2022年2022年高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理新人教A版

1、学习必备欢迎下载第十四节定积分与微积分基本定理 备考方向要明白考 什 么怎 么 考可编辑资料 - - - 欢迎下载1. 明白定积分的实际背景,明白定积分的基本思想,明白定积分的概念2. 明白微积分基本定理的含义.1. 考查形式多为挑选题或填空题2. 考查简洁定积分的求解如20XX年江西 T11 等3. 考查曲边梯形面积的求解如 20XX年湖北 T3,山东 T15,上海 T13 等4. 与几何概型相结合考查如20XX年福建 T6 等. 归纳·学问整合可编辑资料 - - - 欢迎下载1定积分(1) 定积分的相关概念在 baf xd x 中, a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,

2、b 叫做积分区间,f x叫做被积函数,x 叫做积分变量,f xd x 叫做被积式可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 定积分的几何意义当函数 f x 在区间 a,b 上恒为正时,定积分 baf xd x 的几何意义是由直线x a,可编辑资料 - - - 欢迎下载x b a b , y 0 和曲线 yf x 所围成的曲边梯形的面积 左图中阴影部分 a一般情形下,定积分b f xd x 的几何意义是介于x 轴，曲线 f x 以及直线x a, xb 之间的曲边梯形面积的代数和 右上图中阴影所示 ,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3) 定积

3、分的基本性质 bbakf xd x kaf xd x.可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载bbbcb a f 1 x ± f 2 xd x af 1 xd x± af 2 xd x.可编辑资料 - - - 欢迎下载b af xd x af xd x cf xd x.可编辑资料 - - - 欢迎下载bbaa 探究 1. 如积分变量为t ,就 f xd x 与 f t d t 是否相等？提示：相等2一个函数的导数是唯独的,反过来导函数的原函数唯独吗？提示： 一个函数的导数是唯独的,而导函数的原函数就有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积

4、分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于运算b3定积分 a f x g xd x f x> g x 的几何意义是什么？提示：由直线x a, xb 和曲线 y f x ,y g x 所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理b假如 f x 是区间 a,b 上的连续函数, 并且 Fx f x ,那么 af xd x F b F a ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式a为了便利,常把F b F a 记成 F x | b,即 b| baf xd x F xa F b F a 自测·牛刀小试 411. 2 dx 等于 xA 2ln 2

5、B 2ln 2C ln 2D ln 24 14可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 D2dx lnx |x2 ln 4 ln 2 ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载22 教材习题改编 一质点运动时速度和时间的关系为V t t动,就此物体在时间1,2内的位移为 t 2,质点作直线运可编辑资料 - - - 欢迎下载1714A. 6B. 31311C. 6D. 6221117解析：选 AS 2 t 2 t 2d t t 3 2t2.13t163 教材习题改编 直线x 0, x 2, y 0 与曲线yx2 所围成的曲边梯形的面积为 2 21 328可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载解析： 0x dx x3| 0 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载8答案：3可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载04 教材改编题 11x2dx .0解析：由定积分的几何意义可知, 11 x2dx 表示单位圆x2 y2 1 在第一象限内部分的面积,所以121 01x dx .41答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载45由曲线y1,直线 y x x5所围成的封闭图形的面积为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载11可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：作出图象如以下图解方程组可得交点为A,2 , B 2,22可编辑资料 - - - 欢迎下载所以阴影部分的面积,可

7、编辑资料 - - - 欢迎下载x2 51221x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1515 x2 lnx2 2ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载22x18 2可编辑资料 - - - 欢迎下载答案：15 2ln 28可编辑资料 - - - 欢迎下载利用微积分基本定理求定积分 例 1利用微积分基本定理求以下定积分：2211 x 2x 1d x. 2 0 sinx cos xd x.222x1可编辑资料 - - - 欢迎下载3 0 x x 1d x.4 1 edx.x可编辑资料 - - - 欢迎下载0522xsindx.2可编辑资料 - - - 欢迎下载可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载3222 222x2222可编辑资料 - - - 欢迎下载 自主解答 1 1 x 2x 1d x 1xdx 12xdx 11dx 3 |1 x| 1 x | 1可编辑资料 - - - 欢迎下载193 .02 sinx cos xd x00 sinxdx cosxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载 cosx |0 sinx |0 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2223 0 x x 1d x 0 x xd x2221 3 | 21 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载0x dx0xdx x30 x02可编辑资料 - - - 欢迎下载3111

