函函数数为为周周期期为为当当）（TxfdxxfdxxfdxxfTTTTaa)()()()(.2220 dxxfdxxf 200)(sin2)(sin).4( dxxfdxxf 2200)(cos)(sin).3( dxxfdxxfdxxxf 2000)(sin)(sin2)(sin).5( 00(6).( )()aaf x dxf ax dx 0(7).( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx 2200(8).sinc

9、os(1)!2(1)!nnxdxxdxnnnnnn 当 为偶数当 为偶数当 为奇数当 为奇数(21)!2(2)!2(2)!(21)(21)!mnmmmnmm .)(,)()(lim)(lim)()(lim)()(lim)()1(可可积积的的在在各各自自的的无无穷穷区区间间上上是是则则称称时时都都当当各各个个积积分分的的右右边边积积分分实实数数为为无无穷穷区区间间上上的的积积分分xfcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbcbcaabaabbaba 9.9.广义积分广义积分（2） 无界函数的积分无界函数的积分.)(,的的在在各各自自的的区区间间上上是是可可积积则则称称时时各各

10、个个积积分分的的右右边边积积分分都都xf 0000( )lim( )( )( ,)( )lim( )( )(, )( )lim( )lim( )( , )( )( , )bbaabbaabcbaacf x dxf x dxf xaa af x dxf x dxf xbbbf x dxf x dxf x dxca bf xcU c 在 的右邻域内无界在 的右邻域内无界在 的左邻域内无界在 的左邻域内无界，在 的邻域内无界，在 的邻域内无界1.定积分与什么有关与什么无关定积分与什么有关与什么无关?5.积分上限的函数有一个重要性质是什么积分上限的函数有一个重要性质是什么? 由此重要性质得出了一个重要

11、结论是什么由此重要性质得出了一个重要结论是什么? 微积公基本公式是什么微积公基本公式是什么?4.定积分有哪些重要性质定积分有哪些重要性质?3.定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是什么?2.定积分与不定积分有何区别与联系定积分与不定积分有何区别与联系?提提 问问8.广义积分的定义及敛散性广义积分的定义及敛散性?7.定积分有那些常用公式定积分有那些常用公式?6.定积分计算法与不定积分法有何不同定积分计算法与不定积分法有何不同?.,)(.,)(. 1的的记记号号无无关关而而与与积积分分变变量量有有关关仅仅与与xxfbadxxfba 答答 cxFdxxfxfdxxfniiiba)(:)(.)(li

12、m)(. 210族函数族函数数数 .,)()()()()()(上上增增量量函函数数在在一一个个的的任任是是相相应应不不定定积积分分bacxFdxxfdxxfxFdxxfbababa 的的任任一一原原函函数数)(.,.xfei.)(. 3各各部部分分面面积积的的代代数数和和 badxxf bababababadxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxf)()()()()()(.4 bccabadxxfdxxfdxxf)()()()()()()()()()()(ababMdxxfabmdxxgdxxfxgxfbababa .)()(中中值值定定理理 abfdxxfba ( ) ( )( )(

13、) ( )1.bbaaf x g x dxff x g x dx 第 积分中值定理第 积分中值定理.)()( )()(. 5重重要要性性质质 xfxdttfxxa.)(,)(就就是是它它的的一一个个原原函函数数且且原原函函数数一一定定xbaCxf .)()(计算方法计算方法计算定积分的一个简单计算定积分的一个简单给出了给出了 babaxFdxxf.,:!. 6的的值值下下限限均均要要换换成成新新的的变变量量上上换换元元法法积积出出来来就就将将上上下下限限代代入入换换元元法法与与分分部部积积分分法法二、典型例题二、典型例题例例1 1一、利用定积分求极限一、利用定积分求极限!1limlnlim(l

14、n ! ln )nnnnnnnn1lim(ln1ln2lnln )1lim(ln1ln )(ln2ln )(lnln )112lim(lnlnln)nnnnnnnnnnnnnnnnn111000lnln1xdxxxdx 解解!limlnnnnn求求证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limln利用对数的性质得利用对数的性质得例例2 2 nnnnfnfnfe21lnlim nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 .10)(ln dxxfe( )0,1,( )0f xCf x 例例12222lim.1112nnnnnnnnn 求求(1ln2)解解提

