实变函数论文

1、实变函数课程报告指导教师实变函数【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以 n维欧式空间为基地，重点内容是 Lebesgue测度和积分 的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础，本文主要论述了 Lebesgue外测度、测 度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数1 .引言在19世纪时，数学家们已经认识到，仅有连续函数与 Riemann积分的古典理论已不足以解决数

2、学分析中的许多问题，为了克服 Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶，不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel建立了一维 Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文长度、面积和积分中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论一 Lebesgue积分1915年，法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家 Caratheodory关于外测度的研究，对于现代形式测度理论的形成起了关键作用。Riemann积分无视了函数的变

3、化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外，Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设f(x)在a,b上有界，满足 m f(x) M ,任给 0,作分割m y Yiyn M其中，Yi Yi 1,并作点集Ei x: yi 1 f (x) yi,a x b i 1,2,n.n则对应于上面分割的积分和为Yi 1 | Ei |,其中| Ei |为点集Ei的长度，这种积分的优点在i 1于可以取 很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数一一可测函数类。积分和计算

4、的关键是点集Ei的度量，对于通常的区间 Ei的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在Rn中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理论。Lebesgue外测度是对Rn中一般的点集 E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。2.Lebesgue 外测度2.1 Lebesgue外测度定义Def1:设ERn。假设Ik是Rn中的可数个开矩体， 具有E 屋，则称八为k 1的一个L覆盖，我们称m*

5、 inf | 1k :Ik为E的L 覆盖为点集E的Lebesgue外 k 1测度。2.2 Rn中点集的外测度性质(1)非负性：m*E 0,m*( ) 0(2)单调性：假设 E1 E2 ,则 m (E1) m (E2)(3)次可加性:*(Ek)m (Ek)k 1k 1证明:Ek的L覆盖IJ ,使得显然,EkEk k 1Ik,l :k,l1,2, 是任意性可知结论成立。(4)距离可加性：设E1证明:* ，一 一、m (E1 E2)*.只要证明m (E1 E2)|Ik,l | l 1|Ik,l | k,l 1Ek的L一覆盖,* ,m (Ek) 2k*m(Ek)k 1*， 一、* ,从而有m ( Ek

6、) m (Ek)。由的 k 1k 1E2是Rn中的点集，假设它们的距离d(E1E2) 0*m (E1 E2) m (E1) m (E2)* ，一、* ，一、m (E1) m(Ez)显然成立*m (E1)*m (E2)即可。* ，一设 m (EiE2)0 ,作EiE2的L覆盖Ik,使得*|Ik| m (EiE2)k 1d(EiE2),、,其中Ik的边长都小于；2 ,现将Ik分为如下两组:.niJii, Ji2,EiJikk iiJii, JI2,E2Jlk k i且其中任一矩体皆不同时含有Ei与E2中的点* ，、m (Ei E2)* *|IklIJikl IJikl m (Ei) m (E2)k

7、 ik ik i、一 . * ，一、 * ，一、 * ，一 一、由 任意性可知m (Ei) m (E2) m (Ei E2) *综上知 m (Ei E2) m (Ei) m (E2)(5)平移不变性：设 ERn, xo Rn,令 E % x %,x E,则* _ _ *m (E xo) m (E)证明： E的任一 L覆盖Ik经过小的平移后，Ik %仍是E x。的L覆盖_*m* (E (xo)| Ik xo |I k | m (E),即 m*(E xo) m (E)k ik i同理假设对E %作向量 平移， ,* *,则有 m (E xo xo) m (E %),即 m (E) m (E xo)

8、综上知 m (E xo) m (E)3.可测集与测度3.1 可测集与测度定义 nnc.Def 2：设E Rn,假设对任意的点集T Rn,有m(T) m (T E) m (T Ec), 则称E为Lebesgue可测集，简称可测集，其中T称为试验集，可测集的全体称为可测集类， 简记为U 。对于可测集 E,其外测度称为测度记为m(E),也就是通常所说的Rn上的Lebesgue 测度。证明：对o, T的L一覆盖Ik,使得m (T)11k I* _*_ c*_*_cm (T) m (T E) (T E ) m (T E) m (T E )*c*cm ( Ik) E) m(除)E ) m(鼠 E) m(