9、4×20 22 0 ×.323可编辑资料 - - - 欢迎下载14 22x1 22xe x dx1e dx21dx可编辑资料 - - - 欢迎下载11 2x2x21 41 2可编辑资料 - - - 欢迎下载 e|21 lnx |1 2e e ln 2 ln 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载1 41 2可编辑资料 - - - 欢迎下载 e 2e ln 2. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载052sin2 xdx220112 cosx dx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载1102dx0 222 cosxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载210 x212sinx20 41 24 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载求定积分的一般步骤运算一些简洁的定积分,解题的步骤是：(1) 把被积函数变形为幂函数，正弦函数，余弦函数，指数函数与常数的积的和或差.(2) 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3) 分别用求导公式找到一个相应的原函数.(4) 利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值.(5) 运算原始定积分的值1求以下定积分：210 | x 1|d x.0221 sin 2 xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载解： 1|x 1| 1 x,x0 ,x 1,x 1 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载 21

11、2故0| x1|d x 01 xd x 1 x 1d x可编辑资料 - - - 欢迎下载x2 x 2|x2120 2 x| 1可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2 11 1.20221 sin 2 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载002 |sinx cosx|d x4cosxsinxd x24sinx cosxd x可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载0 sinx cosx4 cosxsinx24可编辑资料 - - - 欢迎下载2 1 12 22 2.利用定积分的几何意义求定积分0 例 2 1x22xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载1 自

12、主解答 0 x2 2xdx 表示 yx2 2x与 x 0, x 1 及 y 0 所围成的图形可编辑资料 - - - 欢迎下载的面积222可编辑资料 - - - 欢迎下载由 y x 2x得 x 1又 0 x1,2 y 1 y0 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载 y x 2x与 x 0, x 1 及 y 0 所围成的图形为4个圆,其面积为4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载 120 x 2xdx 4 . 22可编辑资料 - - - 欢迎下载在本例中,转变积分上限,求0 x 2xdx 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载0解： 2 x22xdx 表示圆 x 1

13、2 y21 在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,可编辑资料 - - - 欢迎下载所以 220 x 2xdx 2 .利用几何意义求定积分的方法(1) 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分(2) 利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载x2 2021·福建模拟 已知函数 f x 0cost sint d t x>0 ,就 f x 的最大值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：因 为 f x x02sin4 tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载 t| x可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载2cos402cos4 x 2cos4可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 sinx cosx 12sinx412 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当 sinx4 1 时,等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载答案：2 1利用定积分求平面图形的面积 例 32021 ·山东高考 由曲线 yx,直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为10A. 3B 416C. 3D 6 自主解答 由 yx及 y x2 可得, x 4,即两曲线交于点4,2由定积分的几何意义可知,由yx及 yx 2 及 y

15、轴所围成的封闭图形面积为42 31 2416可编辑资料 - - - 欢迎下载 0x x 2d xx x 2x|3220 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载 答案 C如将“ y x2”改为“ y x2”,将“ y 轴”改为“ x 轴”,如何求解？解：如以下图,由yx及 y x 2 可得 x 1. 由定积分的几何意义可知,由yx, y x 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载2 1 222| 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载0f xd x0xdx1 x 2d x x3230 2x 2| 1可编辑资料 - - - 欢迎下载7 . 6可编辑资料 - - -

16、欢迎下载(1) 画出曲线的草图利用定积分求曲边梯形面积的步骤可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载(2) 借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上，下限(3) 将“曲边梯形”的面积表示成如干个定积分的和或差(4) 运算定积分,写出答案可编辑资料 - - - 欢迎下载232021 ·郑州模拟 如图,曲线y x 和直线 x 0,x 1,y1所围成4可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载的图形 阴影部分 的面积为 A. 23C. 12B. 13D. 14可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 D由1y ,41.

17、 x 或2可编辑资料 - - - 欢迎下载y x21x 2 舍 ,所以阴影部分面积可编辑资料 - - - 欢迎下载112S2 xdx1x21 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载04111x x321421x31x11可编辑资料 - - - 欢迎下载 430 3 41 4.2可编辑资料 - - - 欢迎下载定积分在物理中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载2 例 4列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a 0.4 m/s,问列可编辑资料 - - - 欢迎下载车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开头制动？0 自主解答 a 0.4 m/s 2, v 72 km/h 20 m/s

18、.设 t s 后的速度为v,就 v 200.4 t .00令 v0,即 20 0.4t 0 得 t 50 s 设列车由开头制动到停止所走过的路程为s, 就 s 50 vdt 5020 0.4 t d t0 20 t 0.2 t 2 |50220×500.2 ×50 500m ,即列车应在进站前50 s 和 进站前 500 m 处开头制动1变速直线运动问题可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载假如做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v v t v t 0 ,那么物 b体从时刻t a 到 t b 所经过的路程为av t d t .假如做变速直线运动的物体