15、示：先用夹逼准则提示：先用夹逼准则二、含有变上限积分的有关题目二、含有变上限积分的有关题目22201.limxxtxet e dtx 00(arcsin )2.,lim1cosxxatt dta bbx 求常数使求常数使(12)(, 21)ab00( )() ( ),( )( )()xxfxxt g t dt fxg t dtsin401( )1,( ) .xtf xu du dtfx 4.4.设求设求4( )cos1si(n)fxxx201( )()( ), ( )2( ),( ) .xf xxtg t dt g tfxfx 3.3.设连续，设连续，求求205.( ),( ).,.xtF x

16、edtF x 设证明是单调递增的设证明是单调递增的其图形过原点 且原点是其图形的一个拐点其图形过原点 且原点是其图形的一个拐点220(1cos )06.( )00cos00 xxxxf xxt dtxxx 研究 研究 在点的连续性和可导性.在点的连续性和可导性.0 x 在处函数连在处函数连（续，但不可导续，但不可导）7 7设设 f (x) 是是a, + )上的连续单调增上的连续单调增加加函数函数, , 求证：求证：在在a , + ) 上也是单调增加函数上也是单调增加函数. .1( )( )xaF xf t dtxa ( )( )( ) , ( )( )0,( )0 , .xxabdtxf t

17、dtf ta bf tf txa b8. 8. 设，其中在设，其中在上连续，且试证明方程在内上连续，且试证明方程在内必有且仅有一个实数根必有且仅有一个实数根5(0)0;(1)3 3()mfMf 222122cos()10.,1cos()cos22txtyttuduud ytdx 已知已知求在的值。求在的值。()12 220011.sin0( )yxte dttdtyy xx 求由确定的隐函数求由确定的隐函数 对 的导数.对 的导数.222 sin().yxxye ( ) , ,( ) , ( )0,( )( ), )( )( )abf xC a bf xa bf af bf t dta bff

18、 在内可导，且在内可导，且求证求证13 22201limxxtxet e dtx 2222220222limlim21lim122xtxxxxxxxt e dtxex eexexxx 解解 00(arcsin )2.,lim1cosxxatt dta bbx 求常数使求常数使解解00(arcsin )lim1cosxxatt dtbx 00lim(arcsin )0 xxatt dt 0lim(cos )0 xbx从而有从而有1.b 00002(arcsin )(arcsin )limlim11cos2xxxxatt dtatt dtxx 又又0arcsinlim1xaxxax 2a证明证明2

19、05.( ),( ).,.xtF xedtF x 设证明是单调递增的设证明是单调递增的其图形过原点 且原点是其图形的一个拐点其图形过原点 且原点是其图形的一个拐点(,0),( )0,( )(0,),( )0,( )(0)0,(0,0)xFxF xxFxF xF 当时当时当时当时是拐点。是拐点。2( )0,( )(,).xFxeF x 在上在上2( )( 2 ) 00 xFxexx 令令又又220(1cos )06.( )00cos0 xxxxf xxt dtxx 研究 研究 0 x 在点处的连续性在点处的连续性和可导性.和可导性.解解224000000000cos2 coslim( )liml

20、im01(1cos )sinlim( )limlim01lim( )lim( )(0)xxxxxxxxxt dtxxf xxxxf xxf xf xf 200240200( )(0)( )(0)limlim0cos2 cos limlim12xxxxxf xff xfxxt dtxxxx 00200( )(0)( )(0)limlim0(1cos )sin1 limlim22xxxxf xff xfxxxxxx (0)(0),(0).fff不存在不存在12cos2lim0coslimcos2limcoscos2lim)( lim212coslim)cos1(sinlim)( lim0cosco

