全概率公式及其应用

1、1全概率公式及其应用(清华大学数学科学系 叶俊)命题趋势：即使是填空题和选择题， 只考单一知识点的试题很少， 大多数试题是考查考 生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型， 综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。1.全概率公式和 Bayes 公式概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂 事件的概率，全概率公式和 BayesBayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A A,如果能找到一伴随 A A 发生的完备事件组B1,B2，而计算各个Bi的概率与条件概率P(A| Bi)相对又

2、要容易些，这时为了计算与事件A有关的概率，可能需要使用全概率公式和 BayesBayes 公式。背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A的患者，到底患了疾病B1,B2中的哪一种，可用BayesBayes 公式算出在症状A的情况下，起因于疾病Bj的概率P(BiA)，而后按各个后验概率P(BA)的大小来推断患者患哪种病的可能性最大.完备事件组的理解： 所有病因都知道，且没有并发症。定义 称事件族B1,B2/为样本空间门的一个划分(也称B1, B2为一Q0个完备的事件组)，如果满足BjBj =(i = j)且Bj二门。进而，如还有i三P(Bi) 0,i = 1,2,，则称B1,B2/为样本空间门

3、的一个正划分。一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细，则相应的信息更详尽。定理 1 1 ( (全概率公式) )设事件B1, B2.为样本空间门的一个正划分，则对任何一个事件A, ,有P(A)二瓦P(Bi)P(ABi)i二定理 2 2 但 ayesayes 公式) )设E，B2,为样本空间门的一个正划分，事件A满足P(A) 0, ,则2P(Bi)P(ABJP(A)若将它与全概率公式结合起来 ，就是 BayesBayes 公式的以下的常用形式P(Bi)P(ABi)P(BA) =m、八兰，i = 1,2，m)m)工P(Bj)P(ABj)j =1公式的直观理解：如果我们把Bi

4、看成是导致事件A发生的各种可能“原因”，那 么，全概率公式告诉我们，事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均，其中的权重分别为P( Bi).而已知“结果”找“原因”的问题则可以用 BayesBayes 公式来计算。且告诉我们“Bi导致A”的可能性的大小恰与乘积P(BJP(BjA)成比例.2.几个典型的例子2.12.1 树状图法例 1 1 某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占80%80%合格率为 90%90%乙厂产品占 10%10%合格率为 95%95%甲厂产品占 10%10%合格率为 80%80%某顾客购买了一灯 泡，求它是合格品的概率。2.22.2

5、一般方法(公式法)例 2 2 假设有两箱同种零件：第一箱内装5050 件，其中 1010 件一等品；第二箱内装 3030 件，其中 1818 件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个 零件(取出的零件均不放回)，试求：(1 1 )先取出的零件是一等品的概率p p;(2 2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q q。解引进下列事件：Hi= 被挑出的是第 i i 箱(i=1,2i=1,2)Aj= =第 j j 次取出的零件是一等品 (j j= 1 1, 2 2)由条件知P(H1)= P(H2)=2p(4丨比)珂，P(A1|H2)迁(1)(1

6、)由全概率公式，知3p = p(A) = P(H1)P(AH)P(H2)P(AW2)4(2)(2)由条件概率的定义和全概率公式，知PJPGIHJ P(H2)P(AA|H2)51卫211L7】=丄2.512 2 50 492 30 294 4929例 3 3 采购员要购买 1010 个一包的电器元件. .他的采购方法是：从一包中随机抽查 3 3 个，如这 3 3 个元件都是好的，他才买下这一包 假定含有 4 4 个次品的包数占 30%30%，而 其余包中各含 1 1 个次品 求采购员拒绝购买的概率。解记R =取到的是含 4 个次品的包, =取到的是含 1 个次品的包,A =采购员拒绝购买则B1,

7、 B2构成样本空间的一个正划分，且P(BJ =0.3, P(B2)=0.7.又由古典概型计算知C3C65P(ABJ=13C106C3C93P(AB2)=1_ 3C1010从而由全概率公式得到I3 57323P(A) =P(BJP(AB1)+ P(B2)P(AB2)=材；二=吕.10 610 1050例 4 4 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 3 件合格品和 3 3 件次品，乙箱中仅装有 3 3 件合格品，从甲箱中任取 3 3 件放入乙箱后，试求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解设 A A 表示事件 从乙箱中任取一件产品是次品 ”，根据全概率公式，有3P(A)八P(A|X二k)

8、P(X二k)k=0q =P(A2|A)二P(AA2)P(AI)1Pw0 3 1 2C3C31C3C33Ce6C62C3C333C33C6C66= 0.4855752.32.3 首步分析法与末步分析法例 5 5 （赌徒输光问题）设甲有赌本i i _ 1元，其对手乙有赌本a-i .0元.每赌一次 甲以概率p赢一元，而以概率q =1- p输一元假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输光才结束.因此，两个人中的赢者最终有总赌资a元.求甲输光的概率.解 一般地，我们以R记甲有赌本i元而最终输光的概率.而求此概率的关键是给 出下面的事件关系式，其方法称为首步分析法.记事件A =甲有赌本 i i 元，但最终输

