《立体几何》测试及答案

1、立体几何测试及答案（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平而。内的一条直线1及平而£，则3_L£”是"a_L£”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D,既不充分也不必要条件解析根据直线与平面垂直的判定定理，由/u可证得ua_L£"，即充分性是成立的.反之由“aZ员年”不一定得到“AL£”，即必要性不成立.所以是J_£”的充分不必要条件.故选B.答案B2.已知圆锥的顶点为凡母线州，所所成角

2、的余弦值为石，&与圆锥底面所成角为45°，若0为5的面积为5仃，则该圆锥的侧面积为（）A.40（72+1）nB.40八2HC.8（4i5+5）nD.8710n解析设。为圆锥底而圆的圆心，设底而圆的半径为r.以与圆锥底而所成角为45°，即/80=45°.所以以二小厂母线闩1,所所成角的余弦值为5向cosN川沙二小oo/一示J15贝IsinN川哈、二A/1-J&由S士PArsinZJ/=|x2?XIuiJa?=40,2ov故S秘侧二nr,PAnr*2r=y2ny=4(h/2n.答案B3.如图，在正四棱柱物/一儿RG中，底而边长为2,直线。乙与平而月以所

3、成角的正弦值为今则该正四棱柱的高为0解析以为坐标系原点，DA,DC、弧所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一xy乙如图所示，设正四棱柱的高为方，则。（0,0,0）,月（2,0,0）,o（0,2,0）,（0,0,血，4（0.2,a）,五二（0,0,方），赤二（-2,2,0）,遨二（0,-2,方）.设平而月曲的法nm2乂+2%=0,向量为二（,必，），则j一令二二2,则必二方，&二方，A=（/bh,.n速二-2%+方冬=0,2）为平面月四的一个法向量.又直线CG与平面月8所成角的正弦值为所以cos”CG）2h“，解得=4,故选C.答案C4.设三棱柱四。一46G的侧棱垂直于底而，A

4、B二AC二2,ZBAC=9O°,A4l=3,L且三棱柱的所有顶点都在同一球而上，则该球的表而积是0解析依题意，三棱柱月比46G的外接球是底面为正方形（边长为2）、高为3隹的长方体的外接球，其直径为长方体的体对角线.设球的半径为斤，则有（2而二二2'+2二+（3班尸=26,故三棱柱板一46G外接球的表面枳为43i芯二26Ji,故选C.A.24nB.18nC.26nD.16n答案C5.在正方体月中，点尸，。分别为，始，力？的中点，过点，作平而使区9平而U,40平而明若直线属A平面a=M则普的值为（）解析如图，取&的中点3G的中点区连接龙，EF,DF.易知RPDF,40龙，

5、则平面郎就是平面，与相交于点M连接4G,与84相交于点0,易证点M是0的中点又。是笈的中点，所以饕二9,故选B.答案B6.已知正四棱柱/崎一434的底而边长为1,高为2,”为6G的中点，过点必作平面a平行于平面力出若平面“把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A_D,48解析设N为4的中点，尸为M的中点，连接孙.仍AEC足，如图，在四棱柱曲-4民G中，46整夹，四边形4为平行四边形绥为3c的中点，户为CG的中点，£,觊必，的平面%C平面4.BD,眇平而A.BD.同理可证A尸平面4劭，.仍GAP二P,平而必产平面4劭，即平面小产为平而。.，体积较小的几何体为三棱锥P

6、C.槐VP-QMN=、1G.”&NG产一1二之.故选C.JN0Z答案C7.如图，四面体为正四而体，AB=L点、&尸分别是月，6O的中点.若用一个与直线断垂直，且与四而体的每一个面都相交的平面”去截该四面体，由此得到一个多边形截而，则该多边形截而面积最大值为0AD.1解析将正四而体补成正方体，如图，由图可知截而为平行四边形MVEZ,可得¥+以=1.又KLBC,KN/AD,且”_60,/.KNTKL.可得S四边杉小口二KV应=-”（当且仅当KN二此时取等号），故选A.答案A8 .已知46是半径为2小的球面上的两点，过相作互相垂直的两个平面“，£，若叫8截该球所得

7、的两个截面的面积之和为16丸，则线段的长度是（）A.八2B.2C.2巾D.4解析如图，设过相所作的互相垂直的平面“，万截球。所得的圆分别为圆Q,圆a,点。为球心，点月，6在球而上，所以球。的半径如二2,5,圆a,圆Q的半径分别为Q6和26,且仇？8,约:_La，因为两个截面的面积之和为16兀，所以na方十九a厅二16n,即（XB口？二面一3+2-=16.在比2026和社/微6中，.两式相加得，刀+。二20一（口方0305as,+2郎=2416=8.设”的中点为必，贝I卜。.一两式相加得，2囱/=（S+a历BM=a"oa,-（o4+口力=16一8二8,所以罚/=2,则由5=4.故选D.

