非线性柔性结构独立模态控制实验平台

1、一个非线性柔性结构的独立模态控制试验平台摘要：本文研究利用独立模态控制方法来抑制非线性柔性结构的振动。近年来，随着机械领域的技术进步，开发了重量轻又性能高的系统，因此系统变的柔性大且阻尼低。如今主动控制很快地取代了传统的被动阻尼系统。本文研究的结构是用液压致动器驱动的柔性多体臂架。数字化显示非线性系统的动态特性，并且以同样致动器为基础的控制策略已经成熟。最后设计测试平台用实验验证这个提出的方案。1.介绍近年来不仅在航空航天研究上，在许多的机械应用领域也越来越多地使用振动控制技术。为了改善系统性能，需要减轻重量，这就要求结构柔性大且阻尼低。这些结构遭受疲劳损伤以及不稳定因素增多，因此会导致一系列

2、安全问题。普遍认为传统的外部被动控制方法更具侵害性，将杂物带进结构，而且对大范围频率控制基本无效。另一方面，特别是考虑到计算器硬件的广阔发展前景和降低成本两方面，主动控制是很诱人的解决方法。近十年来在提出的各种不同的控制技术中，模态控制有许多优点，是由于它在系统动力学设计上的及时性和相关性。此外传感器和致动器技术的改进，部分弥补了简化模型和未建模动力学系统的缺点，限制了溢出问题。20世纪70-80年代，Balas 1和Meirovitch2在文献上介绍了模态控制。通过运用模态展开原理和模态控制技术，Balas研究涉及大型航天器结构上的振动抑制，。若干年以后Meirovitch提出独立模态空间控

3、制方法（IMSC），使用模态滤波技术来估算模态坐标3。Baz和Poh4进一步完善了此方法，他们提出一个改良的独立模态空间控制方法(MIMSC)，采用压电致动器最佳地获得的计算结果。Lin和Chu 5演示了模态控制，一个有复杂振型的一般动力学系统，不能保证系统稳定性，甚至无法保证控制模式。通过使用分布式传感器和致动器6，溢出问题局部缓解，也出现了应用IMSC控制柔性联动装置的案例7,8。在2001年，Inman 9也探讨了有关模态控制的溢出问题，推断现代的技术能够有效解决它。此外，Skidmore 10 和Khulief 11提出，要模态控制结合有限元法定义模型。考虑到结构的大行程运动，他们研究

4、在单个梁/电缆结构上关于振动抑制的主动控制方式，。关于此研究课题，考虑到可变形性及系统的大行程运动，Lin 12提出了一个基于虚拟负载的令人关注方案。本文涉及多体非线性柔性臂架的独立模态控制。特别是研究结构大行程运动的振动抑制，因为只有几个模型能积极地描述系统的动力学状况，所以模态控制尤为重用。通过模态参数识别过程，或借助有限元建模的数据，模态模型需要在实验中明确所有的控制规律。在这样的背景下提出臂架的有限元建模，这建造的模型既可以通过极点配置技术允许控制者/ 观测器获得定义，又可以数值仿真。同时设计测试平台去验证定义的控制规律。通过有控制和没有控制两种情况下运行状况的比较，可以获得溢出问题的

5、注意事项。2.系统这臂架由一些彼此用旋转副连接的臂架片段组成（图1）。每个臂架片段通过精准的运动链关系用液压装置来驱动。由于长度和局部抗弯曲刚度低，结构会出现大的变形，在正常的工作条件下，出现低频率振动，通常认为这与低阻尼系数有关。如先前提到的，研究者开发了一个数字化模型，作为一个确定控制逻辑和模拟臂架运行状况的工具。首先做一些假设：l 平面运动：这臂架沿着二维坐标系（x,y）运动；l 小变形：力与变形之间是线性关系。另外，认为轴向变形和弯曲变形是可以 忽略的；l 局部的旋转：忽略所有的离心力作用和科氏力作用。这样，这个模型可以描述臂架部件的复杂运动和弹性变形。为了写出运动方程，定义了下面的参

