信号与线性时不变系统的时域分析

1、第第2 2章章 信号与线性时不变系统信号与线性时不变系统的时域分析的时域分析第二章内容提要第二章内容提要2.1 引言引言 2.2 微分方程分析微分方程分析经典法经典法 2.3 微分方程分析微分方程分析双零法双零法2.4 单位冲激响应单位冲激响应 2.5卷积积分的系统意义卷积积分的系统意义2.1 引言引言o时域分析是指在分析过程中所涉及函数的自变量都是时间的一种分析方法，即在分析过程中对信号的变换、系统的描述及整个分析过程都在时域进行。o 时域分析方法简洁直观、物理概念清楚，是学习其他各种变换域分析方法的基础。 2.1 引言引言o如果能将系统的任何输入信号f(t)表示为若干个简单的基本信号 的线

2、性组合，则系统的输出 y(t) 就是每个基本信号所产生的输出 的线性组合，即若 （21） 则 （22） iiiy tc yt iiiftc xt ix t iy t)()(tytxii 2.1 引言引言o由此可见，只要能求出系统对基本信号的响应，就可以方便的求出系统对任意信号f(t) 的响应y(t)。有如下几个问题：1、用什么样的信号作为基本信号？ 选取的基本信号必须具有自身简单、响应好求、可以用来表示任意信号的特点；同时基本信号的选择也要与所采用的分析方法相适应，这里我们以 为基本信号。( ) t2.1 引言引言将任意信号分解为基本信号 ( )( ) ()f tftd 2、如何将任意信号表示

3、为基本信号的线性组合？( ) t的线性组合：3、将按照式（21）、（22）所提供的思路，以卷积积分为基本运算方法讨论LTI系统的时域分析法。 2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分系统的微分方程分析（一）析（一）经典求解法经典求解法o描述连续时间LTI系统输入输出关系的线性线性常系数微分方程的一般形式常系数微分方程的一般形式为： （24） 式中 为系统的输入系统的输入， 为系统的系统的输出输出。 nmkkkka ytb ft y t f t2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法 按照微分方程求解的经典解方法，线性微分方程的完全

4、解完全解由齐次解齐次解 和特解特解 组成，即 （25） hyt pyt hpy tytyt2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法o2.2.1 齐次解齐次解齐次解是齐次微分方程 （26）的解。 0nkka yt hyt2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法求解齐次微分方程的基本步骤：o先先写出对应的特征方程： o再求出相应的特征根： o最后最后根据特征根的具体情况写出齐次解的一般形式。 0nkka,1,2,iin2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析

5、（一）（一）经典求解法经典求解法u当特征根为单根单根时： intnkytc e（28）u当特征根 为r重根重根时： （29）式中 是一组完全解中的待定系数待定系数，必须在必须在完全响应下，由初始条件来确定完全响应下，由初始条件来确定。 i 1101111iinrttnkrytcc tctec ekc2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法o表表21汇总了几种特征根情况下齐汇总了几种特征根情况下齐次解的形式。次解的形式。表表21 特征根及其相应的齐次解特征根及其相应的齐次解 特征根 齐次解 实单根 r重实根 共轭复根 r重共轭复根 nyt

6、i1,0,1,1itriii rCCtCte 1,2jcossinteAtBtcostCet1001111coscoscostrrreCtCttC ttiitiC e2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法2.2.2 特解特解u特解的函数形式与输入信号的函数形式有关。特解的函数形式与输入信号的函数形式有关。u求特解的基本方法：求特解的基本方法： o首先将输入信号代入原微分方程的右端（代入后右首先将输入信号代入原微分方程的右端（代入后右端的函数式称为自由项）；端的函数式称为自由项）；o再根据不同类型的自由项的形式，选择相应的特解再根据不同

7、类型的自由项的形式，选择相应的特解的函数形式；的函数形式；o然后将然后将 、 及其及其 的各阶导数代入原微的各阶导数代入原微分方程；分方程；1.最后通过比较方程两端同次项的系数求出特解函数最后通过比较方程两端同次项的系数求出特解函数式中的待定系数即得到微分方程的特解。式中的待定系数即得到微分方程的特解。 pyt( )f t( )py t( )pyt2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法表表22 几种典型的自由项对应的特解形式。几种典型的自由项对应的特解形式。 自由项函数 特解 的相应形式 C（常数） P（待定常数） 等于特征根： 不等