8、答案D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9 ,已知a,6为两条不同的直线，a,6,7为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若a*o万，贝脓6B.若a£,3丫,贝IJ/C.若a_La,6_L，贝Ija/bD.若aJ_y,£_Lyt则"J_£解析*a“a,一则a月或水二£，故a不一定平行于£,A错误：若。£,8产，则“7,B正确：若al.则”6,C正确；若87%则a与尸相交或“D错误，故选BC.答案BC10 .

9、如图，8垂直于以超为直径的圆所在的平面，点。为圆上异于点乩5的任意一点，则下列关系正确的是（）A. PALBCB. ACLPBC. 5UL平面PACD. PCLPB解析由题意，知aL平面月5c;优士平而月60,；.PA±BC.A正确.：/月为直径居所对的圆周角，月UL比：又C4?二月，心月0二平而RJC,6UL平面用1。，C1E确，假设47,密平面月60,C.PALAC.ACLBC.AC工PB,且PBCBC二B,PB,3Gz平面加0,HUL平面用。，则月此尸£与假设矛盾，B错误.由6aL平面以。，得6UL尸。，则尸3为直角三角形，.尸UL加不成立,D错误,故选AC.答案AC

10、11 .如图，正三棱柱胆46£的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2,D,E分别是庭，月。的中点，则下列结论成立的是0A.直线。与6G是异而直线B,直线房与平面4平行C.直线月。与直线4所成角的余弦值为芈D.直线与平面胡心。所成角的余弦值为半解析直线与6G在同一平面643内，不是异而直线，A错误.连接月G,记4G的交点为0,连接0E,勿，则OE/CO.OE/BD.又0E=：CCkBD,所以四边形如比是平行四边形，所以应少.因为网平而儿以，口七平面4s所以直线比与平面4a?平行，B正确.因为4%Z4.G,所以直线月0与直线4。所成的角就是直线4a与直线4。所成的角.连接在446。中，

11、易知4G由余弦定理可得cos/以4二二；寺坐,所以直线月。与直线儿。所成角的余弦值为平，C正确.由题意可得平而44CCL平面J5a交4线为月G8EZ4G弧z平面。，根据面而垂直的性质可得玩L平而用心&又用勿，所以a?_L平面雨.GC,所以直线以与平而出C。所成的角就是N2Go.在直角三角形物。中,g卷C0二摩，所以直线以与平面山CC所成角的余弦值为潺续D正确.故选BCD.乙CZ/答案BCD12 .已知菱形型Z?中，加，月C与初相交于点0,将板沿切折起，使顶点，至点M在折起的过程中，下列结论正确的是。A.BDLCMB.存在一个位置，使QW为等边三角形C.5O不可能垂直D.直线“与平面灰刀

12、所成的角的最大值为60,解析画出示意图如图.对于A,因为菱形皿中，月C与加相交于点0,所以月被，也将曲沿勿折起，使顶点月至点”的过程中，月。始终与即垂直，所以加，被又C0±BD.MOCC0=0.MO.COz平而CW,所以初L平而CMO.又Clfc平面做所以BDLCY,A正确.设菱形？15（力的边长为2.因为N阴Z=60°，所以月。二8二必2二/,60二勿二1,对于B,因为在折起的过程中，四边的长度不变，所以必二若为等边三角形，则C"=,Ifa+ca-CJf3+3-4,当二面角JU劭一。的余弦值为上寸，XCDV1cos/M0CK二N产T2MoCO2XaJ3X733为