21、s20)cos1(sin)( 402020243020243000200202432222 xxxxdttxxxxdttxxxfxxxxxxxxfxxdttxxxxxxxxfxxxxxxxxxxx又又连连续续，但但不不可可导导。在在点点0)()0( )0( xxfff7 7设设 f (x) 是是a, + )上的连续单调增上的连续单调增加加函数函数, , 求证：求证：在在a , + ) 上也是单调增加函数上也是单调增加函数. .1( )( )xaF xf t dtxa 证明证明F(x)在在(a, +)内连续，而在内连续，而在 x = a 处处)()(lim)(limafaxdttfxFxaaxa

22、x 2)()()()()()( axaxdttftfaxxFxaxa 令令F(a)=f (a) , 则则F(x)在在a, +)上连续上连续.2)()()()(axdttfxfaxxa 2)()()()(axaxfxfax axfxf )()(a x，f (x)单调增加单调增加x-a 0, F (x)0; 故故F(x)在在a, +)上单调增加上单调增加. .( )( )( ) , ( )( )0,( )0 , .xxabdtxf t dtf ta bf tf txa b8. 8. 设，其中在设，其中在上连续，且试证明方程在内上连续，且试证明方程在内必有且仅有一个实数根必有且仅有一个实数根0)()

23、.()()()()()()()()(2)(1)(2)(1)()( badttftfdtdttfbtfdttfdtdttfaxfxfxfxfxbabbbaababaa证明证明22222cos()cos()2sin()222 sin()tttttdyttdxtt 22221.2 sin()2 sin()d yd dy dtdtdxdt dx dxttdttt .212sin221222 tdxyd解解222122cos()10.,1cos()cos22txtyttuduud ytdx 已知已知求在的值。求在的值。12 220011.sin0( )yxte dttdtyy xx 求由确定的隐函数求由

24、确定的隐函数 对 的导数.对 的导数.2200()(sin)0yxte dttdt22sin20yeyxx 则则.sin222yexxy 解解证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令( ) , ,( ) , ( )0,( )( ), )( )( )abf xC a bf xa bf af bf t dta bff 在内可导，且在内可导，且求证求证

25、13 ( )( )( )xaF xf xf t dt 解解 构造辅助函数构造辅助函数222211( )0,:()()aaf xaadxadxf xf xxxxx 2.2. 设连续且常数证明设连续且常数证明三、与换元有关的题目三、与换元有关的题目120( ),(0)0,( )()( )1:lim(0)2xnnnonxf xfF xtf xtdtF xfxn 1.1. 设可导 且设可导 且求证求证 200204( ): ( )( )(2)sin1sinaaf xf x dxf xfax dxxxdxx 设是连续函数求证设是连续函数求证并计算并计算21ln2 221 （）（） 3 . 设设f (x)

26、为连续函数，证明为连续函数，证明 000( )()( )xxtf txt dtf u du dt 5:( ),02af xx证明 设为连续函数 且当时,证明 设为连续函数 且当时,0( )()0:( )0af xf axf x dx 试证试证26( ),( ).:( )2( )( )bbT baTaf xf xxTaTbf x dxf x dxf x dx 设为连续函数 且关于对称，设为连续函数 且关于对称，证明证明( ( )cossin)f xxxxC2201( )(1)11(2)arctan,( ).2xf xftfxt dtxf x dx 11.11.设连续，设连续，且求且求()3/4

27、120( ),(0)0,( )()( )1 :lim(0)2xnnnonxf xfF xtf xtdtF xfxn 1.1. 设可导 且设可导 且求证求证证明证明,nnuxt令令10( )()xnnnF xtf xtdt 1( )()nnFxxf x 01()(0)lim20nnxf xfnx 20( )limnxF xx00:nxxtu1,nduntdt 01( )nxf u dun 210( )lim2nxFxnx 01()lim2nnxf xnx 1(0)2fn 222211( )0,: ()()aaf xaadxadxf xf xxxxx 2.2. 设连续且常数证明设连续且常数证明xd

28、xxaxfxdxxaxfaa)()(121222 证明证明21221()()2aaaaduaduf uf uuuuu2221()aadxf xxx 22()aaaduf uuu 221()2aaduf uuu 2xu 22111()()aaaaduf tdtf uttuu22122()()aata dtf ttat 2aut 200204( ): ( )( )(2)sin1sinaaf xf x dxf xfax dxxxdxx 设是连续函数求证设是连续函数求证并计算并计算证明证明00(2)()aafatdt 0( )(2)af xfaxdx 2a tx 2200( )( )( )aaaaf

