高三总复习-数列不等式题型(含答案)

1、小古数学一对一辅导教案学生姓名性别年级高三学科数学授课教师上课时间2020 年第（）次课2小时教学课题数列的综合问题【数列与不等式：放缩法】-< +<l(w>2)【数列变相同项】求证：? W + 1 W+2ln.证明._1二_&_L (k=2-«)2n n + k 盟+ 11 1 1 1 1 1 1,1 1 /. 一+一 + + 一 <+k 一 <+ +,In 2nIn n + 12In 力+ 1 w + 1与+ 1,on 1111n.kP- <+-十一<<12打+ 1打+ 2In%+18【裂项不等式乘法缩小】求证：1+4+上+

2、.，<2 (neN.)2- 3-/?-证明：,4r<-!- = -012)；rn -1 n111,11111八1八/. 1+ + + + - < 1 +1 + += 2 < 22232n2223n-1nn【裂项不等式移位套变】求证：123-4证明：< -!一 =_一_1ir一1 n1111.1111 L 51 L 7=+ + + V 1 + + ( + H -) = + ( ) V .I2 22 32n2222 3-1 42 n 4需要定做，可在百度店铺咨询放缩二：-L<atit* 2 -1(?/ +1)(/1-1)2 九一 1 n + ),(2 2)111

3、15I222 3223【裂项不等式-平方差裂项】已知数列中4 =十，证明：s =+-一2 n 一1 n+s“/+MM+Md+1"d+.+ l23-/72 22 32 n2 I2 222 2 4 3 5->2(n + 22 -1 2/1 + 1放缩三：4<i-r-21n4-1_ 111(7/ + -)(«-)H-乙乙乙r T 3' n 3 5 5 7+-2n -1 2/7 + 1)= 1 + 2(1-!)<- 3 2n +13历 n 厂(nN2,”£N)【裂项不等式一倍数变化缩小法】求证+ W<3=-<-,n y/n iiy/n

4、 + n4n (/? - 1)Vh + njn - 1+ 而 "("1)= 2(-4=-1)y/n-V/7-+ -; + . . . + , Jy/2 V2 V3 J/2 1 y/n【根式不等式.加减变化】求证：他/、/2 + 历 + -+师而<"匚（£%+） 乙乙证明：J明 +1) > n = fl Vb2 + a/2-3 + - -+J( + l) > + 2 + - +n ="n + n + 2n + 1.G + H +；<?3 + 5 + 2 + 1)=卡 <F' '得证。<3.【多数

5、相乘变等比】求证：1+;十11- - F1x2 1x2x31 x 2 x 3 x x证明：由<Ix2x3x xk 1-2-22/日，1 1 1得1 + - +1 1x2 1x2x3（女是大于2的自然数）21<1+1+3+2 2- 23Ix2x3xx1-±=1 +。= 31- 22<3.2,法、-).变形套用1】2什12- 3-【证明】'.'好+1）后2岭一）,庐2, _ 1 /（左十 1）评.（无1）'畦_东拉4上分别令尢=23，”得海上述不等式相加得：1 1.1 1. . 1 1 .1.1. 1.1 1. . 1 1 厂+工+十 二不 &l

6、t;/+7+“,+；7<1_5+亍_与+”,+；7_；?叫h12 片十 12 iZT Yl； 1 十 与十 % Ht<2 -L2 m十 12 3 rr n（1 十3（1 十）十（1 十4）2 （ncK）.【变形套用22 J3 初: 2G 加 _1）=2诉二 2（册-八 一 1）十 2（6_ 1 一1应 - 2） + +2（、回一 JT）+（/?-而）1 1 1 1Fn+正+齐.，即 1十=十=十十< 2«保.72 J3 而【变式1已知正项数列为的前项和为s“，且为+-!- = 2S”,eN（1）求证：数列s；是等差数列（2）记数列2=2S；Z证明：i-v/Lv： 一

7、、瓦 b2 bn， + 12 >Jn修3=2f+（）= S + S“ /. 5；-5；,=1SCn n-1 n-i.s：为等差数列（2）思路：先利用（1）可求出，的公式进而求出a=2赤，则-!-=一!尸，考虑进行放缩求和，结合不等 % 2,诉号的方向向裂项相消的形式进行放缩。解:令 =1代入4+L = 2S“可得： «j + = 2c4 = a1=1 即 S = 1%由代为等差数列可得：S： = S,2 4-（/7-1） = 77Sfj = y/n bn = 2nyn考虑先证7； <111 yfn-yjn-X G 7，】_11 /=尸 < / /Z- =< 1

8、- = f 广（72 2 ）b（>/ -1 +布）/?（一 1）小7-122时J_3_1_G 2 y/n1 3 =1 时，T= = 21_ J + l再证7>1-13 1综上所述：1-7=<7；<大一>Jn + 2 yjn【变式2】已知数列,，为等差数列，43=3,+s+“6=21,数列；的前项和为S”若对一切 WN*, 恒有S2“一S”>已成立，则m能取到的最大正整数是.答案：7；储 i+2d=3a= 1解析：设数列斯的首项为，%公差为4由。3=3,如+色+牝=21可得， 一一，解得1,，I6“i+154=21d=. _ 1_1 cin , a,t nS=