19、的速度v 关b于时间 t 的函数是vv t v t 0 ,那么物体从时刻t a 到 t b 所经过的路程为av t d t .可编辑资料 - - - 欢迎下载2变力做功问题物体在变力F x 的作用下,沿与力 F x 相同方向从x a 到 x b 所做的功为ba F xd x.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4一物体在力F x 10x3x 4x 单位： N的作用下沿与力F x 相同的方向可编辑资料 - - - 欢迎下载运动了 4 米,力 F x 做功为 A 44 JB 46 JC 48 JD 50 J解析：选 B力 F x 做功为 210dx 43 x 4d x0

20、23 10x |2x2 4x4022 2026 46.1 个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知, 求导与积分是互为逆运算3 条性质定积分的性质(1) 常数可提到积分号外.(2) 和差的积分等于积分的和差.(3) 积分可分段进行3 个留意定积分的运算应留意的问题(1) 如积分式子中有几个不同的参数,就必需分清谁是积分变量.(2) 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限.(3) 面积非负,而定积分的结果可以为负.易误警示利用定积分求平面图形的面积的易错点可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 典例 2021 ·上海高考 已知

21、函数y f x 的图象是折线段ABC,其中A0,0,1B 2, 5 , C1,0函数 y xf x0 x1 的图象与x 轴围成的图形的面积为 解析 由题意可得10x,0 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载f x 2,11010x, 2<x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载所以 y xf x 10x2,0 x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载210x 10x ,1<x1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载与 x 轴围成图形的面积为1102 10x2dx1210 x10x2d x10x331x21.0 5x210

22、 31 5342可编辑资料 - - - 欢迎下载5 答案 4 易 误 辨 析 1此题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2此题易弄错积分上，下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关学问和运算才能不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题：(1) 熟识常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形.(2) 精确确定被积函数和积分变量 变式训练 1由曲线y x2,y x3 围成的封闭图形面积为11A. 12B. 417C. 3D. 12y x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载0解析：选A由y x3,得 x 0 或 x 1,由图易知封闭图形的面积

23、1 x2 x3d x可编辑资料 - - - 欢迎下载111 .3412可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载22021 ·山东高考 设 a>0. 如曲线 yx与直线x a, y0 所围成封闭图形的面积2为 a ,就 a .a2解析：由题意0xdx a .|2233a2可编辑资料 - - - 欢迎下载又x 2x,即x 23322340 a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载即 a 2 a . 所以 a . 394答案： 9一，挑选题 本大题共6 小题,每道题5 分,共 30 分e1 lnx1. 1xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载1A lnx ln22xB.2e 1

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载312C. 2D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载e 1lnxlnxlnx e3可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 C1xdx21 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载22021 ·湖北高考 已知二次函数yf x 的图象如以下图,就它与x 轴所围图形的面积为 24A.5B. 33C. 2D. 2212解析：选B由题中图象易知f x x 1 ,就所求面积为2 0 x 1d x x32 x 14.303可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载233设函数f x ax b a0 ,如 0f xd x 3f x0 ,就 x0 等于 A

25、7; 1B.2C±3D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载3解析：选 C0 f xd x320 ax bd x133ax bx309a 3b,可编辑资料 - - - 欢迎下载2就 9a 3b 3 ax0 b ,2即 x0 3, x0±3.可编辑资料 - - - 欢迎下载4设 f x x ,x 0 , 1 , 2 x,x,2 ,20就 2f xd x 可编辑资料 - - - 欢迎下载34A. 4B. 55C. 6D不存在解析：选 C如图 21 220f xd x 0x dx 1 2 xd x 1 3 |1 2x 1x2|23x021112 4 2 2 35 . 65以初速度4

26、0 m/s竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v 40 10t 2,就此物体达到最高时的高度为16080A.3mB. 3 m4020C. 3 mD. 3 m02解析：选 Av 40 10t 20, t 2, 240 10t 2d t可编辑资料 - - - 欢迎下载10 3 40t 3 t|040×210×831603m 可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载62021 ·青岛模拟 由直线 x3 , x3 ,y 0 与曲线 y cosx 所围成的封闭图可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载形的面积为 1A. 2B 13C. 2D.3

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载解析：选 D结合函数图象可得所求的面积是定积分33cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载sinx 333 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载223二，填 空题 本大题共3 小题,每道题5 分,共 15 分x7设 a 0 sinxdx,就曲线y f x xa ax 2 在点 1 , f 1处的切线的斜率为 00解析： a sinxdx cosx | 2,x y x·2 2x2.xx y 2 x·2ln 2 2.曲线在点 1 ,f 1处的切线的斜率k y|x 14 2ln 2.答案： 4 2ln 2248在等比数列 an 中,首项a1

