微积分课件：4-6 有理函数的积分

1、 4.6 有理函数的积分有理函数的积分14.6 有理函数有理函数的积分的积分有理函数的积分有理函数的积分小结小结 思考题思考题 作业作业可化为有理函数的可化为有理函数的 积分举例积分举例rational function第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 4.6 有理函数的积分有理函数的积分2基本积分法基本积分法: : 换元积分法换元积分法;分部积分法分部积分法初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分例如例如, 下列函数积分都不是初等函数下列函数积分都不是初等函数,de2xx ,dsinxxx ,dsin2xx ,dln1xx ,1d4 xx,d13 xx)10(dsin

2、122 kxxk直接积分法直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分有重要应用的积分,都属于都属于“积不出积不出”的范围的范围. . 4.6 有理函数的积分有理函数的积分3有理函数的定义有理函数的定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. )()(xQxP;都是非负整数都是非负整数、其中其中nm,1010都是实数都是实数及及mnbbbaaa. 0, 000 ba且且一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 真分式真分式; ;,)2(mn 假分式假分式

3、. .nnnaxaxa 110mmmbxbxb 110 4.6 有理函数的积分有理函数的积分4例例1123 xxx112 xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(多项式的积分容易计算多项式的积分容易计算.真分式的积分真分式的积分.只讨论只讨论:多项式多项式真分式真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + + 真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和 4.6 有理函数的积分有理函数的积分5对一般有理对一般有理真分式的积分真分式的积分, 定理定理)()(xQxP,)()()(20 qpxxaxbxQ :)()(可唯一的分解为可唯一的分解为则

4、则xQxP, 为为正正整整数数 )04(2 qp代数学中下述定理代数学中下述定理起着关键性的作用起着关键性的作用.质因式分解式为质因式分解式为:部分分式的和部分分式的和. 如果分母多项式如果分母多项式Q(x)在实数域上的在实数域上的任何有理真分式任何有理真分式均可表为有限个均可表为有限个 4.6 有理函数的积分有理函数的积分6 )()(xQxP,都是常数都是常数其中诸其中诸iiiNMA的的式中每个分式叫做式中每个分式叫做)()(xQxP )(1axA部分分式部分分式( (最简分式最简分式).).,)()()(20 qpxxaxbxQ )04(2 qp )(2axA ax 1222)( qpxx

5、NxM qpxxNxM2 1 A1)( )(2qpxx 11NxM 个常数待定个常数待定 个常数待定个常数待定 2可由待定系数法确定可由待定系数法确定, 4.6 有理函数的积分有理函数的积分7所以由上述定理可知所以由上述定理可知,且由下面的例题可看出且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数有理函数的积分是初等函数.注注系数的确定系数的确定, 一般有三种方法一般有三种方法:(1) 等式两边同次幂系数相等等式两边同次幂系数相等;(2) 赋值赋值;(3) 求导与赋值结合使用求导与赋值结合使用.有理函数的积分最终有理函数的积分最终归结为部分分式归结为部分分式的积分的积分. . 4.6 有理函数

6、的积分有理函数的积分8例例 求求xxxxd1123 解解 由多项式除法由多项式除法, 有有 1123xxx 1dd2xxxx原式原式.arctan22Cxx 说明说明:当被积函数是当被积函数是假分式假分式时时, 应把它分为应把它分为一个多项式和一个真分式一个多项式和一个真分式, 分别积分分别积分.112 xx假分式假分式 4.6 有理函数的积分有理函数的积分9 xxxxd6532例例 求求6532 xxx)3)(2(3 xxx 2xA)2()3(3 xBxAx)23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA 65BA6532 xxx解解3625 xx3 xB 比较系数比较系数 因式分解

7、因式分解所以所以 4.6 有理函数的积分有理函数的积分10 xxxxd6532 xxxxd316d215xxxd3625 .3ln62ln5Cxx 4.6 有理函数的积分有理函数的积分11xxxd)1(12 xA)1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 x并将并将 值代入值代入BA,1 C11)1(112 xxx2)1(1 xx例例 求求2)1(1 xx解解(1)(1) 2)1(xB1 xC 赋值赋值所以所以 4.6 有理函数的积分有理函数的积分12)21)()1(12xCBxxA ACxCBxBA )2

