《一元二次方程》学案

1、22.1 一元二次方程(1)学案学习目标：1 .通过设置问题，建立数学模型，？模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2 . 一元二次方程的一般形式及其有关概念.3 .解决一些概念性的题目.学习过程：1、温故互查(1) 一元一次方程定义 .(2)一元一次方程的一般形式 .2、设问导读合作预习章前页的问题和教材P25-P26问题1和2。(1 )、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？；。(2)、一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是 ,只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程。(3)任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a,b,c为常数，)的形式，我们

2、 把它称为一元二次方程的一般形式。a为, b为, c为。(4)、注意点：一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、- 次项系数、常数项都要包含它前面的符号。 二次项系数 是一个重要条件，不能漏掉，为什么？3、自我检测(1)、下列列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？ 5x2 0 V2x2 x V3x J Z 3 0x x 3x3 x 0 x2 xy 3 0(2 )、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: 3x2 5x 1(x 2)(x 1) 6 4 7x2 0(3 )、关于x的方程(a-1 )

3、 x2+3x=0是一元二次方程，则 a的取值范围是 .学生分小组交流解疑，教师点评升华。4、巩固练习：课本27页练习1、2题5、拓展延伸(1 )、a满足什么条件时，关于 x的方程a (x2+x) =V3x- (x+1)是一元二次方程？(2 )、关于x的方程(2m2+m) xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？评价1 、这节课你学到了什么？2 、组长对你这节课的表现进行评价:3 2.1 一元二次方程(2)学案学习目标：学生分小组交流解疑，教师点评升华。4、巩固练习(1)、课本28页练习1、2题(2)、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为.22(3)、已知m是方程x

4、x 6 0的一个根，则代数式 m m 1、会进行简单的一元二次方程的试解；2、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力；3、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义。学习过程：1、温故互查(1)解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)5、拓展延伸2 2(1 )、若关于X的一元二次方程(a 1)x x a 1 0的一个根是0, a的值是几? 你能得出这个方程的其他根吗？(2) 一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m,苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm,则长为 m.根据题意，得.整理，得 2、设问导读合作预习解决以上问题和教材P27问题(1 )、下面哪

5、些数是上述方程的根？-4, -3 , -2 , -1 , 0, 1,2,3, 4, 8。(2 )、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，则(a-b) 2+4ab的值为(3 )、方程 ax (x-b) + (b-x) =0 的根是 x1=x2=(2 )、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ,即使一元二次方程等号左 右两边相等的 的值。(3 )、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？222 x 25 0 3x 1 9x 16 0(4 )、注意点：使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方评价1、这节课你学到了什么?程的根。 由实际问题列出方程并得出解后，还要

6、考虑这些解是否是实际问题的解。3、自我检测(1)、把2x(x 1) x x 2化成一般形式是 ，二次项是 一次项 系数是,常数项是 。2(2 )、下列各未知数的值是方程 3x x 2 0的解的是()2、组长对你这节课的表现进行评价:A. x 1 B. x 1 C, x 2 D. x 32(3)、已知方程3x 9x m 0的一个根是1,则m的值是。用直接开平方法解一元二次方程学案学习目标：1、会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p 0)的方程；2、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。学习过程：1、温故互查学生活动：请同学们完成下列各题(1) x2-

7、8x+= (x-) 2；(2) 9x2+12x+= (3x+) 2；(3) x2+px+= (x+) 2.2、设问导读(1)、36的平方根是 ,-的平方根是 。9(2)、若 x2 4 ,贝U x=;若 2x2 1,贝U x=。(3)、请根据提示完成下面解题过程：3、自我检测解下列方程：2_ 2_(1) x 5(2)3x 9 02 一 一一(x 1)2 4(4)x 12x 36由方程 x2 6x 9 2,得()2=2学生分小组交流解疑，教师点评升华。4、巩固练习课本P31练习由方程(2x 1)2 5,得2x 1=即2x 1=, 2x 1 =x1 =,x2 =(4)、归纳概括：形如 或 的一元二次

