12六年级奥数专题十二：圆柱与圆锥

1、六年级奥数专题十二：圆柱与圆锥关键词：圆柱 圆锥 升水 倒放 圆柱形 奥数 容积 容器 体积 厘米这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。ih圆柱体的体枳=兀, 圆柱体的保面积=27Trfi.圆柱体的表面积=2兀r (r+h),圆锥体的体积=：冗1小wj1例1如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水?分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。设圆锥容器的底面半径为r,则水面半径为容器的容积为!底户匕容器中水的体积为;忒52I ,=-TXT ho24这表明容器可以装 8份5升水，已经装了 1份，还能装水5X （8

2、1） =35 （升）。例2用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）分析与解：铁桶有以 60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。以6Q厘米的边为高时，桶底周长为40厘米.由2兀40知，l二一。此 立时桶的容积是320 924000力三mrah =式）口 x 60 =（厘米以4。厘米的边为高时，桶底周长为税厘米.由2兀-60知，r=,此时 冗桶的容积是r, 30360000 1-. >=忒一）2 x 40 =（厘米3）30分米3。现在瓶中装有比较如容积最大是当二。岐（厘考兀例3有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（

3、不包括瓶颈），容积是一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问:瓶内现有饮料多少立方分米？分析与解：瓶子的形状不规则， 并且不知道底面的半径， 似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为20 +的圆柱体的体积,推知饮料占容积的祟所以瓶内有饮料5=25 （厘米）心 930X 1=24 1分米乂）oar例4皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 15厘米，水桶底面直径为60厘米口皮球有的体积浸在水中（见右图）口问:皮

4、球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米?出半径为T的球的体积是:江户解：皮球的体积是= 562 5H （厘米3） 口皮球覆在水中的部分是562.； = 450兀（厘求交7K桶的底面积是冗X （决=9。0n（厘米专口水面升高的高度是 450兀+900兀=0.5 （厘米）。答：水面升高了 0.5厘米。例5有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是 4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔涂漆面积为的底面，其中上面的圆

5、环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。= jrx Q8 + 6Q + 2Q）=韵 14 *98-307.72 G1 米口）o|例6将一个底面半径为 20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。解：被熔的圆锥形铝块的体积：1 7T X 20a X 27 = 3600K （厘米三）°被熔的圆柱形铝块的体积：兀>< 302><20=18000兀（厘米3）。熔成的圆柱形铝块的高：（3600兀+ 18000兀）+（兀X 152 =2160 0兀+225兀=96厘米）。答：熔铸成的圆柱体高 96厘米。练习121 .右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？2 .一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？3 .用直径为40厘米的圆钢锻造长 300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应 截取多长的一段圆钢？O4一如左下图所示，圆锥形容器内装的水正好是它的容积的,，水面高度是容器高度的几分之几?5 .右上图是一个机器零件，其下部是棱长20