9、1+/+J, 令 =s2n-s=±+±+,则 “=士+士+7+7， L n+1 n + 2 勿+2 + 3 幺 2n+1 2 + 27 _T _ 11 , 1J_n+i /-2+十 2+2 +1>2 + 2 + 2 + 2 +1一.的最小值是 =1处取得，又Ti=S2-S=；, 要使S%S>的恒成立，只需含VS2Si=；即可，解得mV8,故填7.【变式3已知数列%的前项和为S“，若40=(2-1)4m+ 1,且=1(1)求证：数列%是等差数列，并求出上的通项公式13(2)设“=一一，数列也的前项和为7；,求证：T”二q；"S"2解：(1) 4

10、s“=(2-1)m+1.4S“t=(2 - 3”“+1(心 2)44 =7 1)«出一7 3)4( > 2)即? + 1)% =(2 一 1"用二智=招an 2n - 1 an . 2n - 3 a. 5 It /l -I J ""9* , , "%I 2n 3 a2 2n -5 a2 3a, an ,a. 2n - 1 2 - 35 rfrt a, 2 一 1 /7 曰3 =-即。=(h>2)e 2n - 3 2 - 53 g 32 一 1cin = :a2,由 4Sfl = (2 一 I),. +1 令 =1 可得：4S. =。

11、)+1 = % = 3/. an =2/7-1 ( > 2) » 验证 q = 1 符合上式/. an =2n l Sn = n2(2)由(1)得：b = = 4=1(2-1丽可知当“22时，2=-<-1一- = 1-'I n(2n ) n(2n 2) 2n(n l) 2n l n)【变式4】设数列%满足： = iM+=34，£Ar,设s为数列 也的前项和，已知 =SSn,neN*（1）求数列%,也的通项公式1113（2）求证：对任意的 e N.且2,有+ +< -“2 一打 。3一、3%一，2解：（1）.q=3a.,为公比是3的等比数列在也中，令

12、"=1，2bl -=S S=1，2bl = S”2bn-i -1 = S“_1. - 2b= bn (n >2)=> bH = 2bLi2是公比为2的等比数列bn = b - 2"7 = 2"t(2)证明： 一!一 = 一7<-kan -bn 3"t _2 3一<1+33"一<23) _|<21 r【变式5已知数列可满足q=2,q*=2 1 + - c*£N+(1)求证：数列，务是等比数列，并求出数列4的通项公式(2)设q=2,求证：q+Cj+.-. + c < 品24&( 1V 5+

13、1)2解：(D ,0=21 +"4=2为= 2-4 A Ar是公比为2的等比数列( + 1)-，. an = n2 - 2"(2)思路：%= =一,无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号： <),若要放缩 %小2"为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以(一1),再进行放缩调整为裂项相消形式。解：an n - T ""-1)2"112一(-1) n + 1川-=：=(一 1) 2t n . 2 一 1) 2 ” ( 一 1) T 1 + 1 1 1 / 、所以% =；-

14、< ；： =：r-(n > 2) (一1)2" 仅 1)2 (/z-1)2,m 2八)Cj + C2 + + % < G + C? + C3 +1 1 1 1+. + 4-24 4-24 5-25(一 I"""1111117117=+ +F =< 2 8 24 24 n - T 24 ”2 2416 17.c <c+c2<c+c2+c3= < (>3)【数列与不等关系.作差法】例2.设数列%的前n项和为S“，已知=“，“”+| =S”+3(1)设a=5“一3、求也J的通项公式：(2)若明引>%, (e

15、Nb，求的取值范围。答案：a > 2【变式11已知等差数列g的公差大于0,且%，仁加方程V -14X + 45 = 0的两根，数列也)的前n项的和为S“，且S” =1一,2(eNl. (1)求数列/, %“的通项公式； 2(2)记c” =%"“，求证：cM+1 < c,2.【解析】试题分析：解：(I ) 巴，%是方程/一14工+ 45 = 0的两根，且数列“的公差”>0,； % = 5,%=9 ,公差 d =2. 5-3/. an = a5 + ( 5)d = 2n -1. ( n e N*)12又当"1时，有bkS尸154，仇=大.当 > 2时，有

16、2=S“ 一 九=1 (% 勾),3 V(心 2). 2% 321数列bj是等比数列，b =- =-.(“ENI(II)由(I )知分=也2(2/z-1)_ 2(2+ 1)33"一】8分10分2(2/?+ 1) 2(2 -1) 8(1-/?) ,八;- = <(), Cff12 分【变式2】一咯项均为正数的数列qj满足：3勺=2sti +1,其中s“为数列qj的前n项礼券差数列也J满足：b, = 5,仄=17. fx o（1）求数列勺和a的通项公式;1（2）对于任意的eN*s,+ *之勿+1恒成立，试求实数k的取值范II九 <2）:由题可得， = L 当 2 2«