8、方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。评价1、这节课你学到了什么?2、组长对你这节课的表现进行评价: 如果方程能化成 x2 p或(mx n)2 p (p 0)的形式，那么可得 , 或。用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程 ,转化 为。学习目标:用配方法解一元二次方程学案归纳总结:1、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程;2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。学习过程：1、温故互查填上适当的数，使下列等式成立：222(1) x 12x += (x 6)(2) x 4x = (x2225, x 8x = ( x )(4) x x +

9、= 4由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：2.)(x (1)、通过 的方法，叫做配方法。(2)、配方是为了 ,把 化为 来解。(3)、方程二次项系数不是 时，可让方程的 ,将方程的二次项系数化为(4)、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：、移项，即;、配方，即，使左边成为完全平方;、利用直接开平方法解之。4、自我检测课本P33例1学生分小组交流解疑，教师点评升华。1。2、设问导读2请阅读教材第32页，解万程x 4x 5 0,完成下面框图:x2 4x 5 04、巩固练习：课本P34练习1、2题2 题学生板书，教师讲解。评价1、这节课你学到了什么?2、组长对你这节课的

10、表现进行评价:用公式法解一元二次方程学案学习目标：1、会用公式法解简单系数的一元二次方程。2、2、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。学习过程：1、温故互查(1)、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？(2)、用配方法解方程：x2-7x-18=02、设问导读2一一一一合作预习教材P35问题，你能用配万法解万程axbxc 0(a0)吗？请尝试解确定公式中 的值；求出 的值；2 当0时，则把a,b及b 4ac的值代入求根公式求解，当4 时,方程 实数解。5、自我检测(1)、用公式法解方程：x ,利用它解一元二次方程的方法叫做 。 (2 )、一元二次方程 ax bx c

11、0(a 0):当b24ac 时，方程有实数根 当b24ac 时，方程有实数根 当b24ac 时，方程没有实数根。(3 )、注意点：公式法是解一元二次方程的一般方法. 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.(4 )、用求根公式解一元二次方程的一般步骤：把一元二次方程化成 ; 7x 8 02x2 x 6 0评价1、这节课你学到了什么?2、组长对你这节课的表现进行评价:(i)、一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根由方程的 确定。当 时，它的根是 ,这个式子

12、叫做一元二次方程的(2)、不解方程，判断下列方程实数根的情况： 2x2 3x 4 0 x2 6x 9 0 x2 3x 4 0学生分小组交流解疑，教师点评升华。4、巩固练习：课本P37练习1、2题5、拓展延伸(1 )、当x=时，代数式x2-8x+12的值是-4.(2 )、若关于x的一元二次方程(m-1) x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是2(3 )、某数学兴趣小组对关于 x的方程(m+1) xm 2+ (m-2) x-1=0提出了下列问题. 若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出 m并解此方程. 若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出.用因式分解法解一元二次方

13、程学案6、自我检测(1)、说出下列方程的根：x(x 8) 0(3x 1)(2x 5) 0学习目标：1、会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。学习过程：1、温故互查解下列方程.(1) 2x2+x=0 (用配方法)(2) 3x2+6x=0 (用公式法)(2 )、解方程： x(x 2) x 2 0；5x22x - 42x2、设问导读合作预习教材P38问题(1 )、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 的形式, 再使,从而实现 ,这种解法叫做 。(2)、如果a b 0 ,那么a 0或

14、b 0 ,这是因式分解法的根据。如：如果(x 1)(x 1) 0,那么x 1 0或,即x 1或。(3 )、注意点：因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。(4 )、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 整理方程，使其右边为 ;将方程左边分解为两 的乘积；令每个一次式分别为 ,得到两个 ;分别解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。学生分小组交流解疑，教师点评升华。4、巩固练习：课本P40练习1、2题5、拓展延伸我们知道 x2+ (a+b) x+ab= (x+a) (x+b),贝U x2+ (a+b) x+ab=0 就可转化为(x+a)