28、3,a4 11 2xd x,就该数列的前5 项之和 S5等于 4242 3可编辑资料 - - - 欢迎下载解析： a4 11 2xd x x x |1 18,由于数列 an 是等比数列,故18q ,解3可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载253 3242可编辑资料 - - - 欢迎下载得 q 3,所以 S5.1 33可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载答案：2423可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载92021 ·孝感模拟 已 知 a 0, 2,就当 acosx sinxd x 取最大值时,a可编辑资

29、料 - - - 欢迎下载0 .aa解析： 0cosxsinxd x sinxcosx | 0 sina cosa 1可编辑资料 - - - 欢迎下载2sina4 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 a 0,2,当 a 4 时,2sina 4 1 取最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载答案： 4三，解答题 本大题共3 小题,每道题12 分,共 36 分 10运算以下定积分：02(1) 2sinxdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载22 3x 1x2dx.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载10322xe dx.可编

30、辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载0解： 1221 cos 2 xsinxdx202dx可编辑资料 - - - 欢迎下载1122x sin 2x4014 sin 0 4可编辑资料 - - - 欢迎下载322412xdxx.312 xx 2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载1 23 2x 2x lnx| 29 2 6ln 3 2 4ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载9 ln 3 ln 2 2932 ln. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2 x1032e dx1 2xe21112e .022可编辑资料 - - - 欢迎下载21

31、1如以下图,直线y kx 分抛物线y x x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值解：抛物线yx x2 与 x 轴两交点的横坐标为x 0, x 1,12所以,抛物线与x 轴所围图形的面积2311x211可编辑资料 - - - 欢迎下载S0 x x d x2 3x|0 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载y x x2,又ykx,34由此可得,抛物线y xx2 与 y kx 两交点的横坐标为x 0, x 1 k,所以,S 1k20 x x kxd x2可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1 kx2 1 31k13可编辑资料 - - - 欢迎下

32、载32x|0 1 k .6可编辑资料 - - - 欢迎下载又知 S11,所以 1 k 3 ,62可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载于是 k 1313 42 1 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载112如图,设点 P 从原点沿曲线 y x2 向点 A2,4 移动,直线 OP与曲线 y x2 围成图形的面积为 S ,直线 OP与曲线 y x2 及直线 x 2 围成图形的面积为 S2,如 S1 S2,求点 P的坐标解：设直线OP的方程为y kx,点 P 的坐标为 x, y , x222就0 kx x d xx x kxd x,可编辑资料 - - - 欢迎下载121

33、3x1 3122可编辑资料 - - - 欢迎下载即 2kx 3x|0x kx23|x,可编辑资料 - - - 欢迎下载121 381x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载解 得 kx2 3x 2k 3kx,332可编辑资料 - - - 欢迎下载解得 k4,即直线OP的方程为y343x,所以点 P 的坐标为4169,.3可编辑资料 - - - 欢迎下载1一物体做变速直线运动,其vt 曲线如以下图,就该物体1在s 6 s 间的运动路程为 2解析：由题图可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载v t 2tt,t,可编辑资料 - - - 欢迎下载13t t,可编辑资料 - - - 欢迎下载因此该物体在

34、12 s 6 s 间运动的路程为可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载s6v t dt 12t dt 32dt 61 1 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载31113t22可编辑资料 - - - 欢迎下载t 2 112 2t | 11 2 t|3t64963 4 m 可编辑资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载49答案： 4 m2运算以下定积分：1133 x2 2x 1d x.e112 1 xx x2 dx.11解： 133 x2 2x 1d x x3 x2 x3 24.可编辑资料 - - - 欢迎下载e x11ee1e 11 2ee1e可编辑资料 - - -

35、欢迎下载2 d d21 x 1x x 1xxxdx 1x2dx x|1lnx |1 x |1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载21 e 221 ln e ln 1 111e可编辑资料 - - - 欢迎下载1 2132 e .2e13求曲线yx, y2 x, y 3x 所围成图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载解：由yx,得交点 A1,1.由y2 x,1得交点 B3 , 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载y 2 x,yx,3可编辑资料 - - - 欢迎下载11313故所求面积S 0x x dx 1 2 x 3x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载2321 211 23可编辑资料 - - - 欢迎下载3x x6|0 2x 3x|1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载216 34133 6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载4某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：t 2t,可编辑资料 - - - 欢迎下载m/s 与时间 t 单位：s 中意函数关