6、考系统（图2）：l （O-x,y）是一个总体的臂架参考系，是以臂架为基础建参考系的；l （Oj-xj,yj）是第j段的参考系；l （Ojk-xjk,yjk）是第k段定义在第j段上的参考系。通过采用“浮动参照系”的构想解决臂架运动学建模 13，这构想从两个因素描述运动。l j段参考系（Oj-xj,yj）的绝对移动和转动在绝对参考系（O-x,y）中度量。可以根据前面臂架片段的自由度函数来描述平移运动，用独立的参数j来描述旋转运动；图1.柔性臂架的布局图2.链接参考书（a）和有限元参考系（b）l 每一臂架片段的变形与它的柔性结构有关，通过有限元法，用包含每个节点的三个独立坐标的矢量d来描述。因此，总

7、的独立变向量定义为 z=d （1） 通过拉格朗日公式，获得了臂架非线性运动的方程 M(zz=fz，z+act(z)TFact（t） （2） M(z表示所有的惯性作用，fz，z包含了所有的非线性阻尼、弹性和重力作用，Fact（t）表示复杂运动的驱动力，act（z）表示致动器的长度和独立坐标向量（Z）两者的运动关系。因为矩阵取决于运动变量，更取决于各部分的结构外形，所以方程式（2）是非线性方程。为了研究振动问题，获得系统特征。非线性方程是可估计的并且在每个臂架结构上也能实现线性化。在一般结构系统“Z=Zi”，方程（2）变成 Mi·zi + Ri·zI +Ki·zi =

8、fg (z)+ iT Fact （3）Mi、Ki分别表示了惯性和弹性矩阵，包括结构项和致动器作用项；阻尼项Ri与弹性项和惯性项成正比关系。从实验数据中估计比例系数；fg (z)表示重力项的连续作用。由于臂架片段的转速低，因此可以忽略离心作用项和科氏作用项。下文提到的是在数值上/实验上研究一个减少结构振动的控制逻辑。3.主动控制在工作条件下，因为臂架组成部分的柔性大，这系统早期描述为进行大行程运动造成的较大水平振动。为了抑制这些振动（z），本文提出采取用同样的致动器驱动各个臂架组成部分的控制动作。如图3所示，控制力uc 与大行程运动驱动力Fact是平行的。采用这种振动控制逻辑是以模态控制方法为基

9、础的2，采用此方法，从系统的振动状态和合理定义的增益矩阵来估计控制动作。尤其是可以通过一组在测试频率范围内表示系统动力学特征的模态坐标来描述振动状态。这模态坐标，不能直接用一个普通的设备去测量（除非我们使用了分布式传感器【6】），必须用模态观测器估计。下面，我们逐步深入分析。不考虑重力项和外部作用力项，可以从方程（3）中计算出控制综合体，因为这些因素不能修改极点值。 Mi·zi + Ri·zi +Ki·zi =iTuc （4）通过引用新值c取代原来的特征值使振动减弱，控制力uc的目的是为了增加系统的阻尼系数。系统特征值的实部增加了，而虚部仍没有变化是为了避免在臂架

10、物体上使用有影响的控制力和加入额外的机械疲劳应力图3.主动控制逻辑框图 这构想可以使用状态空间控制方法来实现，如极点配置法等。假设一个一般的二阶机械系统，定义状态空间矢量 X=zizi (5)方程（4）转换为 X=-Mi-1Ri-Mi-1KiI0X + Mi-1iT0uc=Aix+Biuc (6) 在一个二阶系统中，不受控制的系统特征向量矩阵可以写成14 Ui=iii （7）式中, i表示状态矩阵Ai的特征对角矩阵；在i的行列式中，包含系统的模态形状信息 定义控制律为 uc=-GiX (8)方程（6）变成 X=Ai-BiGiX=Ai,cX (9) 在这极点位置控制策略中，可以找到增益矩阵Gi，