15、(x+b) =0, 请你用上面的方法解下列方程.(1) x2-3x-4=0 x2-7x+6=0评价1、这节课你学到了什么?2、组长对你这节课的表现进行评价:22.3实际问题与 一元二次方程(1)学案学习目标：会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。学习过程：1、温故互查(1)、解下列方程：(1 x)2 225 0 2(x 2) x(x 2) 49(2 )、列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”，即通读题目，找出相等关系；“设”，即设,设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；“列”，即根据题中 关

16、系列方程；“解”，即求出所列方程的 ;“验”，即验证是否符合题意；“答”，即回答题目中要解决的问题。2、设问导读合作预习教材P45探究1。2、把探究中的空填出来。增长率实际数基数(2 )、归纳总结:学生分小组交流解疑，教师点评升华。4、巩固练习：(1)、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x,第一年的产量为 6万kg,第二年的产量为kg,第三年的产量为 ,三年总产量为 .(2)、某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是 x,列方程2A.500(12x)720B.500(1x )72022C.500(1x)2720D.720(1x)2500(3)、？我国政府为了解

17、决老百姓看病难的问题，？决定下调药品价格，？某种药品在1999年涨价30%赤，？2001?年降价70%如a?元，？则这种药品在1999?年涨价前价格是 .(4)、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36%,问平均每月降价百分之几？5、拓展延伸某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的 1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.平均增长率公式：Q a(1 x)n其中a是增长(或降低)的基础量，x是平均增长(或降低)率，n是增长(或降低)的次数。3、自我

18、检测某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌评价1、这节课你学到了什么？、组长对你这节课的表现进行评价:繁殖了多少个细菌？22.3实际问题与 一元二次方程(2)学案学习目标：会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所 得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。学习过程：(4 )、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为 200万元，九月份的利润为 288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大？1、温故互查增长率实际数基数(5 )、某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结10

19、00个桃子，？现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，？如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树？平均增长率公式：Q a(1 x)n其中a是增长(或降低)的基础量， x是平均增长(或降低)率， n是增长(或降低)的次数。2、设问导读合作预习教材 P46探究2。(1 )、有关利率问题公式：利息 =本金X利率X存期本息和=本金+利息(2 )、有关商品利润的关系式：利润=售价一进价利润售价讲价利润率=三汽售价=进价(1+利润率)进价 进价3、巩固练习(1)、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共().A . 12 人 B

20、. 18 人 C . 9人 D . 10 人(2)、一个产品原价为 a元，受市场经济影响，先提价20断又降价15%现价比原价多%(3)、一个容器盛满纯药液 63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，？第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体 x升，？则列出的方程是.4、拓展延伸某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，？据市场分析，？若每千克50元销售，一个月能售出500kg,销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克 55元时，计算销售量和月销售利润.(2)设销售单价为每千克 x元，

21、月销售利润为y元，求y与x的关系式.(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？评价1、这节课你学到了什么？、组长对你这节课的表现进行评价:22.3实际问题与 一元二次方程(3)学案学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的 一个有效的数学模型.学习过程：1、温故互查(1)直角三角形的面积=,一般三角形的面积=(2)正方形的面积=,长方形白面积= (3) 梯形的面积=(4)菱形的面积=(5)平行四边形的面积= (6)圆的面积=2、设问导读合作预习教材 P47探究3。另解探究3:如果设正中央的矩形两边分

22、别为9xcm, 7xcm,如何解决此题呢？3、巩固练习(1 )、直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为().A . 37B . 5 C . V38D . 7(2 )、从正方形铁片，截去 2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是().A . 8cm B . 64cm C . 8cmf D . 64cm(3 )、长方形的长比宽多 4cm,面积为60cm2,则它的周长为 .(4 )、如图22-3-3 ,是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150R,求此长方形鸡场的长、宽。(5 )、如图22-3-4 所示，

23、在 ABC中/ B=90 , AB=6cm BC=8cm点P从点A*始沿 AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A B同时出发，经过几秒钟，使 Sapbc=8cH?.wwW2cZS(6 )、一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来.(1)小球滚动了多少时间？(2)平均每秒小球的运动速度减少多少？22-3-3评价1、这节课你学到了什么？2、组长对你这节课的表现进行评价:小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s) 一元二次方程 复习学案(3 )、一般考虑选择方法的顺序是:直接开平方法