9、(Ik E )k 1k 1k 1k 1* ._* ._c* ._* _cm (Ik E) m (Ik E ) (m (I k E) m (Ik E )*m (Ik)k 1k 1k 1k 1*I Ik| m(T) k 1* * * _ C _由任意性知：m (T) m (T E) m (T Ec)注意：一般为了证明 Rn中任一点集 E是可测集，则只需对任意一点集T Rn,证明* * * c_* _ .m (T) m (T E) m (T E )成立即可，有时也可利用m (E) 0 ,则E U3.2可测集的性质1 U ；2假设 E U ,则 Ec U ；3假设 E1,E2 U ,贝U E1 E2E

10、1 E2,E1 E2 U(i j),4假设EiU (i1,2,),则其并集也属于U ;假设进一步有EiEjIII*. 一则m( Ei)m(Ei),即m在U上满足可数可加性或称为-可加性。1 1i 14 .可测函数4.1 可测函数定义Def 3:设f(x)是定义在可测集 ERn上的广义实值函数， 假设对于任意的实数t,点集x E:f(x) t是可测集，则称f(x)是E上的可测函数，或称f(x)在E上可测。4.2 可测函数运算性质(1)假设f(x), g(x)是E上的实值可测函数，则以下函数icf(x) c R1 ; i f(x) g(x) ; i f(x)?g(x)都是 E 上可测函数、,.1证

11、：i对于 t R假设c 0,则由x:cf(x) t x： f(x)上,可知。cf (x)在E上可测。 c假设c 0 ,则由x : cf (x) t) x : f (x) L),由f (x)在E上可测知x : f (x)1)可测，即Cf (x)在E上可测。假设C 0 ,则cf(x) 0 ,即cf (x)在E上可测。x：g(x) t n,其中口i对于 t R1,x:f(x) g(x) t (x: f(x) ri)i 1是全体有理数，从而可知f (x) g(x)是E上的可测函数。2 .1首先，f (x)在E上可测，对于R1,x: f2(x)E t)x : f(x)t 0;f(x)g(x)f(x) g

12、(x)2t)x : f (x). t)t 0;f(x)4i知f (X) g(x)在E上可测。学习文档仅供参考即f (x)?g(x)在E上可测。(2)假设fk(x)是E上的可测函数列,则以下函数】supfk(x)； WHQ)；】kimfk(x) ； ilim fk(x)k都是E上可测函数(3)假设fk(x)是E上的可测函数列,且有 limkfk(x)f (x),则f (x)是E上的可测函5 .Lebesgue 积分5.1 Lebesgue积分的定义Def 4：设 f (x)是 ERn mE上的非负可测函数，我们定义f (x)是E上的勒贝格积分f(x)dx sup h(x)dx,h(x)是Rn上的

13、非负可测简单函数 )Eh(x) f (x) E这里的积分可以是，假设 f(x)dx ,则称f (x)在E上Lebesgue可积的。设f (x)E是ERn上的可测函数，假设积分f (x)dx, f (x)dx至少有一个是有极限值，则称EE1 一f (x)d(x) f (x)dx f (x)dx为f (x)E上可积函数的全体记作 L(E)。EEE5.2 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系Th1:设f (x)是定义在有界闭区间a,b上的有界函数，则f(x)在a,b上是Riemann可积的充要条件是f(x) 在 a,b 上的不连续点集是零测集。Th2：假设f (x)在有界I区间a,b上是 Riemann可积的，则f(x)在a,b上也是Lebesgue 可积的，其积分值相同。6 .小结Lebesgue外测度是对Rn中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue 积分的基石，它成功的解决了 Riemann 积分只适用于连续函数的的最大缺限， 所以对其性质和计算的研究是非常重要的， 本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先，给出了 Lebesgue 外