11、所以控制系统的状态矩阵Ai,c有我们想要的特征值c。对于一个多变量输入系统来说，其他的条件可以当做是矩阵Gi的分析思路。例如设置一个控制系统的特征向量与非控制系统的特征向量比较（i,c=i）这样，通过矩阵的特征值问题就能算出矩阵Gi (Ai-BiGi) Ui,c=Ui,ci,c (10)式中，矩阵Ui,c、i,c=i和特征值i,c被定义在方程（7）中。提到方程（10），通过转换关系，用状态空间法获得独立模态控制增益公式 Gi= Bi-1 0 Ai-Ui,ci,cUi,c-1 (11) 式中，Bi表示Bi的高位，Bi的低位对于二阶机械系统来说，相当于0。这个公式可以运用到任何输入和自由度一样多的

12、二阶系统（矩阵Bi必须是方阵）。另外，必须保证系统的可控性。如前面所描述的，在目前条件下运用有限元离散方法来得到运动方程。这就意味第二段提到的变向量z 包含结构上所有的节点位移，它的维度是和方程（11）中的公式是矛盾的，因为只有三个致动器在臂架上是有效的。此外，结构的动力学只需要考虑第一种模式，因为高频模模式通常有较高的阻尼比所有几乎不会激发。因此，用一组描述臂架运动有限坐标定义一个简化的模态系统，来解决著名的溢出问题。3.1 独立模态控制定义完整的模态坐标向量qtot，向量qtot中只包含m模态坐标的部分设为qz，进行等效变换 z = i，tot qtot i qz （12）式中i，tot表

13、示矩阵Mi-1Ki的特征向量，只包含参考模型特征值的i是矩阵i，tot的一部分。 由方程（4）(12)，运动方程变成了一组独立模态方程 mi qz+ ri qz + ki q z = iT iTuc (13) 式中mi,ri和ki是m×m对角阵，由下式得到 mi= iTMii (14) 值得注意的是，只有方程式(13)和(14)对实际的模型系统有效。总之这试验系统的阻尼非常小而且这模型是可以实现的。 例如，图4展示水平放置的臂架的第一种(a)模型形状和第二种(b)两种模型形状。 为了运用状态空间控制方法来简化模态系统，方程(13)可以写成模态空间形式： q=-mi-1ri-m-1ki

14、I0q + mi-1iTiT0uc=Aqq+Bquc (15) 式中 X=qiqi (16)通过方程（11）（15），计算出增益矩阵Gm，定义控制力uc uc= - Gm · q (17)因此，方程（15）变成 q=Aq-BqGmq=Aq,cq (18) 这状态空间法的缺点是失去了增益矩阵值的物理意义。因此，由模态控制律计算出方程（13）中的项iT iTuc 是没有结合系统模型的，并且增加系统阻尼系数： iT iTuc=gv·(qref-qz)+gp·(qref-qz) (19)式中qref和qref是有关模态坐标的向量，而且要设置为0，因为控制的目的是消除振动。

15、公式中gv和gp 有严格的物理意义，因为他们分别表示控制带来的刚度增加和阻尼系数增加。为了所有控制规律在每一个模型都有独立的刚度和阻尼影响，必须保证独立模态控制是对角阵，以保持和非控制系统一样的特征向量。如果致动器的数量和假设的模态坐标数量一样就能满足这条件（na=m）。水平放置时臂架数字模态分析：第一种模式（a）和第二种模式（b）另外，系统必须是可控的，所以iT ,iT的任何行列必须是非零的。这意味着在每个模式至少有一个控制力是起作用的，每个控制力至少作用一个模式。 计算控制力 uc=（iT iT）-1（-gv·qz-gp·qz）=-Gv·qz-Gp·

16、qz （20）选择Gv和Gp是为了获得我们想要的系统特征值。尤其为了与非控制系统保持一样的固有频率，Gp是被设置为0。3.2 模态观测器假设我们知道准确的模态坐标，这方法提到即使模型控制数量比结构模型数量少，也要保证完全解耦的模态控制和避免溢出问题。然而，在绝大多数柔性结构控制应用中模态坐标是不知道的，必须使用模态观测器或滤波器估算3。如后面提到的，这种情况下控制系统无可避免的存在溢出问题。图5展示应用模态观测器的流程。根据方程（18），写出观察方程 q=Aq,cq+Go(u-û) (21)式中Aq,c是简化控制模态系统的状态空间矩阵；Go是观测器增益矩阵，本文后面定义它；q表示估算

