2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题Word版含答案

1、2021届湖南省长郡中学高三月考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。0 .(1)已知i是虚数单位，且集合=则集合M的非空子集的个数为()(A) 16(B) 15(C) 8(D)7(2)在正项等比数列”“中，成等差数列，则;等=()(A) 1 +(B) 1->/2(C) 3 + 2在 (D) 3-272(3)已知命题：3_%«-8.0),3“<4”；命题"：1anx>x.则下列命题中为真命题的是()(A) 八q(B) pv,q) (C) 八()(D)p)八g(4)若lan O + 二一3

2、,则2siif J一cos。夕=() 4J(A) -(B) -(C) -(D)-5555(5)已知，且直线oy + ¥ 6 = 0与直线2x + S 3)y + 5 = 0互相平行，则为+外的最小值为()(A) 12(B) 25(C) 13 + 26(D)12 + 4>/3(6)对于常数女定义人(同=若/(x) = x-lnx,则人(/.(e)=() k,f(x)<k(A) 3(B) e+1 (C)e(D)e-122(7)已知椭圆C:二十二=1的左、右焦点分别为,椭圆C上的点A满足6A.若点P是椭圆C 43上的动点，则尤Re彳的最大值为()正方形，如图所示，则俯视图(A)

3、正(B)空 (C)-224(8)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1 该几何体的体积为()(A) -(B)-632,、5(04-36(9)已知圆C:(x-3+(y41=1和两点A(f?,0)，。上存在点P,使得NAP8 = 90 ,则实数机的取值范围是()(A) 5,7(B) 4,6(O 4,7(D) 3,5r>0(10)已知实数X)，满足约束条件x )W0(a>0),若Z = x+ay的最大值为2,则? + x+v<a最小值为()(A) V2(B) 20(0 3点(D)6(11)在 ABC中，角A民。所对的边分别为4,4。，且2ccos8 = 2g+Z?,若 ABC的

4、而积为叵，则 12"的最小值为()(A) -(B) -(C)-(D)3236lln x,x>0.(12)已知函数/(x)= I，若关于x的方程/q)-"(x) + c = 0(,ceR)有8个不同的实r +4x + l,x<0数根，则+ C的取值范围是()(A) (1,3)(B) (2,3) (C) (0,2)(D) (0,3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.(13)在ABC中，N是AC边上一点，且=P是8V上的一点，若,则实29数?的值为.(14)设函数y = /(x)在其图象上任意一点(瓦,先)处的切线方程

5、为)，-先=(3年一6%) (%-%),且八3) = 0,则不等式口之。的解集为./(x)(15)已知双曲线C:£-4产=1(。>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于手，抛物线E：)，2=2px的 焦点与双曲线。的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线乙：4.丫-3)，+ 6 = 0和4：x = T的距离之和的 最小值为.(16)已知/()表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9,则/(9) = 9： 10 的因数有 1,2,5,10,贝 iJ/(10) = 5,那么 /(I) + /(2) + f(3) + -+/( 22016 -1) =.三、解答题

6、：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)若函数f (x) = sin2 ax - >/3 sin av*cos ax - ( > 0)的图象与直线y = 相切，并且切点的横坐标依次成公差为乙的等差数列. 2（I）求a的值；（H）若七"',且/是），=/*）的零点，求函数/*）在区间x0,x0 + |上的单调递增区间.（18 ）（本小题满分12分）已知eN',数列4满足4 = 3+；0-,数列4满足/ =4+4+4+/;又在数列他,中4=2,且对V，小eN*, b： = %（I）求数列an和么的通项公式：

7、（H）将数列"中的第4项、第出项、第项、第4项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列"“，求数列化的前2016项的和4（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，Q4_L平面ABC。，Q4 = = A£> = 2 ,四边形ABC。满足AB _L A£>,BEBC AD，BC = 4,点M为PC的中点,点石为BC上的动点，且=4.（I）求证：平而4）“，平面依C：（II）是否存在实数九使得二面角石的余弦值为*?若存在，求出实数2的值：若不存在，说明 3理由.EC(20)(本小题满分12分)2222如图，曲线l由曲线6：二+