9、光, ,B= =甲第 1 1 次赌赢.于是我们有P（A|B戶P（AG,P（A |B）= P（A_J.由上述关系式及全概率公式，我们得到p =P（A）=P（A |B）P（B）+P（A|B）P（B）=P（AGP+ P（A_i）q= PP +qp（1 1）这是一个常系数二阶差分方程，且满足两个边界条件：P0=P（甲有赌本 0 元而最终输光）=1, ,Pa=P（甲有赌本 a 元而最终输光）=0.为解（1 1）, ,注意到它等价于p（Pi 1一pJ二q（Pi一Pi_J.1故当pn0且p式一时，由p0=1得到2i -1Pi一P1=瓦1-qP1-1.-1.6（P1k4令i =a, ,再利用pa= 0可解出7

10、q_(qp ipPi =1 7IP丿1从而得到，当p 0且p（即p = q）时有2/、aq而当p =q时，还是由式，我们有2Pi -p1二i -1 p1 -1令i二a, ,可得a 1p1. 从而有pi=1.aa例 6 6 连续地抛掷一个很不均匀的硬币 n n 次 假定这n次抛掷并不相互独立：第 1 1 次 出现正面的概率为_：匚，第 2 2 次后每次出现与前一次相同的面的概率为 ： 求第 n n 次时 出现正面的概率，并讨论n n 时的情况。解 令An= =第 n n 次出现正面, ,并记欲求之概率为P（An）二Pn,n,n - -1. .这时Ana发生与否与An发生与否是密切相关的，若An发

11、生了，则An,发生的概率就为P,所以,P（An卅An） =P。同理，卩（人*十代）=1_0。显然，代，代是|的一个划分.利用全概率公式，我们有Pn十卩（代卅）=P（代卅代厅（代）+P（A |A1）P（A1）Pi=q8二Pn1-：（1 - Pn（21）Pn1由于口二：，故由递推计算可得9Pn = 2：-1 2 -1 Pz 1 -1 -：=2：-1 2 P 1 -：12：- 12：- 1221 T:2 -1nJ- - - 2 -1nj若：-1 2 2i 若 B B =1=13.全概率公式和 Bayes 公式的应用3.13.1 与离散型随机变量的结合例 7 7 设一个人在一年中患感冒的次数X X 服

12、从参数为 5 5 的 PoissonPoisson 分布，假设现在市场上正在销售一种预防感冒的新型特效药，对 75%75%的人来说，服用这种药可将上述的参数减少到3,3,而对另外 25%25%的人则无效 求对于在试用期内恰患两次感冒的服药的人，此药对他有效的可能性有多大。解我们记 A=A=“任意选取一人，此药对此人有效”. .而我们要求的概率为P(AX = 2). .由 题设条件知31P(A) , P(A). .44而讨论(1)Pn, ,故lim pnn20(2)Pn，只有当 T 时, ,nmpn才存在且等于-2(3(3)对一般 0 0 :：1 1 有-n. .|-lim pn= limn：1

13、 21心二2210故由 BayesBayes 公式知P(X二k A)3ke3k!k!(k = 0,1,2,). .11k!心(n - k)!(P)ke：(1 - p)r_ (P)ke-egp)一Cp)k-PP(AX 讣 PXP(X二2A)P(A)2A)P(A)+ p(x = 2A)P(A)32e；32!432eB3 . 52e.丄2!42!40.8886. .例 8 8 （PoissonPoisson 分布在随机选择下的不变性，也称为随机分流的不变性）假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为的 PoissonPoisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p,p,且每个顾客是否

14、购买电视机是独立的，问在这段时间内，百货公司内购买电视机的人数为k k 的概率有多大？解 记 X X 为百货公司售出电视机的台数，而 N N 为这段时间内进入百货公司的人数，故由全概率公式知P(X = k)八P(X = k N = n)P(N = n)n=0QO=Z P(X = k N = n)nH0n!由于在已知有 N=nN=n 名顾客进入百货公司的条件下，百货公司售出电视机的台数服从参 数为 n n和 p p 二项分布，即P(X = kN = n)=C：pk(1 - p)n-kn k.0nkc) nP(X = k)kk “、n-k儿eCnP (1一P)n=kn!n!(S)kp(1 - P)

15、%乩Z - - I L_皿-n*k!(n - k)!n!=(P)ke: (1 - p)212e eek!k!即 X X 服从参数为pp 的 PoissonPoisson 分布。13例 9 9 设随机变量 X X 和 Y Y 独立，其中 X X 的概率分布为（1 2X03 0.7而 Y Y 的概率密度为 f f （y y），求随机变量 U=U= X+YX+Y 的概率密度 g g （u u）解设F （y）为丫的分布函数，则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为FU（u）= P（U乞u） = P（X丫 乞u）二P（X丫 乞u |X二1）P（X二1） P（X丫 乞u | X二2）P（X二2）二0.3P

16、（丫 乞u一1| X = 1）0.7P（丫 乞u一2 | X = 2）由于 X X 和丫独立，可见FU（u）二0.3PW岂u一1） 0.7P（丫 岂u一2）二0.3F(u -1)0.7F(u -2)由此，得 u u 的概率密度为g(u)二局(u) =0.3F (u - 1)0.7F (u-2)= 0.3f (u -1)0.7f (u -2). .例 1010 从集1,2/ , N中任意相继不放回地取出两个数X1, X2，求P（X2解由全概率公式得NP(X2XJ二P(X2X1|X k)P(X厂k)k =1而由于P(X2 k |X厂k)=N k，从而N -13.23.2 随机和的相关问题的计算3.33.3 其他应用（如分布参数为随机的概率问题的计算等）XJN八P(X2k三1k|X厂k)丄1NP(X2NX1)八kdN - k 1N -1 N1(N_k)=.N(N-1)y2144.全概率公式的推广与应用4.14.1 连续型随机变量的情形15P(B)“ P(