17、的模态坐标；u和û分别表示测量结果和估计测量结果。u 是观测器输入矩阵，定义û û =C q （22） 将估计测量向量和观测器输入向量联系在一起的C值，取决于传感器种类（加速度传感器，位移传感器，应变传感器等。）。根据方程（22），观测器方程（21）变为 q=（Aq,c-GoC）q+Gou = Aq,oq + Gou （23）为了定义矩阵C，申明本文中所提的估计模态坐标传感器都是加速度传感器是必不可少的。我们定义 ui=EiT·z (24)式中行矢量EiT表示第i段加速度传感器测量结果和独立坐标(时间的二阶导数)的关系。从方程（24）估计状态，根据方程(

18、12)和(15）矩阵C的每一行定义为 CiT=EiTkAq,c (25)式中矩阵Aq,c表示在方程(18)定义的状态空间矩阵Aq的高位。最后联系上文得到 C= C1T··· ClT （26） 图5.模态观测器框图现在可以定义观测器的最后一项，使用极点配置法计算增益矩阵Go。因此，使用一个单输入的观测器（一个加速度传感器）计算增益矩阵 Go= T-1 (ao-a) （27） 式中列向量a和ao包含简化模态状态空间矩阵特征多项式系数和观测器状态空间矩阵（Aq,o和Aq,c），而T-1是常对角矩阵15。4.实验数据分析前面段落定义了振动控制逻辑。为了测试这个采取的解决方

19、法，进行数学演算实验过程。在第二段介绍的测试平台安装了l 三个负载单元，读出总的致动力；l 三个位移传感器，获得臂架外形；l 一个当作观测器输入的加速度传感器和安装在最后一段末端的臂架振动指示计如上文提到的，非线性方程（2）描述系统运动。因此，为了使控制逻辑严密要求所有的控制矩阵需要在每一步后校正。数字仿真中，校正是非常容易实现的而且不会产生实时性问题。然而，实验应用程序需要时间去计算控制矩阵，这意味每一步必须在1毫秒的时间内完成。在限定的时间范围内一般的微处理器没有足够的动力和速度处理它。所以，必须采用近似计算。总之，因为臂架片段的转速对控制器动力学影响很小。这种近似法并没有损害控制效果，并

20、且可以采取两种方法。这第一种方法是使用多任务控制模式每n时间步计算控制矩阵。一种更快的方法是每个时间步计算控制力，其他的方法需花更长的时间。这第二种方案是预先计算一组臂架结构的控制矩阵。这样，在每一步中，软件只需要使用线性插值法提取最近的组态矩阵。实际的臂架构型可以通过如前面提到的致动器LDVT输出。控制板中的有效存储器会影响其效果。 鉴于方法二在目前的应用中需要少量的存储器，第二种方法(图6)成了更受欢迎，应用的更多。 图7是使用模态控制和不使用模态控制（三种模式）两种情况下的极点图。控制系统和观测极点如下：l 每个控制和观测极点的虚部，控制系统和非控制系统设置成一样。因为这不是当前工作的目

21、的和也不是产生大控制力的原因，所以我们对修改系统频率不感兴趣。如前面所述，控制力的增加会导致机械应力变大和疲劳问题。l 设置每个控制和观测极点的实部分别等于相应虚部的10%和30%，是为了保证控制系统的阻尼系数比非控制臂架系统高；要选择使闭环系统阻尼系数最大的值。图6.控制执行方法框图图7.控制系统和观测器特征值位置图8.微分控制特征值位置；不同kd值的根轨迹（在缩放窗口中）图7.展示了应用模态控制的极点位置和观测相关的非控制系统极点位置。可以得出闭环极点不在我们设计的位置上，而是在中间位置。这是由于控制循环和观测循环联合作用的原因。通过比较，分析使用同位控制力的可能性。这是一个最简单的方法，