13、等边三角形，B正确.对于C,初湎一方。瓦二应一宓，由A选项，知MOLE。，COLBD.所以办源而立0,所以而二（诵一命加一宓）二扇北+砺於3cos2WC-1,显然当cosNWr=5寸，诙友二0,即忆SC,C错误.对于D,由几何体的直观图可知，当皿L平而9时，直线V与平而用力所成的角最大，为NJ欣？，易知此时NM矽=60°,D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.正三棱柱板'一儿民G中，力8二2也.二2蛆，点。为棱4民的中点，则异面直线/1PV%:所成角的大小为.解析如图，取月5的中点反连接CE则出？密，所以异面直线切与圆的夹角即为N

14、/E在正三棱柱曲4万，中，AB=2,M=2A/2,所以出二6+成=4+（2#尸=12,质二防+丽二1+（2也尸=9.又为正三角形，所以怎二八在ACEA中,由余弦定理，得cosNCB.此覆三一乜苕,所以N电八30°.所以异面直线段与出2G&E82X机2X32所成角的大小为30。.答案30o14.已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底而垂直的棱柱称为直棱柱）的所有顶点都在球。的表而上，若球。的表面积为28n,则该三棱柱的侧面积为.解析如图，设球。的半径为兄直三棱柱的棱长为a,取等边三角形的重心（三边中线的交点）为点a.由重心是中线的三等分点，得月。二衣圾二£根据几何关系，

15、可以确定上、下底面三角形重心的连线的中点为球心0,即归*S球二4无收二28五，则芯二7.在Rt440Q中，#=4d+06i,即7=惇，+（9,解得/二12.所以该三棱柱的侧面积5保=3a5=3X12二36.答案3615 .如图,包括边界），若后产平面46M则GF的最小值是住棱长为1的正方体Ga中，点是也？的中点，动点尸在底而加CZ?内（不解析如图,取6。的中点M连接氏V,ZW作aZIV交V,于点0,连接4Q易知必.周氏V儿必且MCI员V=A；如04%二必，所以平而3V平面儿囱4所以动点产在底面月皿内的轨迹为线段¥（不含端点）.又生，平而皿，所以当点尸与点。重合时，1G尸取得最小值.因

16、为/V-00=4%AG所以。6二2二幸，所以（GOw=Gg,S+3二22亚5216 .在四棱锥尸一四中，*_L平而月5s月P=2,点W是矩形四仪？内（含边界）的动点，且AB=1,4=3,直线期与平面月角力所成的角为:.记点的轨迹长度为，则tanO=:当三棱锥一四”的体积最小时，三棱锥产一四”的外接球的表面积为.（本小题第一空2分，第二空3分）解析如图，因为月1_L平面月6G?,垂足为月，所以N月明为直线用/与平面必力所成的角，所以/加二：p.因为月P=2,所以义仁2.所以点W位于底面矩形月5Q?内的以点力为圆心，2为半径的圆弧上.记点的轨迹为圆弧防连接"，贝二2.因为在Rt曲中，月5

17、=1,力仁2所以N而打工必仁一卜所以弧所的长度a=K乂2=彳，所以tana二九遂接尸尸,则当点”与。丫点尸重合时，三棱锥产一月团的体枳最小.因为平而48az8Fu平面加CO,所以PAA8E又ABA-BF.APHAB二A,AP,A5tz平而4用所以步L平而48a所以BFLPB.斫以为直角三角形，所以点5到线段方的中点的距离为“此时三棱锥产一叱的外接球的球心为线段中的中点.因为为二42'+2二二2口，所以三棱锥尸一曲的外接球的表而积S=4nX（第好二8八，即三棱锥产一四1/的体积最小时，其外接球的表而积为8n.答案右8n四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

18、步骤.17 .（本小题满分10分）在三棱柱的一4&G中，ABLAC,5。_1_平面的£尸分别是月。，8c的中点.（D求证："平面也a；（2）求证：平而必C_L平而Afia.证明（1）因为瓦尸分别是月G的中点，所以牙物.又比Q平面曲G,9u平而月所以以H平而3G（2）因为£C_L平面地G止平面所以6aL相，又平而曲G月平面曲GB,CCAC=C.所以月6,平而曲C又因为月氏平面月微，所以平而必CL平而18 .（本小题满分12分）（2020长沙雅礼中学质检）如图，在四棱锥尸一月6”？中，平而PC。、AD/BC.ABLBC,力夕=48二7。5为出？的中点，月。与比