8、()2(12 , 1, 02, 02CACBBA51,52,54 CBA例例 求求 .d)1)(21(12 xxx解解 )1)(21(12xx xA2121x CBx 比较系数比较系数 二次二次质因式质因式 4.6 有理函数的积分有理函数的积分13于是于是xxxd)1(12 xxxxxxd11d)1(1d12.1ln11|lnCxxx xxxxd11)1(112 xxxd)1(12 11)1(112 xxx2)1(1 xx 4.6 有理函数的积分有理函数的积分14xxxxxd15152d21542 xxxd)1)(21(12 )21ln(52x|21|ln52x 2151522154xxx )

9、1)(21(12xx |1|ln512x .arctan51Cx xxxd12512xxd11512 所以所以 4.6 有理函数的积分有理函数的积分15注注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列任意有理真分式的不定积分都归纳为下列;d)1(xaxA ;d)()2(xaxAn .d)()4(2 xqpxxBAxn;d)3(2 xqpxxBAx其中其中A, B, a, p, q都为常数都为常数,. 042 qp并设并设四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分之和之和.n为大于为大于1的正整数的正整数. 4.6 有理函数的积分有理函数的积分16xaxAd)1( axaxA)(d.lnCaxA xa

10、xAnd)()2( naxaxA)()(d.)(111CaxnAn 分别讨论上述几种类型的不定积分分别讨论上述几种类型的不定积分. 4.6 有理函数的积分有理函数的积分17 xqpxxBAxd)3(2xqpxxd2 xqpxxpAAxd22 xqpxxpABd1)2(2 xqpxxpxAd222 pA2 AxB pA2 )(2qpxxxqpxxpABd1)2(2 qpxx2)4()2(22pqpx px 2 4.6 有理函数的积分有理函数的积分18 )4()2()2(d)2(22pqpxpxpABqpxxA 2ln2 2224)2()2(d)2(pqpxpxpABqpxxA 2ln2.42ar

11、ctan4)2(22CpqpxpqpAB qpxxqpxxA22)(d2 4.6 有理函数的积分有理函数的积分19 xqpxxBAxnd)()4(2xqpxxnd)(2 nqpxxqpxxA)()(d222xqpxxpABnd)(1)2(2 nqpxxqpxx)()(d22xqpxxInnd)(12 pA2pA2 AxB 112)(1(1Cqpxxnn )4()2(d22pqpxx n 4.6 有理函数的积分有理函数的积分20用递推公式用递推公式 natt)(d22xqpxxInnd)(12 t2atd.)32()()1(2111222 nnnInattnaI )4()2(d22pqpxx n

12、 4.6 有理函数的积分有理函数的积分21应重点提高计算的应重点提高计算的(1) 部分分式法部分分式法; 此法一般运算较繁此法一般运算较繁.(2) 拆项法拆项法;(分项积分法分项积分法)(3) 换元法换元法;(4) 配方法配方法.有理函数积分是三角函数有理式积分、有理函数积分是三角函数有理式积分、无理函数积分的基础无理函数积分的基础,熟练程度和技巧熟练程度和技巧, 一般有以下方法一般有以下方法: 4.6 有理函数的积分有理函数的积分22例例 求求 xxxxd)22(222 分析分析解解 原式原式=xxxxxd)22(22222 分项分项xxxxd)22(2222 凑微分凑微分从理论上看从理论上

13、看,可用部分分式法可用部分分式法,但计算复杂但计算复杂,故不宜轻易使用故不宜轻易使用,xxxd)22(22 2x22 x22 x应尽量考虑其它方法应尽量考虑其它方法. 约去公因子约去公因子 221)1(dxx 配方配方 222)22()22(dxxxx )1arctan(xCxx 2212 4.6 有理函数的积分有理函数的积分23 例例 求求 xxxd)1(1002 解解原式原式=这是有理函数的积分这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦如按部分分式法很麻烦.使分母为单项使分母为单项,作变换作变换tx 1tttd)1(1002 ttttd211002 ttttd1219899100 分析分析分