22、因为它只需要致动器长度 的测量结果而且它也是增加系统阻尼最简便的方法。产生的控制力，式中Kd是一个对角阵。 uc= Kd ·(ref- ) （28）包含一个同位微分控制，通过增加臂架致动器上的阻尼作用来增加系统的总阻尼。此方法比模态控制更加简便。事实上，它的计算量更少而且不会损害系统稳定性。 但是，这个方法使阻尼系数增加过多。事实上这微分作用只是对致动器振动起作用，没有考虑到由于臂架柔性引起的臂架组成部分振动。 因此，即使优化过后，也只是少量地增加了阻尼系数。图8展示了水平对齐放置臂架根轨迹图和最佳微分增益极点位置。4.1数值分析本段展示一些数值结果。所有有关测试平台数值模型的仿真都

23、可以给实验提供帮助。所有的结果都与臂架大行程运动有关（图9）。图10 是比较同位作用的微分项和模态控制的减振效果。第3段末端的加速度可以用来评判控制性能。左图中，用数字显示图9中描述的大行程运动期间的加速度时间关系曲线图。时间关系曲线图也包括了由重力产生的静止加速度。右图用对数表示，在第一段中末端加额外力的加速度频谱范围。图9所示的大行程运动末端结构的仿真实验。这额外的力由0-6Hz的扫描频率形成，包含了结构的前三个固有频率。这些数字表明模态控制可以大大减弱在固有频率附近的振动。但是，系统的响应时间变长。总之，如表1所展示的，模态控制能保证大大增加臂架的阻尼系数。图9.臂架片段的大运动;开始和

24、终止的形态（a），旋转时间关系曲线图（b）。图10.第三段末端的加速度值；时间关系图（a）和频谱图（b）表1 ：水平放置的臂架在有无模态控制状况下三种模式的阻尼系数比较4.2 实验结果 本段展示通过测试平台获得的结果。平台由3个部分组成，如图11所示。 在这个数值实例中，第三段末端的加速度用来评判控制性能。 图12展示了实验结果，是通过重现和数值仿真一样的条件获得的（运动，控制参数，测量方法）。 我们可以看出这测试平台经受了溢出问题的检测9。尤其我们可以看出，在这个设备中，控制力使第五个结构模型（第二个不受控制的）不稳定。这意味着在臂架动力学中，模型是不能忽视的，并且必须包含在简化系统的定义中

25、。在数值仿真中，这个现象不明显，但是控制矩阵计算要求是严密的。事实上，恰好是在控制体和数值运动集成两方面都使用了同样的系统。此外，必须考虑为了准确重现前三种模型的阻尼比要修正数值模型中成正比的阻尼因素。这种选择导致了在高频时阻尼被高估，增加数值积分的稳定性。另一方面，模型和测试平台的差异导致了独立模态控制规律不严谨。图11.测试平台图片 图12.臂架第三片段末端3种模型检测到的加速度实验数据；时间曲线图。图13.臂架第三片段末端5种模型检测到的加速度实验数据；时间曲线图（a）和频谱图（b）图14.非模态控制（a）和模态控制（b）的数值实验频谱比较因此，为了解决这问题，需要使用五种模式的观测器来

26、避免检测到溢出问题，尽管只需要考虑前三种模型的反馈，控制增益矩阵也不能改变，。图13展示通过改善控制设置得到的实验结果。我们可以看出溢出问题得到了解决也获得了令人满意的数据。为了完成数值实验分析，在图14中做比较。5.结论在本文中，研究的是运用一个控制方法去抑制由于柔性臂架的大行程运动造成的振动。对于这种柔性结构来说，在一个集中频率范围内建立简化的系统动力学模型，模态控制仍然是个令人感兴趣的方法。因此，采用非线性主动控制逻辑是基于独立模态控制理论来阐述状态空间法构想，正如用一个模态观测器去估计不可测量的模态坐标一样。通过使用同样的液压致动器系统就能够控制臂架的大行程运动。首先使用数字仿真测试此

27、方法，结构显示在工作条件下此方法大约能将阻尼系数提高15%并且不会影响大行程运动和降低材料许用应力。最后设计测试平台验证此方法，实验结果强调要增加观测器的模式以避免溢出产生的失稳问题。参考文献1M.J.Balas, Active control of flexible system, Journal of Optimization Theory and Applications 25(3) (1978)415-436.2L.Meirovitch,Coparision of control techniques for large flexible system, Journal of Guid

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