固体物理电子教案37晶格的非简谐效应

1、3.7 晶体的非简谐效应简谐近似：简谐近似：)(0RRRUf 20220)(!21)(0RRRURUR 2220000! 21)()( RRRURURURU (1) (1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量； (2) (2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。用简

2、谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。晶体的非简谐效应：晶体的非简谐效应： 33322200000! 31! 21)()( RRRRURURURURU微扰项微扰项声子间有声子间有相互作用相互作用能量能量交换交换系统达到系统达到热平衡热平衡 两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。微扰项微扰项声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒 hKqqq321

3、321 碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。3qxq1q2qyq-正常过程正常过程( ( N过程过程) )；0 hK(1)(1)-反常过程反常过程( ( U过程过程) )。0 hK(2)(2)3qyqxq1q2qhK21qq 3.7.1 热膨胀 热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。现象称为热膨胀。 假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置置R0附近作振动，离开平衡位置的位移用附近作振动，离开平衡位置的位移用 表示，

4、势能在表示，势能在平衡平衡位置附近展开：位置附近展开： 33322200000! 31! 21)()( RRRRURURURURU0R0R0（1 1）简谐近似）简谐近似222000! 21)()( RRURURU 0,rrAT RU( (r) )R0 3332220000! 31! 21)()( RRRURURURU两原子间距不变，无热膨胀现象两原子间距不变，无热膨胀现象（2 2）非简谐效应）非简谐效应3332220000!31!21)()( RRRURURURU 0,rrAT两原子间距增大，有热膨胀现象。两原子间距增大，有热膨胀现象。由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移由玻尔兹曼统计，

5、原子离开平衡位置的平均位移 dedeTkuTkuBB3332220000! 31! 21)()( RRRURURURU , 0)(0 RU取取,!21022cRUR 令令gRUR 033!31( (c、g均为正常数。均为正常数。) )320)( gcRU deB2Tkc deBTku(1)(1)简谐近似：简谐近似：0 是是 的奇函数的奇函数0 在简谐近似下无热膨胀现象。在简谐近似下无热膨胀现象。20 c)R(U dedeBBTkuTku(2)(2)非简谐效应非简谐效应: : deBTku deB32)(Tkgc 4325BB/cTkTkg deB32)(Tkgc21B cTkTkcgB243

6、在非简谐效应下，有热膨胀现象。在非简谐效应下，有热膨胀现象。320)( gcRU dedeBBTkuTku推导略推导略 d1eB3B2TkgTkc deB2B4TkcTkg 21B/Tkcx 令xxcTkTkgx/de2425BB xxcTkTkgx/de20425BB2 deBTku deB32)(Tkgc deeB3B2Tk/gTk/cxxcTkTkgx/de20425BB2 aanxxnnaxn2) 12 (531de1022 )1, 2( an 4325BB/cTkTkg deB32)(Tkgc deB2Tkc )d1(eB3B2TkgTkc deeB3B2Tk/gTk/c 0de2B

7、2 Tkc21B212/cTk 21B/cTk axxa2de022 21B/Tkca 线膨胀系数线膨胀系数B02043dd1kRcgTR 当势能只保留到当势能只保留到3次方项时，线膨胀系数与温度无关。次方项时，线膨胀系数与温度无关。若保留更高次项，则若保留更高次项，则线膨胀系数与温度有关。线膨胀系数与温度有关。显然，在简谐近似下，显然，在简谐近似下，g=0=0， =0=0。TkcgB243 3.7.2 热传导 当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等达到新的热平衡直至各处温度相等达到新的热平衡, , 这种现象称为

8、热传导。这种现象称为热传导。xTjdd ( (为正值为正值) )为热传导系数或热导率。为热传导系数或热导率。负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。晶体热传导晶体热传导电子热导电子热导晶格热导晶格热导电子运动导热电子运动导热( (金属金属) )格波的传播导热格波的传播导热( (绝缘体、半导体绝缘体、半导体) )(1)(1)气体热传导气体热传导vCV 31 CV单位体积热容单位体积热容 -平均自由程平均自由程v热运动平均速度热运动平均速度放能放能吸能吸能高高温温区区低低温温区区气体分子气体分子碰碰 撞撞碰碰 撞撞(2)(2)晶格热传导晶格热传导1e1B T