8、于特征根： 等于r重特征根： rt0riiiptte01tepp t pyt0tp e0ritiip t e2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法12cossincosptptpt或00cossinrrititiiiipt etqt etcossintt或cossinrtrtt ett et或2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法o2.2.3 完全解完全解 完全解完全解 = 齐次解齐次解 + 特解特解对于n阶系统，完全解中的待定系数，即 中的待定系数 ，需要通过n个初始条件来

9、确定。其方法是对 及其 的各阶导数，令 ，结合已知初始条件可得到一个方程组，联立求解即可求解出n个待定系数。 hytkc0t y t y t2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法2.2.4 关于实际系统中的初始条件问题关于实际系统中的初始条件问题o在应用经典方法求解系统微分方程时，要使用 时刻的初始条件来确定完全解中的待定系数。o在实际系统中一般选择 为初始观测时刻，而系统的激励是在 时刻加入的，因此，由于输入信号的作用，响应及其各阶导数在 处可能发生跳变或出现冲激。 0t0t 0t 0t 2.2 连续时间连续时间LTI系统的微分方程

10、分析系统的微分方程分析（一）（一）经典求解法经典求解法 由于非零输入信号在时刻由于非零输入信号在时刻 作用于系统作用于系统的结果，系统由时刻的结果，系统由时刻 到时刻到时刻 的的“初始初始”状态是变化的。状态是变化的。t t0 0- - 0 0 0 0+ +y(0y(0- -) y(0) y(0) y(0) y(0+ + ) )( )f t图 21 系统初始状态变化示意图0t0t0t 例：)(2)()(6)(5)() 1 () 1 () 2(tftftytytydttudttdttydttydtty00000000) 1 (00)2()(2)()(6)(5)(解：两边同时从-到+积分：分析后得

11、到：010)(5)(0000)1(tyty1)0(3)0()1(yy2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法 在以“状态”概念为基础的现代系统理论中，LTI系统的完全响应完全响应 被分解为零输入响应零输入响应 和零状态响应零状态响应 两个部分，即 （210） xyt fyt xfy tytyt y t2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法 2.3.1 零输入响应零输入响应 顾名思义，零输入响应 是系统在输入信号 f(t) 为零的情况下系统的响应. xyt xyt 由式（210）有： （211）

12、000 xfyyy0 xy0 xy2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法同理有 （212） 这表明，零输入响应 是由系统的 初始条件引起的，因此 是 （213）满足 初始条件的解。 00jjxyy 00nkkxka yt xyt0 xyt02.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法因此， 也具有与齐次解（28）和（29）相同的形式，即当特征根为单根时： （214） xyt 1kntxxknytc e2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法o当特征

13、根为当特征根为r重根时重根时 （215） 式中系数 由 时刻的初始条件确定，与输入信号无关。 11,01,11,111iknrttxxxx rxkk rkytcctctec e 1,xkckn02.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法 如果系统的初始条件在 时给出，则由式有o （216） 则 （217） 在这种情况下，求解零输入响应中的待定系数，尚需要求知零状态响应在时刻的初始值。这个问题在求出零状态响应后是很容易解决的。000 xfyyy00fyy000fyyy02.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双

14、零法双零法o例 2.3 某RLC电路如图，已知 ， ， ， ， 电容上初始电压 ，电感中初始电流 。 为激励信号，输出响应为 ，试求t0时的零输入响应 。 11R 25R 0.25CF2LH06cuV02LiA sit Lit Lxit2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法is(t)C=0.25FL=2Hi1(t)i2(t)iL(t)+uC-R2=1R2=5+ u+ uL L(0(0- -) -) -+ +u uc c(0(0+ +) )- - R1R2i iL L(0(0- -) )图 22（a）图 22（b）2.3 连续时间连续时间LTI

15、系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法 解：（1）列写方程）列写方程。o该电路含有一个独立的电容和一个独立的电感，可用一个二阶微分方程来描述 （218） 1126444LLLssititititititit2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法o即零输入响应 就是齐次方程 （219）满足初始条件 ， 的解。 2640LxLxLxititit02LiA06cuV Lxit2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法（2）求特征根）求特征根由（219）可写出特征方程 （220）