14、母是分母是100 次多项式次多项式,如作一个适当的变换如作一个适当的变换,而分子为多项而分子为多项, 化为和差的积分化为和差的积分.除一下除一下, 4.6 有理函数的积分有理函数的积分24Cttt 979899971491991Cxxx 979899)1(971)1(491)1(991或或xxxd)1(1002 xxd)1(1002 xxxxd)1(1)1(2)1(1002 1)1( x 分项分项 1009998)1(d)1(d2)1(dxxxxxx 4.6 有理函数的积分有理函数的积分25 xxd14)1(2 x)1(2 x 1d4xxxxxxd11121222 xxxxd11121222

15、2)1(212xx)1(dxx 2)1(212xx)1(dxx 技巧技巧 例例 求求 解解 原式原式 =21arctan221xx 21 221 ln21 xx21 xx)0( x22242)1(1xxx 2)1(2)1(22xxxx 21C 4.6 有理函数的积分有理函数的积分26例例 求求 xxxxd)22(3522 解解是二次质因式是二次质因式,042 qp222 xx原式原式=xxxd)22(22 )22(2xx35 xxxxd)22(1222 225)2(25 xxxxd)22(222522 222)22()22(d25xxxxxxxd)22(1222 1)1(2 x递推公式递推公式

16、法一法一不能再分解不能再分解.22 x 4.6 有理函数的积分有理函数的积分27 求求 xxxxd)22(3522 解解, 1 xu设设uuud)1(2522 222)1()1(d25uu 22)1(d2uuCuuu arctan12原式原式=.)1arctan()22(2722Cxxxx , 1 ux则则.ddux 11252u回代回代递推公式递推公式2 n法二法二 11222)32()()1(21nnInattna natdt)(22 4.6 有理函数的积分有理函数的积分28 求求解解 令令6ext txln6 ttxd6d xxxxdeee11632 tttttd61123 ttttd)

17、1)(1(162 tttttd1331362 指数代换指数代换.deee11632xxxx xe适用于被积函数由适用于被积函数由 所构成的代数式所构成的代数式 4.6 有理函数的积分有理函数的积分29Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62tttttd1331362 .)earctan(3)e1ln(23)e1ln(3636Cxxxx 23)1ln(3ln6 ttttttd1131)1(d222 4.6 有理函数的积分有理函数的积分30三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过由三角函数和常数经过)cos,(sinRxx,tansin1xx ,)cos1(s

18、insin1xxx .2sin451x 有限次四则运算有限次四则运算构成的函数称之构成的函数称之. 一般记为一般记为如如二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分分部积分法讨论过一些分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分对于三角函数有理式的积分,曾用换元法和曾用换元法和 是否任何一个三角函数有理式的积分都有是否任何一个三角函数有理式的积分都有 回答是肯定的回答是肯定的.原函数原函数 4.6 有理函数的积分有理函数的积分312cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx 2tan12tan22xx 由三角学知识由三角

19、学知识可用可用可通过变换可通过变换2tanxu 事实上事实上, 由由2tanxu 半角变换半角变换(或称万能代换或称万能代换)则则,arctan2ux uuxd12d2 212uu 2tanx表示表示.化为有理函数的积分化为有理函数的积分.d)cos,(sinR xxx对对因为因为 4.6 有理函数的积分有理函数的积分322sec2tan1cos22xxx 2tan12tan122xx ,12sin2uux ,11cos22uux uuxd12d2 uuuuuud1211,12R2222 2211uu u的有理函数的有理函数2tanxu xxxd)cos,(sinR 4.6 有理函数的积分有理

20、函数的积分33有理函数的积分有理函数的积分例例 求求.dcossin1sin xxxx解解212sinuux 2211cosuux uuxd12d2 由由万能代换万能代换 xxxxdcossin1sinuuuud)1)(1(22 uuuud)1)(1(22 2211uu xxxd)cos,(sinRuuuuuud1211,12R2222 4.6 有理函数的积分有理函数的积分34uuuuud)1)(1()1()1(222 uuud112 uud11 uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 回代回代 4.6 有理函数的积