19、相交于点QI)证明：产平面制力:(2)若必二1,求点。到平而痴的距离.(1)证明平面PCD,：.APLCD.，:ADBC,BC=AD.四边形6侬为平行四边形,:BE"CD,：.APVBE.又：AB1BC,彳8二宓二|47,且万为四的中点，,四边形加丝为正方形，反L”又？ipn月。二4平面月尸GWlJBEVPO.为斜边月。_L平而也？，:.APLPC,又AC='iAB=WAP,.州。为等腰直角三角形，。上的中点，尸。_月。且ACOBE=0,：.尸0J_平面ABCD.解/08=1,/.FA=PB=AB=2.设。到平而府的距离为a由分-神二W得京乎X(X4恳X(小)叹1,J1J/A

20、ZjZg2-3为劭的中解传/319.(本小题满分12分)在三棱锥月一灰刀中，已知CB二CD二下，BD=2.。点，A0,平面比。，力。二25为月。的中点.(1)求直线也与龙所成角的余弦值：若点尸在左上，满足5尸二加设二而角尸一龙一。的大小为。，求sin”的值.解(1)如图，连接/,因为=。？，0为物的中点，所以。0J_6E又HOL平面用力，OB,0&z平面及力，所以月0_L纺，AOLOC.以原0c.瓦为基底，建立空间直角坐标系0才以.因为劭=2,CB=CD=gA0=29所以5(1,0,0),Z?(-L0.0),C(0,2,0),J(0,012).因为E为月。的中点，所以凤0,1,1),所

21、以石二(1,0,一2),那(1,1,1),所以COS (茄，扇-京应一1+02在ABDE乖X木°因此，直线池与龙所成角的余弦值为空.(2)因为点尸在以上,5中,BC=(-192,0),所以际二；诙二(一；,0又砺二(2,0,0),故宓=疡+际二(%设立二(乂，必，为)为平面庞尸的一个法向量,%+%+zi=0,则7,1八*o=0,彳七十万必取M二2,得必二-7,二二5,所以“二(2,-7.5).设m二(用，必，三)为平面，区的一个法向量，又比二(1,2,0),店二0,即，生+於十三二0,»&.m=0,、*+2心=0,取赴=2,得g二1,备二一1,所以乙二(2,L1).

22、。_M4+7-5H3故C°S二n：Th柢又水一13,所以sin°=21cos:。二今塔.1o20.(本小题满分12分)如图，四边形板P为正方形，E尸分别为出？，6o的中点，以以为折痕把,尸。折起，使点。到达点尸的位置，且PFLBE(1)证明：平而田平面四股(2)求以与平面月房叨所成角的正弦值.证明由已知可得，BFLPF,BFLEF,又PFCEF二尸，PF,瓦心平而尸£E所以不I平而PEF.又5也平面ABFD,所以平面阳北平面四叨(2)解雒祝,垂足为凡由得，加L平面物叨以，为坐标原点，分别以丽，声麻勺方向为王轴、y轴、z轴的正方向，济为单位长，建立如故)=4+方，所

23、以产ELPE ”曰力 3 可得用二?一曰/=贝1 4(0, 0, 0),彳 0. 0,半)，T, 一提 0).徐二(1,*坐)，=(),0,阴为平而四叨的一个法向量.设分与平而出Z?所成角为0,赤DPHPDP所以分与平而丽所成角的正弦值为半.2L(本小题满分12分)如图(D,在等腰梯形月5仪？中，AB/CD,DA=AB=BC=2,CD=,£为缈的中点，将困沿熊折到国的位置，如图(2).(2)当折叠过程中所得四棱锥以一儿减体积取最大值时，求直线方与平面曲所成角的正弦值.(1)证明如图在梯形月比P中，连接跖设仍交熊于点五由已知，得四边形印为菱形，所以月反L施.在立体图形中，连接2尸，如图(2).则丝_1_尸，AELBF.因为D.FCBF=Ff尸，职二平面用,所以也平面D.FB.因为以氏平而见际所以也L万.(2)解要使四棱锥一皿体枳最大，则需要平而%武垂直于底而的1,此时尸L平面ABCE.图故以点尸为坐标原点，FE,房网所在直线分别为Y轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图(3),贝I4(7,0,0),5(0,60),£(1,0,0),以(0,0,小),所以办'=(1,0,一木),而二（1,0,，曲二（0,一次vG）.设平面月被的法向