人教高中数学必修一函数奇偶性知识点与经典题型归纳

1、1 函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 (1) 奇函数：设函数y = f(X)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个X ,都有f(_x) - 一 f (x), 则这个函数叫奇函数. (2) 偶函数：设函数y = f(X)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个X ,都有f(_x)二f (x)， 则这个函数叫做偶函数. (3) 奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性. (4) 非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 . 注意：(1)奇函数若在 x=0 时有定义，则f (0) = 0 . (2) 若f (x) =0且f(x)的定义域关于原

2、点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数. 2. 奇(偶)函数的基本性质 (1) 对称性：奇函数的图象关于 原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称. 单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反. 3. 判断函数奇偶性的方法 (1)图像法 (2) 定义法 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称; 确定 f( -x)与 f(x)的关系； 作出相应结论： 若 f( x) = f(x)或 f( x)- f(x) = 0，贝 U f(x)是偶函数； 若 f( x) = f(x)或 f(x) + f(x) = 0，则 f(x)是奇函数. 例题精讲 【例 1】若函

3、数f(xax2 bx是偶函数，求 b 的值. 解：函数 f(x)= ax2 + bx 是偶函数， f(x) = f(x) ax2 + bx= ax2-bx. 2bx=0. b= 0. 题型二利用函数的奇偶性求函数值 【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3) = 2,求 f( 3)和 f(0)的值. 解： f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( 3)= f(3) = 2， f(0) = 0.2 解：(1) f (x) |x |(x2 1)的定义域为 R,关于原点对称. 2 2 f(-x) =|-x|(-x) 1=|x|(x 1)= f(x) f(-x)=f(x)，即 f (x)

4、是偶函数. 1 (2) f(x) = .x - 的定义域为x | x 0 x 由于定义域关于原点不对称 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3) f(x) =|x 1| -|x-1|的定义域为 R,关于原点对称. f(-x) = | x+ 1| | x- 1|= |x- 11 |x+ 1 匸一(|x+ 1|x 1|) = f(x), f(x)=|x+ 1| |x 1| 是奇函数. (4) f (x)二的定义域为2, 由于定义域关于原点不对称， 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (5) f (x) 1 -x2 x2 -1 的定义域为1 , 1, 由 f (10 且 f (-1) =0，所

5、以 f(x) =0 所以f(x)图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称 故f(x)既是奇函数又是偶函数. 【例题型一判断函数的奇偶性 【例 4】 判断下列函数的奇偶性 2 (1) f (x) =| x |(x 1)； 1 (2) f (x) = , x x (3) f(x) =|x 1| -|x-1| ； (4) f(x)、末2、口 ； (5) f (x)二.1 2 、2 (6) f(x) x2 x ,x ： 0 已知函数f(x)二 3 (6) 显然定义域关于原点对称. 当 x0 时，一 x0, f( x) = x2 x= (x x2)； 当 x0, f( x)= x x2= (x2 + x)

6、.4 -(x2 x) 2 J (x - x ) 即 f (x)二 _ f (x) f (x)为奇函数. 【例 5】已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(- 1)+ g(1)= 2, f(1)+ g(- 1) = 4,求 g(1). 解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 得 f( _x) - _f (x)，g(_x) =g(x) 所以一 f(1)+ g(1) = 2 f(1)+ g(1) = 4 由消掉 f(1)，得 g(1) = 3. 题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式 【例 6】已知函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，求 f(x)的解析式. 解：当 x 0

7、 时，有-x : 0 所以 f (-x) =(-X)3 _(_x)2 = _X3 _X2 又因为f(x)在 R 上为偶函数 所以 f(x) = f(-x) - -x -x 所以当 x 0 时，f (x) = -x3 -x2. 【例 7】若定义在 R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x) = ex，求g(x). 解：因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 所以 f(-X)二 f(x)， g(-x) =-g(x) 因为 f (x) g(x) = ex 所以 f ( -x) g(-x) = e 所以 f(x) -g(x) x x 由式消去f(X)，得g(x)=:迁J.f (-x)

8、,x ：: 0 5 A.2 B.1 f(x)为偶函数, A. f(x) 0 时, B. f(x) 2 课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！ 函数 f(X)= X _1 J - x 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 1 x 0 时，f (x) =X2 ，则 x 1. 2. 已知函数f(x)为奇函数，且当 D. 非奇非偶函数 f(-1)=() 4. 已知函数 y=f A.f (0)f ( 1 ) f (2) C.f ( 1 ) f (2) f (0) (x)是偶函数, y=f (x 2 )在0, 2 上是单调减函数，则( B.f ( 1) f (0)v f (2) D.f (2) f ( 1) f (0) 5. 6. 已知函数 f (x) =ax2 + bx+ c (aO 是偶函数，那么 g (x) =ax3 + bx2 + cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C 既奇且偶函数 定义在 R 上的奇函数 解集为( ) f (x)在(0, +x D.非奇非偶函数 上是增函数，又 f ( 3) =0,则不等式 7. A. ( 3, 0) U (0, C. ( 3, 0) U (3, 若 f(x)在5,5上 疋奇 3) + x) 日主函数，且 f(