2019级空间曲面ppt课件

1、四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,定义定义2. 2. 一条平面曲线一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴轴 . .例如例如 :故旋

2、转曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf的圆锥面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直线面上直线L L 的方程的方程为为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyMxy12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x x 轴旋转

3、轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为zxyz引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,xyzxyzol平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱

4、面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.xyzooxzy2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究

5、二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax(3) 当 ab 时为旋转椭球面; 当abc 时为球面.截痕法截痕法用用z = hz = h截曲面截曲面用用y = my = m截曲面截曲面用用x = nx = n截曲面截曲面abcyx zo),(1222222为正数cbaczbyaxzqypx

6、2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.xzy0截痕法截痕法用用z = az = a截曲面截曲面用用y = by = b截曲面截曲面用用x = cx = c截曲面截曲面zqypx2222( p , q 同号)(2) 双曲抛物面鞍形曲面,马鞍面）zqypx2222( p , q 同号)zyx用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx = b截曲面截曲面xzy0截痕法截痕法zqypx2222( p , q 同号)截痕法截痕法xzy0用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y =

7、0截曲面截曲面用用x = bx = b截曲面截曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czz

8、z椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz1. 空间曲面空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czb

9、yax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面1. 指出下列方程的图形指出下列方程的图形:一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程 空间

10、曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzaozyxo称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距 .)(tyy )(tzz M6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txc

11、ostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzyxC1o002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxCzxyo1C所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之