17、;寸,3/ = 2sn + 1,3c* = 2%_ +1,l- 3/ - 3。“_ = 2(s - s”_) = 2an，.= an = 3an_x.a”=3”73 分又仇=5,4 = 17,.二 -打=4" = 17-5 = 12,. d = 3./.bn = b4 + (n-4)J = 3-7.an = 3""," = 3 - 76 分 o（2）5, = =1,原不等式整理徼22（3'6）对 e N成立。令% =，则一Gi = -71425 22),当 <如寸，C” >，当 >4H寸，G <gf【数列与不等关系-参数求

18、值】例3.已知数列%,% = 1，前项和5满足H + 3）5” = 0（1）求可的通项公式（2）设% =2” -2 ,若数列%是单调递减数列，求实数九的取值范围 1 %/解：（1） nSH - （n + 3）= 0 =>=，l +S n.工,也.丸.S? _ + 2 + 14S,i “2 5., d n- n TSn _( + 2)( + l) _( + 2)( + l)一 26o.»之2 时，/ = S“ - S,1* 与 _(，一)( + 1)= 2km 662当 =1时， =i符合上式(2)思路：由(1)可得：c =2“77(77+ 1) 勺=-2-一九,由已知%为单调递

19、减数列可得对VeN.均成立,所以代入qj通项公式得到关于，几的不等式几2，即只需几n+2 n+1,构造函数或 max者数列求出的最大值即可n + 2 n + 1.上是递减数列：ZncNJ q.c即 2向(二一_x<r -九1n+ 2 ) n +1 )4,21042=-22 <-2 => 2 >- + 2 n + 1n + 2 +1(42 、/.只需-l + 2 n +1 Jmax47构造函数：设二(xNl)x+2 x+1422(x + 2-4(x+l4-2x2则/ (x) = -rv - = = ?-t(X + 2)' (x + 1)' (x + 2)-

20、(x + l)' (x + 2)-(x+l)-2(工一夜)(工 + >/?)" 一_(x + 2)2(x + 1)2所以X)在(1, JI)单调递增，在(五+8)单调递减/(1) = 1,/(2)= 1,£“时，/()2="1) = /(2)= :即=1n+ 2 it +133构造数列：设数列0的通项公式乙=42n+2 n+14m(/? + l)-6n (n + 2)+ 2(/7 + l)(w + 2)4-2nn(n + 1)(/1 + 2)n (/? +1)(/1 + 2).>2时，/“一。_|<0，即乙当 =2 时，t2=t1所以乙的

21、最大项为A > 3【变式1】已知等差数列中，%=9,%=17,记数列的前项和为S.，若反eS卷(meZ), 、n对任意的 eN恒成立，则整数机的最小值是()A. 5B. 4C. 3D. 2思路：若S2“+S“吟恒成立，(ks)x<? 要找S"，则需先确定勺的通项公式得到:：d = = 4 ,所以4 =% +(-4)4 = 4 -3,发现-=! 无法直接求和，S),一1 一S很难变为简 5-3'an 4/7 -3单的表达式，所以考虑将S2"1 Sj视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：(S2fl+3-S什I)一 (§2+一 SJ = ($2+

22、3 - S2+| ) 一 (S+ 一 S )1111 1 11=+-的什342"248+ 9 8+ 5 4/7 - 3_104>> -87< 0,进而先例一 5“ 单调递减, (8+ 9)(8+ 5)(4 3) I 2向"(S) - S )= S? S = a. +, 所以竺之=m > 9 从而7 = 4' 2+】小 3 i 32 4510 459答案：B【变式2已知数列也的前项和为Sm=1且2,电刊2( + l)S,=( + l),数列也满足:* 一2b计+1=0 ,4=5,其前9项和为63(2)令% = +者，记匕的前项和为对V/zeN,

23、均有十一方式,“，求的最小值解：(1) 2nS.-2(n + l)Sn =n(w + l)>- = -72 + l n 2S1为公差是士的等差数列Sn S1 z、 +1 = -L + -(/7-l) =n1 2V)2S“=- N2时，a-2 乙.4 =1符合上式限21 +b“=0nbii+2 + bn = 2%我为等差数列设也前项和为匕，4=9仇=63 ：.b、=7 屹=5ii=l5-3(2 ) 思路：依题意可得：的=%+&="2 +一 4 bn n + 2可求出7；, =2n + 3-2dn + n + 2 J,从而，一2 = 3 2,若一a最小，则应最接近1一2的最大最小值(或是临界值)，所以问翘转化成为求3-2n+1 n+2的范围，可分析其单调性。/00=3-2+n+ n+2)单调递增。所以最小值为=而当一十8时，/(/?)>3,所以/()无限接近3,故北一2的取值范围为4一,3中的离散点，从而求出。一的最小值3)解：C