29、x dxf x dxf x dx20sin1sinxxdxx 2220sin()sin()1sin1sinxxxxdxxx 220sin1sinxdxx 220cos2cosdxx 2012cosln2 22cosxx 21ln2 221 5:( ),02af xx证明 设为连续函数 且当时,证明 设为连续函数 且当时,0( )()0:( )0af xf axf x dx 试证试证证明证明 20( )()0af xf axdx 2002( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx0202( )()()aaf x dxf atdta tx 26( ),( ).:( )2( )(

30、 )bbT baTaf xf xxTaTbf x dxf x dxf x dx 设为连续函数 且关于对称，设为连续函数 且关于对称，证明证明提示提示( )(2)f xfTx22( )( )( )bT bbaaT bf x dxf x dxf x dx 22( )( )( )T bTbaT bTf x dxf x dxf x dx 2( )TT bf x dx 2xTt( )bTf t dt 2201( )(1)11(2)arctan,( ).2xf xftfxt dtxf x dx 11.11.设连续，设连续，且求且求解解221(2) ( )()arctan2xxxu f udux ,dtdu

31、 201(2)arctan2xtfxt dtx 221(2) ( )arctan2xxxu f u dux 即即22212( )( )arctan2xxxxxf u duuf u dux即即22,xtutxu 令令02:xxxtu将上式两边对将上式两边对x求导得求导得22212( )( )arctan2xxxxxf u duuf u dux即即222( )2 2 (2 )( ) 2(2 ) 2( )2( )( )xxxxf u duxfxf xxfxxf xf u duxf x 222( )( )xxxxxddxf u duuf u du241( arctan)12dxxdxx 242( )(

32、 )1xxxf u duxf xx 241113( )( )2 14xxf x dxxf xx (1)1f 又又从而有从而有四、与分部积分有关的题目求解四、与分部积分有关的题目求解（2）212200( ),(1)( ).xyyf xedyxf x dx2.2. 设求设求2 )1(6()e( ) , ,( ) , ,( ) , ,( ) ( )( )( )( )( )bbaaf xC a b gxC a bgxa bf x g x dxg af x dxg bf x dx 设且不变号设且不变号则使得则使得5. 积分第二中值定理积分第二中值定理解解212200( ),(1)( ).xyyf xed

33、yxf x dx2.2. 设求设求120(1)( )xf x dx 1301( ) (1)3f x d x 1301(1)( )3xf x1301(1)( )3xdf x 1(0)3f 1301(1)( )3xfx dx 220( ),xyyf xedy 22( )xxfxe 2020(0)0,yyfedy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e120(1)( )xf x dx 213201(1)3xxxedx 1(0)3f 1301(1)( )3xfx dx 120(1)( )xf x dx ( ) , ,( ) , ,( ) ,

34、,( ) ( )( )( )( )( )bbaaf xC a b gxC a bgxa bf x g x dxg af x dxg bf x dx 设且不变号设且不变号则使得则使得5. 积分第二中值定理积分第二中值定理用分部积分法和积分中值定理用分部积分法和积分中值定理( )( )xaF xf t dt 令令提示提示：五、综合极限，定积分概念，解方程五、综合极限，定积分概念，解方程1设设 f (x)是连续是连续 函数，且函数，且,)(2)(10dttfxxf 则则 f (x)= .x-1242( )33()f xxx21200( )( )2( ) ( ).f xxxf x dxf x dxf

35、x2.2.设设求求2()f xx03.( )2( )cos,( )f xxf ttdtf x 设求设求1201( )10,1 ( )342( )3lim( ) ( ).xf xxf xxxf x dxf xf x 4.4. 设当时其极限存在，在上可积，设当时其极限存在，在上可积，且恒有且恒有求求1201(li)m( ),( ),( )349/2.xf xaf x dxb f xxx 令令,2)(1010 xdIdxxf dttf)(10,)(10Idttf 解解设设于是于是,2)(Ixxf 两边在两边在0，1上积分上积分21,221: III即即. 1)( xxf1设设 f (x)是连续是连续