24、、分解因式法、配方法或公式法复习目标：掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。学习过程：1、自主学习(1 )、下列方程中，关于 X的一元二次方程是()211_22_2A. 3(x 1)2(x 1) B. 2 2 C. ax bx c 0 D. x 2x x 1x x(2 )、解下列方程： x2 4x 1 2(x 2)2 x2 4(x 1)(x 4) 12(3 )、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡 56张，这个小组共有()人 A 7B 8 C 14D 42、归纳总结(1)、一元二次方程的定义及一般形式2定义只含有一个未知数整式方

25、程都可化为ax bx c 0 (a 0)的形式(4 )、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系“翻译”为一元二次方程。3、课堂检测(1 )、方程的x2 2x 0解是(2 )、填上适当的数，使等式成立。 x2 4x (x )2(3 )、若X=1是一元二次方程ax2 bx 2 0的根，贝U a+b=(4 )、在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有x支队，则可得方程 .3 o-(5 )、已知2是关于X的万程的x2 2a 0 一个根，则2a 1的值是()2A.3B.4 C(

26、6 )、若关于的一元二次方程的两个根为x1 1,x2 2,则这个方程是()A. x2 3x 2 0 B. x2 3x 2 0 C. x2 3x 2 0 D. x2 3x 2 0(7 )、党的十八大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到 比2000年翻两番.在本世纪的头二十年( )要实现这一目标，以十年为单位计算，设每 个十年国民生产总值的增长率都是x,那么x满足的方程为()22A (1 x) 2 B (1 x) 4 C 1 2x 2 D (1 x) 2(1 x) 4(8 )、解下列方程：(2x 1)2 3(2x 1) 0 4(x 5)2 36 0方法名称理论根据适

27、用方程的形式直接开平方法平方根的定义2/、2,八、x p或(mx n) p (p 0)配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0,那么这两个因式至少什-个Q 0一边是0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程(2 )、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表:(9 )、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利 40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？评价1、这节

28、课你学到了什么？、组长对你这节课的表现进行评价:一元二次方程学案卷九（ ）班 姓名：学号： 年 月 日、本课主要知识点（1）直接开平方法；（2）1、一元二次方程的概念及其一般式；一元二次方程的常用解法有:因式分解法；（3）配方法；（4）公式法。2、一元二次方程 ax5、系数的关系：设 x1， x2是方程x 4x 2 0的两个根，则x x2 x1x2 .三、例题例1、方程（2a4） x22bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ + bx + c = 0 （ a加）的求根公式是:bb2 4ac ,24ac 0b2a元二次方程 ax2 + bx + c =

29、 0 （ a为）的根的判别式b2 4ac元二次方程的根的三种情况：有两个相等（或不相等）的实数根、没有实数根3、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （ a加）根与系数的关系：两根之和、两根之积bcx1 x2 , x1 x2 一aa二、知识点练习1、一元二次方程定义：已知方程3x3m 12 0是关于x的一元二次方程，则m 。2、一元二次方程一般形式：把一元二次方程 x2 - 2x = 3化成一般形式是 ,其中二次项系数是 , 一次项系数是 ,常数项是 3、解一元二次程：（1）解方程：x2 -4 = 0（用直接开平方法解）（用因式分解法解）（用公式法解）2_（2）用配方法解方程：2x

30、1 3x24、判别式：不解方程，方程 2y 6y 5 0的根的情况是 .例2、我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法，开平方法，配方法和公式法.请选择你认为适当的方法解方程.2 x 3x 1 0 ；（x 1）3；2_ 一2 一D x 3x 0 ； x 2x 4 .2例3、已知关于x的方程x (m 2)x 2m 1 0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根.(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.例4、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中一只带病毒的小鸡经过两天的传染后鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡?例5、填空：(1)兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元.若每次平均降价的百分率为x ,由题意可列方程为 .(2)要组织一次篮球联赛，赛制为单循