定积分的证明题44题

1、题目 1证明题容易证明 dx( x t ) f (t ) dtf ( x) f ( a ) 。dxa题目 2证明题容易利用积分中值定理证明 : lim4 sin n xdx 0。n 00题目 3证明题一般bf ( x)f (a)f ( x)dx 0设函数在内可导，且，a,b0a证明：在内至少存在一点使f ()。a,b0题目 4证明题一般设f (x)，f (x a)证明：当 为正整数时naa0 f (x)dxn 0nf (x)dx 。题目 5证明题一般1m (1) n1n(1)m。证明：dx0 xdx0 xxx题目 6证明题一般设 f ( x)在a,b上有定义 , 且对 a,b上任意两点 x,

2、y,有 f ( x)f ( y)x y . 则f ( x)在 a,b上可积 ,且b(ba) f ( a)1 (b a) 2。f ( x)dxa2题目 7证明题一般设f ( x)在上的连续在内可导且f (a)f (b) 0.a,b,(a,b),bf (x) dxM (ba) 2 , 其中 Msup f( x) 。证明: 4aa x b题目 8证明题一般设 f ( x ) 在 a , b 上正值，连续，则在( a , b ) 内至少存在一点，b1b使f ( x ) dxf ( x ) dx2f ( x ) dx 。aa题目 9证明题一般证明：02 sinn 1 xdx2 sinn xdx 。00题

3、目 10证明题1求证：2一般1dx。04 x2x3 6题目 11证明题一般设f (x)在区间(a,b)上连续，且在 (a, b)内任一闭区间上积分为零，证明 f ( x)在(a,b)内恒等于零。题目 12证明题一般若函数f (x) 在 0,1上连续 ,证明:a32) dx1a 2。xf ( x2xf (x)dx(a 0)00题目 13证明题一般设函数f ( x)和在上连续,g(x) a,bbf ( x) g( x)dx2bf 2b2 ( x)dx 。证明: a(x)dx gaa题目 14证明题一般设 f ( x) 在 0,1 上连续，证明： 2 f (sin 2 ) cosd4f (sin 2

4、 )(cossin)d。00题目 15证明题一般设f (x)在上可导且f ( x) M , f (a) 0, a, b,证明 :bf (x)dxM (ba) 2 。a2题目 16证明题一般设 f (x)在0,2a，(a 0) 上连续，2aa。证明：f (x)dx0 f (x) f (2a x)dx0题目 17证明题一般设 k为正整数，证明：(1)cos 2 kxdx；(2)sin 2 kxdx。题目 18证明题一般设f ( x)在0,1上有一阶连续导数且. f (1) f ( 0) 1.:12试证。 f ( x) dx 10题目 19证明题一般若 m为正整数，证明：2mmxdx12cosmxd

5、x 。0cos x sin2m0题目 20证明题一般若函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，bb则f (x)dx(ba)f a(ba)xdx 。aa题目 21证明题一般设函数 f ( x) 在 0,1 上连续 ,证明： 212f ( cosx )dxf ( cosx )dx 。040题目 22证明题一般( )在 连续，且 ()x若函数()，则() 0。fx Rf xa f t dtf x题目 23证明题一般设 f ( x)是以 为周期的连续函数，2(2x ) f (x)dx 。证明： (sin x x) f (x)dx00题目 24证明题一般设 f ( x)在 0,1 上连续且单调递减

6、,试证明:对于任何q 0,1,都有不等式q10f ( x)dxq0f (x)dx成立。题目 25证明题一般设f ( x)在 a,b上单调增加 .且 f( x)0.证明 : (ba) f ( a)f (x)dx(ba) f (a) f (b) 。ba2题目 26证明题一般设函数 f ( x)在a， b上连续且单调递增。F (x)1 x，xa af (t )dt (a x b)F (a)，f (a)证明：F (x)在 a, b上单调增 。.题目 27证明题一般设在上二阶可导且f(x) 0,f (x) a, b证明 :f ( x)dx (ba) f ( ab ) 。ba2题目 28证明题一般设f (

7、 x)在 a,b上连续，在a,b可导，且f ( x)，证明函数0F ( x)x f (t )dta x a在 ( a, b) 内满足 F ( x)0 。题目 29证明题一般试证：如果 f (x)在 a, b上连续，且对于一切 xa,b，f ( x)0b同时至少存在一点，使，则f (x)dx 0。a, bf( ) 0a题目 30证明题一般试证b)c a( ) 。f cx dxf x dxac b题目 31证明题一般设函数 f ( x)在0,1上可微，且满足等式：1f (1) 22xf ( x)dx00试证在内至少存在一点，使f ( )f( )。(0,1)-题目 32证明题一般设 f ( x)在a

8、,b上连续 ,并且对于每一个在 a,b上的连续函数都有bg( x) f ( x) dx 0g( x).a证明: f ( x)0(a。x b)题目 33证明题难设函数f ( x)在 a, b 上有连续导数f ( x，且f ( a)，0bb ab2则f ( x) f ( x) dx f' ( x ) dx 。a2a题目 34证明题难设f ( x)在a,b上二阶连续可微，其中 a 0 b，则在该区间上必存在一个 ，使baf (a )1b 2f (b) a 2 f (a)f ( x)dx bf (b)a2!1 (b 3a 3 ) f ( 0 )。3!题目 35证明题难若f ( x)关于xT对称

9、，且a，T bbb2Tb则 af (x)dx2 T f ( x) dxaf (x)dx 。题目 36证明题难试证1x2。I0 1 x4 dx0 1 x4 dx2 2题目 37证明题难证明奇函数的一切原函数皆为偶函数，偶函数的原函数中有一为奇函数。题目 38证明题难设 f ( x)在 a,b上连续，且 f ( x)xx10，又 F ( x)f (t) dtdtabf (t)证明： F (x)0在 a, b内有且仅有一个实根。题目 39证明题难证明当时有 af (x2a21aa21。:a 1 ,12 ) dxf ( x) dxxx1xx题目 40证明题难若函数 f ( x ) 在 0,连续，且lim f ( x ) A ，x则：lim 1xA。f (t )dtxx0题目 41证明题难证明 :若b2( )0则 () 0x a, b。fx dxf xa题目 42证明题难设函数 f ( x)在 a, b 上连续，证明：1x。limh f (t h) f (t )dtf (x) f (a) (a x b