16、解出特征根2264011 22 2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法（3）确定初始条件）确定初始条件由特征根可写出零输入响应零输入响应的形式为： （221）其导数导数为： （222） 122ttLxxxitc ec e 1222ttLxxxitc ec e 2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法并由KVL得到：00LLuLi1200cLuRRi1210003LcLiuiRRL （223）2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法o(4) 确定

17、待定系数确定待定系数o在（221）、（222）中令 ，并根据式（211）、（212）得到 （224） 联立求解得 0t 120002LxLxLxxtitiicc 120023LxLxxxtiticc 121xxcc2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法o(5) 确定零输入响应确定零输入响应o将 代入式（221）得到零输入响应为 （225） 121xxcc 2ttLxitee0t 2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法2.3.2 零状态响应零状态响应顾名思义，零状态响应零状态响应就是系统在初始

18、状态为零情况下的响应 （226） ff tftdytfh td 2.3 连续时间连续时间LTI系统的微分方程分析系统的微分方程分析（二）（二）双零法双零法o此箭头两边的运算就是卷积积分。这表明，一个一个LTI系统，在系统，在 初始条件为零时对任初始条件为零时对任意输入信号意输入信号 的零状态响应的零状态响应 等于等于输入信号输入信号 与系统单位冲激响应的卷积与系统单位冲激响应的卷积，使用1.1.3节中的符号将其简记为 （227）0 f t fytf th t fyt f t2.4 单位冲激响应单位冲激响应2.4 单位冲激响应单位冲激响应2.4.1 单位冲激响应的概念及其相关特性单位冲激响应的概

19、念及其相关特性（1） 是系统的一种特殊的零状态响应。（2） 是系统的一种特殊的零输入响应。( )h t( )h t2.4 单位冲激响应单位冲激响应o（3）冲激响应可完全表征系统的特性 （a） （b） 图图23 单位冲激响应的概念及系统的表示单位冲激响应的概念及系统的表示 0nxLTI系统 t( )h t ff th tyt2.4 单位冲激响应单位冲激响应o（4）由于 是一种特殊的零输入响应， 且由系统的结构、参数确定，所以，它 与系统的稳定性有直接关系。从数学上看， 若系统是稳定的，有： （228） 或等价地 （229） h t lim0 xh t h t dt 2.4 单位冲激响应单位冲激响

20、应o（5）LTI系统的系统的 具有因果性具有因果性因为 是一种特殊的零状态响应，它是 在t=0 时刻作用于 初始条件为零的LTI系统产生的响应，因此 符合因果律，即 只有在 上，即 作用之后存在。故 必是一个因果函数。 h t t00t h t h t h t t h t2.4 单位冲激响应单位冲激响应2.4.2 LTI系统冲即响应系统冲即响应 的求的求取方法取方法o1.微分方程求微分方程求例 2.5 某系统的微分方程为 （230） 求冲激响应 。 4 3 2ytytytftf t h t h t h t2.4 单位冲激响应单位冲激响应解：根据冲激响应的定义，可将原方程写为 （231） 4 3

21、2hth th ttt2.4 单位冲激响应单位冲激响应（1）求写）求写 的一般形式的一般形式，为此先写出系统的特征方程 并解得特征根 ， 。则系统冲系统冲激响应激响应 的一般形式的一般形式为 （232）243011 23 h t 312tth tc ec e h t2.4 单位冲激响应单位冲激响应（2）确定）确定 建立建立 的初始条件的初始条件o设各阶导数项的奇异函数项为： （233） t0 htatbtcu t h tatbu t h tau t00t 2.4 单位冲激响应单位冲激响应得 （234） 求解得到 代入（233） 和 中，并令 ，解得： （235）1a 42ba430cba1a

22、2b 5c h t h t0t 02h 01h2.4 单位冲激响应单位冲激响应（3）确定待定系数）确定待定系数 312tth teeu t2.4 单位冲激响应单位冲激响应o2.从系统结构直接求从系统结构直接求 在某些情况下，当系统结构很清楚时，则可按在某些情况下，当系统结构很清楚时，则可按照的定义，在系统输入端设定一个照的定义，在系统输入端设定一个 作用，作用，由系统结构就可直接写出其零状态响应，即由系统结构就可直接写出其零状态响应，即 如横向滤波器如横向滤波器 o3.实验测定实验测定 直接通过实验测定的原理如图25所示。 图图25 测量的原理框图测量的原理框图信号源待测系统观测 h t h t( ) t( )h t2.5 卷积积分的系统意