9、kn 晶格热振动看成是晶格热振动看成是“声子气体声子气体”，声子数声子数密度大密度大声子数声子数密度小密度小扩散扩散低低温温区区高高温温区区vCV 31 CV单位体积热容单位体积热容 -声子自由程声子自由程v声子平均速度声子平均速度( (常取固体中声速常取固体中声速) )与T的关系1)1)高温时，高温时，T DB3NkCV 1e1B Tkn TkTkBB111 nTT1 T1 vCV 31 CV单位体积热容，单位体积热容， -声子自由程，声子自由程， 声声子平均速度子平均速度( (常取固体中声速常取固体中声速) )。vv基本与温度无关，基本与温度无关，Cv v和和 与温度密切相关与温度密切相关

10、v(2)(2)低温时，低温时，T D1e1B Tkn TATk eeB ,TAe ,3TCV ,TTAe3 ,T03T D 因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整的晶体，会非常大。对于完整的晶体， ( (D为为晶体线度晶体线度) )。vCV 31 实际上热导系数并不会趋向无穷大。实际上热导系数并不会趋向无穷大。低温时：低温时：3.7.3 晶体的状态方程和热膨胀 由热力学知，压强由热力学知，压强P、熵熵S、定容比热定容比热CV和自由能和自由能F之间的之间的关系为：关系为：TSUF VVTSTC VTFS TVFP T

11、SVPFddd 自由能自由能F(T，V)是最基本的物是最基本的物理量理量,求出求出F(T，V)，其他热力其他热力学量或性质就可以由热力学关学量或性质就可以由热力学关系导出。系导出。晶格自由能晶格自由能F1 1= =U( (V) )F2由统计物理知道：由统计物理知道：ZlnTkFB2 Z是晶格振动的配分函数。是晶格振动的配分函数。频率为频率为 i的格波，配分函数为：的格波，配分函数为： 0)21(BeiiinTkniZ TkTkiiBBe1e2 由晶格振动决定由晶格振动决定T=0=0时晶格的结合能时晶格的结合能若能求出晶格振动的配分函数，即可求得热振动自由能。若能求出晶格振动的配分函数，即可求得

12、热振动自由能。忽略晶格之间的相互作用能，总配分函数为：忽略晶格之间的相互作用能，总配分函数为： iTkTkiiiiZZBBe1e2 iTkiBilnTkTkFBe121B2 iTkiiTkVUF)e1ln(21BB 由于非线性振动，格波频率由于非线性振动，格波频率 i也是宏观量也是宏观量V的函数，所以的函数，所以TVFP VVUiiTkTkTiidde1e21ddBB TVFP VVUiiTkiiTidln d1e21ddB VEVUiiiTdln ddd ,VEVVUiiiTln dln d1dd 式中式中iTkiiE 1e121B表示频率为表示频率为 i的格波在温度的格波在温度T时的平均能

13、量，而时的平均能量，而,Vi ln dln d 是与晶格的非线性振动有关与是与晶格的非线性振动有关与 i无关的常数，称无关的常数，称 为格林为格林艾森数艾森数。,VEVVUPiiiTln dln d1dd iiTEVVUP1dd,VEVUT dd iiEE为晶格振动总能量。为晶格振动总能量。 对于大多数固体，体积的变化不大，因此可将对于大多数固体，体积的变化不大，因此可将 在在晶晶体的平衡体积体的平衡体积V0附近展开附近展开:VUdd 00220ddddddVVVUVVVUVU,VUV0dd0 若只取一次方项，则若只取一次方项，则,VEVUPT dd晶体的状态方程晶体的状态方程(格林艾森方程格

14、林艾森方程)00220000ddddVVVKVUVVVVVUV VEVUPT ddVEVVVK 00其中其中K是体积弹性模量。是体积弹性模量。 热膨胀是在不施加压力的情况下，体积随温度的变化。上热膨胀是在不施加压力的情况下，体积随温度的变化。上式两边对温度式两边对温度T求导得：求导得：TVVEVCVTVETEVTVVKVdddddddd1220 上式等号右边第二项是非常小的量可略去，所以上式等号右边第二项是非常小的量可略去，所以VCVK 格林艾森定律格林艾森定律是是膨膨胀胀系系数数其其中中TVV,VCKVdd10 。 （1 1）热膨胀系数与格林艾森数成正比。对于简谐近似，）热膨胀系数与格林艾森数成正比。对于简谐近似， =0，无热膨胀现象。