借助方程求解数轴上动点问题文档良心出品

1、借助方程求解数轴上动点问题湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1 数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数 的差。即数轴上两点间的距离二右边点表示的数一左边点表示的数。2点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作 运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a b；向右运动b个单位后所表示的数为a+bo3 数轴是数形结合的产物，

2、分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的 路径可看作数轴上线段的和差关系。例1 已知数轴上有A、B、C三点，分别代表一 24, 10, 10,两只电子蚂蚁甲、乙 分别从 A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C两点同时相向而行， 问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？在的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在 数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。分析：如图1,易求得AB=14, BC=20 , AC=34甲乙ABC 2-

3、24-10010设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为一 24+4X。 甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14甲到C的距离为10( 24+4x) =34 4x依题意，14+ ( 34 4x) =40,解得 x=2 甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20,甲到A的距离为4x依题意，20+4x) =40,解得x=5即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。依题意有，4t+6t=34,解得t=3.4相遇点表示的数为一 24+4X3.4=10.4 (或：10 6X 3.4=10.4)甲至UA、B、C的距离和为40

4、个单位时，甲调头返回。而甲到 A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。 甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：一24+4 X 2 - 4y ;乙表示的数为：10-6X2 6y依题意有，一24+4X 2 4y=10 6X 2 6y,解得 y=7相遇点表不的数为：一24+4 X 24y= 44 （或：106X2 6y= 44） 甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为：一 24+4X54* 乙表示的数为：10 6X 5 6y依题意有，一 24+4X5 4y=10- 6X5- 6y,解得y=

5、 8 （不合题意，舍去）即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为一44。点评：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起 点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距 离，即终点所表示的数。例2.如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为一 20, B点对应的数为100。AB-20100求AB屮点M对应的数；现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；若当

6、电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰 好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D点相遇，求D点对应的数。分析：设AB屮点M对应的数为X,由BM=MA所以x-（- 20） =100- X,解得x=40即AB中点M对应的数为40易知数轴上两点AB距离，AB=140,设PQ相向而行t秒在C点相遇，依题意有,4t+6t=120 ,解得t=12（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得一 20+4t=100- 6t, t=12）相遇C点表示的数为：一 20+4t=28 （或1006t=28）设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数

7、为100-6y, Q表示的数为一 20 4* P、Q为同向而行的追及问题。依题意有，6y 4y=120,解得y=60（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得一 204y=100 6y, y=60）D 点表示的数为：一 20 4y= 260 （或 100 6y= 260）点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。是一个相向而行的相遇问题；是一个同向而行的追及问题。在、中求出相遇或追及的时间是基础。例3 已知数轴上两点A、B对应的数分别为一 1, 3,点P为数轴上一动点，其对应的数为X。若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B

8、的距离之和为5?若存在，请求岀x的值。若不存 在，请说明理由？当点P以每分钟一个单位长度的速度从0点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运 动，点B 每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？分析：如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PAoAE*«*-I03依题意，3x=x( 1),解得x=1由AB=4,若存在点P到点A、点B的距离之和为5, P不可能在线段AB±,只能在A点左 侧，或B点右侧。 P 在点 A 左狈ij, PA=- 1 - x, PB=3-x依题意，(一1 x) + (3 X) =5,解得 x

9、=1.5 P 在点 B 右狈9，PA=x -(- 1) =x+1 , PB=x- 3依题意，(x+1 ) + (x 3) =5,解得 x=3.5点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。故P点总位 于A点右侧，B可能追上并超过A。P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。设运动t分钟，此时P对应的数为一 t, B对应的数为3 20t, A对应的数为一 1 5t。 B未追上A时，PA=PA,贝UP为AB屮点。B在P的右狈9, A在P的左侧。PA= t ( 1 5t) =1+4t, PB=3 20t ( t) =3 19t2依题意有，1+4t=3 19t,解得t=15 B

10、追上A时，A、B重合，此时PA=PBo A、B表示同一个数。_4依题意有，一1 5t=3 20t,解得 t= j .'i即运动 二或二分钟时，P到A、B的距离相等。点评：屮先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。例4.点A?、A3、An (n为正整数)都在数轴上，点在原点0的左边，且AQ=1，点A2在点Ai的右边，且A2Ai=2，点A3在点A?的左边，且人识2=3,点&人在点A3的右边, 且AaA3=4 ,依照上述规律点A2008. A2009所表示的数分别为()。A. 2008, 2009 B. 2008,

11、 2009 C. 1004, 1005 D. 1004, 1004分析：如图，点Ai表示的数为一 1 ；点腺表示的数为一 1+2=1 ;点A3表示的数为一 1+2 3= 2;点A4表示的数为一1+2 3+4=2点 A2008 表示的数为一 1+2 3+4 2007+2008=1004点 A2009表示的数为一 1+2 3+4 2007+2008 2009=1005点评：数轴上一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a- b；向右运动b个单位后 所表示的数为a+bo运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程屮的方向变化。练习题：1.已知数轴上A、B两点对应数分别为一 2, 4, P为数轴上一动点，对应数为xo若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10?若存在，求出x的值；若不存 在，请说 明理由。若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的屮点？（参考答案：（1）0 或 2;（2） 4 或 6 :（3）2）2电子跳蚤落在数轴上的某点Ko,第一步从K