8、工=1(4>0力0,声0)和曲线。,：二一二=1(>>0)组成，其中6，尺为曲线 a- b- a- b-G所在圆锥曲线的焦点，鸟,鸟为曲线G所在圆锥曲线的焦点.(I)若U(2,0),玛(-6,0),求曲线L的方程；(H)如图，作直线/平行于曲线G的渐近线，交曲线G于点A.8,求证：弦的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；(III)对于(I)中的曲线L，若直线人过点工交曲线G于点C。，求CQE的面积的最大值.(21)(本小题满分12分)/设函数g(x)=e*J(x) = g4x+(1-;l)a-4g(x),其中。，以为常数,且0<见<1(I)求函数/(#的极值；(I

9、I)证明：对玉£R+,使得不等式 史立二1一1成立;x(III)设4，4eR，且4+4=1,证明：对，都有，%电工44+4%请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.(22)(本小题满分10分)选修4 4：坐标系与参数方程v 2/ 1己知曲线q的参数方程为二2('为参数)，以原点。为极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为P=21 一 cos。(I)求曲线C,的直角坐标系方程: (II)设M是曲线G上的点，是曲线g上的点，求M%|的最小值.(23)(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲已知a力,c为非零实数.(I)若存在实数卬

10、同满足：“2 +6+。2 =4 +p2 +g? =2,求证:*+£力b- L(H)设函数“x) = a?+加+ c,若xwT,0,l时，|f(x)区 1,求证:xeTj时，麻+。仁2数学（理科）参考答案一、选持迎题号(1)<2)<3)<4)(5)(6)(7)(8)(!)<10)(11)(12)答案BCDDBABDRCBD（DB【解析】U吊” = i.差M=i一一i.D所以M的非空子集的个致为2, 1 = 15个.选II（2）C【解析】为s 4-2比 成手遵数利.得% =川十2图印“同=田十为4'3>0</-241=0骅之用f II忘或I同舍

11、），于是也护=/空-.=/ 342后通Ca；十内 a； -ran”311）【解析】由指数函发的单利极可知命飕生土ruG （80）3- ）为外则命飕为兵；身如命题5 V/V（0千为则命域q为假.根报复合命题的4僮及可知令通力A q为假命题 i，V（ rq）为低.命魅。八（一1）为假命魅（"）八<7为真.比【）.（4）1）【解析】hun（?+f ） -3.得矍舄，第之祥tan M 2.则2疝泞一cos夕 然了2tnn'。- 17 .上 、高和T=1'选口（5>B【解析】占两近我平行得<< 3） 一 即2 I ： 1.ZRJ2« I 3一加

12、13川（2卜；）一13+y+>13+2y -乎=25.当且仅当 «=*=5 时+ 3”用=25.送 R（6）A «fffrr/fc）=c-l<*=2././>（c> = 2-XVJ<2） = 2-ln 2<A=3./N/2（c）=f2）=3.选 A.B【解析】设旬如甘与户才的夹角为。,曲条件知|前=?=卷.则高下户才=等|户yms仇于灵 K7s77A要取得强大伍只需耳方在瓦木上的投好伍最大苏加此时启在加圜妊轴的上项支所以下汴 IFTflcos收亨.即（用可/=华选B.（8）D t解析】技几何冰是从他长为1的正方体A块Z）-A'A&

13、#39;D'中俄义工楂诈 八'一人"垢利余的印分.因此顼几何去的体积等于i5-4x（4x19xi 4- 0选D.（9）B【解析】若圆C上存在点P使得/A08=90。则以A8为立径的圆与国C有公共 点.圻以只需 + V 1QV 八” +1 .即，<，46.即叫£：1 .盯途R（10）C【解析】山。>0存外表条件上后6夕平面区域会，困；由：=/+）济 3=一/一r.当 心>时,直或）一 Lt 5r i±点u（q,g时,纵故先谈大，此时<一。？一2, a a理科&学试题乐考答案长郎版）13-r拜,-1母上港口一笈 于是苗

