一元二次方程求根公式

1、实用文档一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程 ax2 + bx + c=0(a #0)进行配方，当 b24ac>0_ -btb2 -4ac时的根为 2盘 .该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程 的方法称为求根公式法，简称公式法.说明：(1) 一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 ax2+bx + c=0(a #0);(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时 必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式一士击2-4-. 2.、

2、一一， 国1(1)当b24ac>0时，方程有两个不相等的实数根 2荏 ；b22(2)当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根;(3)当b24ac<0时，方程没有实数根.二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点， 难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方纸类型的题目法的优缺点。(1) “开平方法” 一般解形如如果用“公式法”就显得多余的了 C(2) “因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰 当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公 式法

3、”之前。如方程?-6x = 6391 ;用因式分解，则6391这个数太大， 不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为 。-剪=姆，就 易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。(4) “公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系 数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为-Aac要代入 一£ (犷-4讹A0)求值，所以对某些特殊方程，解法又 显得复杂了。2、在运用b2 4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：(1) b24ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定 a、b、c,求出b24ac;(2)在运用上述结

4、论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认 a、b、c;(3)根的判别式是指b24ac,而不是 麻-薪三、典型例题讲解例1、解下列方程： /-4&+四=口 ；“2= 2折；二分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为 a=1,占=-4心，c=io -4函=(-4班)2 - 4x1x1 0=48-40 = 8>0所以 2x12 中 、 所以-1 -、:(2)原方程可化为尸- 2勿+ 2 = 0因为 a=1, b = -2& , c=2J2-4=(-27)2-4xlx2 = 0所以口、厂近所以忙"口.(3)原方程可化为7

5、-247=0因为 a=1, b =-2#, c= - 1所以-4就= (-24)2-4xlx(-l)=l?生担口内a所以 22飞；所以V诋+ &2 = ga.总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如 果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母, 通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行.例2、用适当方法解下列方程:3) 1-2后工-1二05) /+2(1 +物工+2招=07) (41+1)。一1"(3工7)。一1)分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程， 就必须熟悉各种方法 的优缺点，处理好特

6、殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配 方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般 方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系 数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为-力士扬-4ac要代入一元二次方程的求根公式元 求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解； 若此时还用求根公式就显得繁琐了。配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般 不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如，因

7、为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是 -2。可以利 用用配方法来解，经过配方之后得到2x+l= 224+1 =。犷= 225 , 显得很简单。 直接开平方法一般解符合=。)型的方程，如第小题。因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它 是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解 为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。货=4两边开平方，得"3二州所以- 一2) x2-2i=224配方，得12二一(I尸=225 所以.一所以：1": "/- 2后二。?-2=1|配方，得 - '6折二6所以-1-所以看二出+小

8、旃工出一后 5：；.因为a=5 力=-2 r = -所以/-4就=(-2)2-4x(-1)x5 =4+20=242±2 1士#工= =所以 一-1 -h/61 - X工1二=所以1535 /+2(1+由1+21=0/+2(1+厮78配方：，一. 一一 -一工+（1+呵= 4所以一1-,所以二1一 1 一 , - 二二一-二一（3-。*=9整理，得1二I1-3） = 0所以；-瓯否支遒通引移项，提公因式，得'二】，二二 - -d 11（工-。+2）=。所以-二一二小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺 点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作

9、参考,符合加广=福（q。0）：直接开平方法，如 一个一元二次方程，各项有公因式，或可直接因式分解，因式分解法，如化为一般形式后1j首先要考虑因式分解法，如若常数项分解较烦，且一次项系数有因数是偶数,可考虑使用配方法.如最后使用公式法，如例3、已知关于x的方程ax2 3x+1=0有实根，求a的取值范围.rnn解：当a=0时，原方程有实根为X = 3ft t （一3）-4白»0即白一吐若a?0时，当4 原方程有两个实根.故，综上所述a的取值范围是3<4.小结：此题要分方程 ax2 3x+ 1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=O-W a#0两种情况.例4、已知一元二次

10、方程x24x + k=0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx- 1=0W一个相同的根，求此时 m的值.解：（1）因为方程x24x+k=0有两个不相等的实数根，所以 b24ac=16 4k>0,得 k<4.(2)满足k<4的最大整数，即k=3.此时方程为x2 4x + 3=0,解得Xi=1, X2=3.当相同的根为x=1时，则1 + m-1=0,得m=0即？二,当相同的根为x=3时，则9+3m- 1=0,得 3_8所以m的值为0或一)例5、设m为自然数，且3Vm<40方程了- 2(2用-+4/-14汹+8=0有 两个整数根求m的值及方程的根。解：/_2(2加-加+4/-14加+8 = 0,A - 4(2加 - 3)' (4班'- 14期+= 4(加+1)| .方程有整数根，4 (2m+ 1)是完全平方数。/3<m<40/.7<2m 1<812m 1 值可以为 9, 25, 49.m的值可以为4, 12,