36、 函数，且函数，且,)(2)(10dttfxxf 则则 f (x)= .242( )33f xxx解解定积分为常数定积分为常数 , ,10( )d,f xxa 设设20( )df xxb 2( )2f xxbxa, , 则则10( )daf xx 33x 22bx 2ax 1020( )dbf xx 33x 22bx 2ax 201232ba8243ba1,3a 43b 故应用积分法定此常数故应用积分法定此常数 . .21200( )( )2( )( ).f xxxf x dxf x dxf x2.2.设,求设,求六、积分不等式性质六、积分不等式性质12301d4xxx 12 6 证明证明ln

37、(12)1 . . 证明证明14011dxx 证明证明1011(0)11ppdxppx 3132arctan93xxdx （）（）提示：求被积函数在积分区间上的最大最小值提示：求被积函数在积分区间上的最大最小值12301d4xxx 12 6 证明证明解解 因为因为0, 1x 2314xx14 21,4x 12301d4xxx 101d2x 1201d4xx 即即12 6 12301d4xxx 七、积分不等式证明七、积分不等式证明 222( ), ( ) , ,:( ) ( )( )( )bbbaaaf xg xa bf x g x dxfx dxgx dx 1.1.设在上连续 试证 柯西许瓦兹

38、不等式设在上连续 试证 柯西许瓦兹不等式2( ) , ( )0.( )() .( )bbaaf xa bf xdxf x dxbaf x 2. 2. 设在区间上连续，且设在区间上连续，且 证明证明3.( ) , ,( ):( )( ).2bbaaf xC a bf xabxf x dxf x dx 设且单调上升，设且单调上升， 证明证明5. , ,( )0,:1( )( )()( ).22baxa bfxabf af bff x dxba 设证明设证明设设 0,1在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证(0,1)q 都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何( )f x100(

39、 )d( )dqf xx qf xx 设设f (x)在在a , b上存在连续导数上存在连续导数f(a)=0，求证：求证： , max|( )|a bfxM 22|( )|()baf x dxMba bababadxxgdxxfdxxgxfbaxgxf)()()()(:,)(),(222许瓦兹不等式许瓦兹不等式柯西柯西试证试证上连续上连续在在设设22222222222( )( )0,( )( )0( )2( ) ( )( )0( ) ( )( )( )0( ) ( )( )( )babbbaaabbbaaabbbaaatf xg xtf xg xdxtfx dxtf x g x dxgx dxf

40、 x g x dxfx dxgx dxf x g x dxfx dxgx dx 即即，证明证明.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证法证法1 2222( )0,1( )( )1( )( )1( )( )bbaabbaabaf xf x dxdxf xf xdxdxf xf xdxbaf x 由1得，由1得，.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证法证法2作辅助函数（构造变上限积分作辅助函数（构造变上限积分）,)()()()(2axtf

41、dtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即证法证法1 构造变上限积分构造变上限积分( )( )( )2( )01( )( )( )( )221( )( )( )( )02222( )0 , ,( )0 xxaaxaxaaxLetF xxf x dxf

42、 x dxThenF aaxFxxf xf x dxf xxaxaxaf xf x dxf xf xF xxa bF bholds 3.( ) , ,( ):( )( ).2bbaaf xC a bf xabxf x dxf x dx 设且单调上升，设且单调上升， 证明证明3.( ) , ,( ):( )( ).2bbaaf xC a bf xabxf x dxf x dx 设且单调上升，设且单调上升， 证明证明证法证法2222122221() ( )() ( )22()()()()22() ()()02a bba baa bba baababxf x dxxf x dxababfxdxfxd

43、xabff () ( )2baabxf x dx 12 , 22ababab3.( ) , ,( ):( )( ).2bbaaf xC a bf xabxf x dxf x dx 设且单调上升，设且单调上升， 证明证明证法证法3( )() ( )()022() ( )()022() ( )() ()0222( )( ).2babbaabbaaf xababxf xfababthenxf xfdxabababthat isxf x dxxfdxabWehavexf x dxf x dx 证明证明类似于上一题的方法类似于上一题的方法1构造变上限函数构造变上限函数5. , ,( )0,:1( )(