14、心氏科/«上三r加一.您JT二产乃一3后,选c.mj2(11 )B 【解析由 2v - coe B-勿一，得 2san Ceos E2sin A sin Br 即 2sHi Ceos B-2$ni(B , (7) , san B,即 2sm Btos C+-siaB«0» *.*sin if .，2cosC+l-0取 cos C A OCO:大，。一冬.由 £:内0-得|"。髭«1驾，卿 c-3%由+b一2o&x>s C,* 9d/-a' +/4°&2ab+o4-3trQ.，Q。芬4"

15、.当其优当口一。叶,<aW.21选B.(12)D 1解析】作画找JXG的曲机加下：it八上)一两K当0<1/方程/(r) 一附有4个不用的安根,比时只言关于“的方程 一 一加> +r -。衣<0, 1有2个不同的尖敢栈，柝以只需从-46>0, r>0.所以由去3QA之的串:&区域如因所示，,b 4 cT.M lb f,当JL&c-«54*/过冬(00)时蚁找36髭小即j>04 U 0： S it残 c-一/>+/it息(2 ,D时 WM36 长夫和 V2+1T.母上将ks,3).达r>.二,痍空融(13)4【解析】

16、加积，因力山V以八.1士止，网力“雇一等疣 糖A行R因为8,P,N三左关段，所以皿+春1 ,所以加一；.(14 )(一8 ,。)U(0, DUC3, +8)【解析丁尸外的苗咏上任雳一&处眄切度方及为了一袋F3另一6%)3-外)/(% k比-6品， 却 厂(力-3/ - 6七 于是吞 人工>/一3+人就由 /(3)-0, flt ?一3 乂3R，ul0.即 c-0.-3/，从而原木¥关一¥二2、20,翳洱x<0或0<zC；l或x>3.Z 4JT(15)2【解析I,况由统。 4，一1的一条新通我为上一2Qyr(),上右旗走；到演渐it战的能离d一

17、方营一亨,HH中。袅一乐金兄1,即右焦点为(1 ,U) ,二也物版的焦点也为(1,0). K。-2,二/1以一一1为其衣枝.加黑，作造AfF,财MB .-之一、>、AU-Uh MF1,:5/LM、F三点关段时,距莓之和麦小.£戢小伍即为京F列理科疑学议题参考等案(长郡收，一 2八的正高,却3%（i6）W口 Hwn由/go的定义%/a）-/（2Q.且力秀奇凝时只小日 0g（»）-f（l）+/t2）+-+/C2-1）.JNlT（»+«-r（D+f（2）+-+JC21-l）-l+3+-+（r4,-l）+/（2）+/（4）+-+JC2-H-2）-皿牛三&#

18、163;1“D +/（2）42-1） -T* *趴”），即 爪刀 51）一猷力）一6分别取m 1,21,并累加得g（r?） -SIl 6” 一 1：.J（ 1） 二心）+，/（2MM-D-展2 016）«» U三、解答题（17）旧桥】（1 ） /3） oosaz，一号 二上一有sin 2ax-sin（2az+）. , （3分）工y=/C工）的否匏与JL段岁白相切，。为）。）的最大或为小值，郢L1无一L国力切庖的洪续怦俵次成公差力子的*正致利.1.最小正用斯T一号躯争-号.-2 L 3d 2给上洱"-2"-士L （6 分）（11）由如/（I） _an（42

19、 年），二一siii（5+*）0,H 5«+专412）,二刀一竽一赤AWZ1由0«f一壶若SW八得A1成2小三左堂.多5券时J3的通增®同为言号.语.若当心一岩除3/3的壅增P再为语警: 。2分）US）««r（ I ）由4-出产二将以4+4+庆+*人42物.（3分）WM旄&：=«：中金川=1,则从=彷二2二若儿,2"，瓢肛丁、比E2T,：肛一心检或至：若儿W2，甄$时&T-&：不展室.工（6 分）（I）在敦用”中，鼎金第01项、第9事、第0；项、羊6项，郢则会第3硕、第6项、第9项、第3«项