21、分有理函数的积分35例例 求求.dsin14 xx解解 法一法一,2tanxu ,12sin2uux uuxd12d2 xxdsin14uuuuud83314642 Cuuuu 333318133Cxxxx 332tan2412tan832tan832tan241回代回代有理函数的积分有理函数的积分 4.6 有理函数的积分有理函数的积分36 法二法二 修改修改万能代换公式万能代换公式.xutan 令令21sinuux uuxd11d2 xxdsin14uuuud1111242 uuud142 Cuu 1313.cotcot313Cxx xxdsin14说明说明xxxxcossincos,sin

22、22及及的有理式的积分时的有理式的积分时,xutan 更方便更方便. .用代换用代换通常求含通常求含 4.6 有理函数的积分有理函数的积分37 法三法三 不用万能代换公式不用万能代换公式 xxdsin14xxxd)cot1(csc22 xxxxxdcsccotdcsc222 )cot(dx Cxx 3cot31cot 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能代换不一定便知万能代换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其故三角有理式的计算中先考虑其它手段它手段, xxxdsinsin122不得已才用万能代换不得已才用万能代换.结论结论 xxdsin14 4.6 有理函数的积

23、分有理函数的积分38(1) 尽量使分母简单尽量使分母简单. xxxd)cos,(sinR基本思路基本思路或分子分母同乘以某个或分子分母同乘以某个因子因子, 把分母化为把分母化为)cos(sinxxkk或或的单项式的单项式,或将分母整个看成一项或将分母整个看成一项.(2) 尽量使尽量使)cos,(sinRxx的幂降低的幂降低.用倍角公式或积化和差公式以达目的用倍角公式或积化和差公式以达目的.为此常利为此常利 4.6 有理函数的积分有理函数的积分39xxxxdcossinsin 解解 xxxcossinsin 1cossincossin xxxx1tantan xx作作代代换换,tanux uux

24、d11d2 原式原式uuuud1112 法一法一法二法二 原原式式xxxxxx22cosdcos1cossinsin ux tanxtand 4.6 有理函数的积分有理函数的积分40 xxxdsin22sin1 考研数学一考研数学一, 5分分解解 xxxd)1(cossin21 xxxxd2cos22cos2sin412 )2d(x 2cos2cos2sin412xxx 2cos2tan1412xx)2d(tanx)2(tand2tan2tan1412xxx 2tan812x 2tanln41x.C 分子分母同乘以分子分母同乘以2cosx 原式原式分项分项 2tandx 4.6 有理函数的积分

25、有理函数的积分41类型类型),(nbaxxR 解决方法解决方法 作代换去掉根号作代换去掉根号.),(ecxbaxxR ntt),(2cbxaxxR ),(2cbxaxxR 对对通常先将通常先将cbxax 2配方配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算直接利用积分公式计算.2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分 4.6 有理函数的积分有理函数的积分42 xxxxd11tttttd)1(2)1(222 1d222tttttd11122 Cttt 11ln2Cxxxxx 211ln12回代回代例例 解解 令令,1txx ,12txx

26、22)1(d2d tttx,112 tx原式原式= 4.6 有理函数的积分有理函数的积分43例例 求求.d1)1( xxxxx解解先将无理函数的分子或分母有理化先将无理函数的分子或分母有理化.分析分析 xxxxxxxxxd)1)(1()1( )1(原式原式 xxxd)1( xxxd1 xx d23 xx d21 xxxd1)(11 2552x 2332x 25)1(52x.)1(3223Cx 4.6 有理函数的积分有理函数的积分44例例 解解 221d2xxx 222xx1)1(2 x令令txtan1 则则ttxdsecd2 原式原式= tttsec1dsec2 )cos1(cosdttttttdcos11cos1 tttd2sec21sec2 .2tan|tansec|lnCttt 回代回代 4.6 有理函数的积分有理函数的积分45)0(d)11ln( xxxx2009年考研数学年考研数学(二二, 三三)解答题解答题, 10分分解解 原式原式令令 ,1txx ,112 tx )1l