44、)()( ).22baxa bfxabf af bff x dxba 设证明设证明证法证法1 构造变上限积分构造变上限积分( )( )( )()( )2xaf afF xaxf x dxx ( )( )() ()2xaaG xf x dxxxa f 5. , ,( )0,:1( )( )()( ).22baxa bfxabf af bff x dxba 设证明设证明证法证法2 2 对不等式的左边对不等式的左边00200000( )21( )()()()( )()2()0abxf xxf xf xfxxxfxxxx dx b ba a取取，将将在在处处的的展展成成一一阶阶T Ta ay yl l

45、o or r再再作作积积分分。注注意意到到：证法证法2 2 对不等式的右边对不等式的右边11222( )( )()( )( )()( )( )( )( )() ( )() ( )() ( )() ( )() ( )() ( )( )( )()2bbaaf xf afaxxaf xf bfxbxbf xf af bf xxabxba f xxa f bbx f aba f x dxxa f bbx f a dxf af bba 设设 0,1在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证(0,1)q 都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何( )f x100( )d( )dqf xx

46、qf xx 利用定积分性质利用定积分性质100101212( )d( )d(1)( )d( )d(1)()(1)()(1) ()()0qqqf xxqf xxqf xxqf xxqq fqqfqqff 证法证法1 1( (用积分中值定理用积分中值定理) )10, q 2 ,1q 故所给不等式成立故所给不等式成立 . .设设 0,1在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证(0,1)q 都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何( )f x100( )d( )dqf xx qf xx 证法证法2 2100110010( )d( )d()d( )d ()( )d0qf xxqf xx

47、qf qxxqf xxqf qxf xx 换元法换元法11000( )d()d()dqf xxqf qttqf qxx,xqt 令则令则设设 0,1在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证(0,1)q 都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何( )f x100( )d( )dqf xx qf xx 证法证法 即要证即要证001( )d( )d01qf xxqf xx00100( )( )d( ) ( )( )d0( ),(1)( )d( )d( )0qqqFxf ttqf xf tftF xFf ttqf tF qxt从而有从而有00( )( )d( )d ,1qxFf tt

48、qf ttxqxx令令( )0 ,1F xxq只须证只须证( )0F q 证法证法4 4 即要证即要证100( )d( )d1qqf xxf xx 00022( )d( )( )( )d ( )( )d( )0 xxxf ttF xxf xf ttf xf ttFxxxx 只须证只须证001( )d( )dqqf xxf xx ( )(1)F qF设设 0,1在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证(0,1)q 都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何( )f x100( )d( )dqf xx qf xx 设设f (x)在在a , b上存在连续导数上存在连续导数f(a)=0

49、，求证：求证： , max|( )|a bfxM 22|( )|()baf x dxMba 证法证法1 1：由拉格朗日中值定理，在：由拉格朗日中值定理，在a, x上上( )( )( )( )()f xf xf afxaax 2( )( ) ()()()( )()2bbaaf xfxaM xabaf x dxM xa dxM 则则设设f (x)在在a , b上存在连续导数上存在连续导数f(a)=0，求证：求证： , max|( )|a bfxM 22|( )|()baf x dxMba 证法证法2：( )( )( )( )()xaxaf xft dtf xft dtM xa 2()( )()2b

50、baabaf x dxM xa dxM 则则八、其它证明题八、其它证明题0( ) ,()( )lim( )( )bahf xC A B AabBf xhf xdxf bf ah 1. 1.设证明：设证明：2. 设设 f (x)是周期为是周期为T的连续的连续 函数，证明：函数，证明：0011lim( )( )xTxf x dxf x dxxT -周期函数的一个性质周期函数的一个性质方法方法1 1( ) ,( )( )( ),( )( )xaf xC A BF xf x dxf xFxf x 是是的的一一个个原原函函数数即即，000()( )1limlim ()( )1lim()( )bbaahhbbaahf xhf xdxf xhf x dxhhf xh dxf x dxh0( ) ,()( )lim( )( )bahf xC A B Aab