20、后构成的新数列k. 1中的4效项与倍效硬介珈成早比我科，流唤命村为分一2© 4，公比均为8（9 分）于是 Ti wc +n+-a+十。3$）十（a/c+a + c）.（1 产）4（1 -D1-S1-8(19)C««fl I )HP5 的中点 N,遑 MMAMVM.N 分剧为 PC、PB 的中点，.-.、:、二sr,M理科耿学试题奏考在索（桧邛版，一 3又"iM-严，二MN4A1%呵四边彩ADMW为+E边彩二半即分手dB ADMM （3分）PA± *ABCD,，PA_LAD.又 AB.AD,PADAB小，二八£>工中:&

21、PAB岬 /UZlAN.IMNjylN.VPA小B. N 为 PB 拘中 A,二/iNJLPRVPBnM.V-N. £ PBC.而ANj书 西.A£>M,：-平田 ADM/耳 力PBC. （U ）以八为愿晨，Afi,八D“F所/4.找分冽才，柚7柚述仙，史m空同范向生标 系 A-xyz.« P（0.0»2XP（Oi2,05.B（2.0,0）.ttii存在舄足能件的尖鼓3.金E（2 ,八0）.则 £）一（。,一22）.珑一（2-2,。）.争斗£PDE的一小法向量为初一Q,yq）.V.-0.2r+（L2）广。，尸咚'取之2.

22、 K胆一（2八2,2）.（6分）（10 分）抵斗£BDE的一小法向量”"。,0,1）.Vt|» |-，n 1nm - ny(2-o: -2s 22人解之舟X3版L于送A =3或合，印存在扁足条件的尖蚊儿KA 一3氏子. 4解析* I )由 FM2,O)、B(6,。) ,秆小十，一36.1 a220, 精之得a1if =4.）出现L的方衽为二5 点-10智明芸-1（了0.1nfit/个打于度Q的渐近残/的才程为k?"（上一初（12 分）3分则由Zl-4(2a?-|rf)>G. k得。£»犷:JTa -/Od-公 A(jn 

23、7;yi ) B(x： vz) |X) xs - w.1-a1 本玄多,y；7«4»)I jn - Xi ：.- a持点M（条一空）代入另一条渐近残尸一色 入夏您成立，底M在另一能新近视丁一色 上 （6分）（值）由（I小G 击 京-1（内0）出（6,6.理科敦学试题员考苏轰（卡邺植>一 4令?埼方链方上一J#6a>0).期由,3 y4<,+5)vJ+48rv+ 64-0.显：下7'由 A-G8力】-4 . 64 (445)>0.1/:>14、 八 ”*一43，合 CU, ,3)、。(口，“)力| yj Vi -也” 5,于让 VJ y1

24、M?3n 一尸一七r* b 16店 * f . 64 万Hr,。：>0，,见所<64后于是先eg 一斗BF(Ir L» 8 7§丁-企64万J卜5L(9分)116 6石F当JL便当4G -，郛p-W，FPL 今时，(§»，“ . (12分)0)【解析* I尸：(1-1)加一1/5)小 /(1)=0,赃/山4- (l-A)aJ-if(jf).二段 Gf)-F 递增，二M4(l.一入)4犬，即(1AG-d) - D,斛之洱d.当X<d时，/G>。，那/Cr)遇地；学N>a导，/COVO,对/口)递成."./*). /t

25、a)LgAa /(1一笛。口一M(a)r(1RgQ)1,无衩小 C1L (3分)，“T2dd I- 1| |£r-11(>0)-格 A(r)-一上一1, H，i'C)D IX),1JiQ)或(0, *oo)遇墟二八(/)>八(0)-0于W<d»gg"J"a<a>V G-(1 +a)2- l<a?<r)-er-( l+ajr-l, «一Q+Gj令 /Cr(h 瓢 /-1+cb 辞之科 z=ln(l+d).§ 0<2<la(l +)(j)<0,« 以川迅或，当时./(jO>。则中3)遇增.二五(/)一41口( d)-d-(1 d)ln( a).争帚一也C>0)国/S)7r一会一二 Q左M+8)上地戌，于是式。)一Q ,守击一 hQ +a) <0.1 9 a*.a<1 a)ln(l a)<0.即沙Q> V0>«M6 3xR，化修ya£K：Q 弱立. (7分)(UI) .*时于V <n «d： R ,想存庭n5£ R便f?。尸仁