第十七章一元二次方程复习课

1、第十七章第十七章一元二次方程一元二次方程（复习课）（复习课）霍邱县乌龙镇中心学校龚家林霍邱县乌龙镇中心学校龚家林今，我以八五为荣耀今，我以八五为荣耀明，社会有我而精彩明，社会有我而精彩一、一元二次方程的概念一、一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。的整式方程叫做一元二次方程。二、一元二次方程的一般形式二、一元二次方程的一般形式 20axbx c 20axbxc 1.直接开平方法直接开平方法 对于形如对于形如ax2=p(p0)或或(mx+n)2=p(po)的方程可以用直的方程可以用直接开平方法解接开平方法

2、解 解方程：解方程：（1） （2）06)2( 32x01692xx三、一元二次程的解法三、一元二次程的解法2.配方法配方法用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤: :w1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1(1(方程两边都除以二次方程两边都除以二次项系数项系数););w2.2.移移项项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;w3.3.配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数绝对值绝对值一半一半的平方的平方; ;w4.4.变变形形: :方程左分解因式方程左分解因式, ,右边合并同类右边合并同类; ;w5.5.开开方方: :根

3、据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;w6.6.求求解解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;w7.7.定定解解: :写出原方程的解写出原方程的解. .w我们通过配成我们通过配成完全平方式完全平方式的方法的方法, ,得到了一元二得到了一元二次方程的根次方程的根, ,这种解一元二次方程的方法称为这种解一元二次方程的方法称为配配方法方法3.公式法公式法w 一般地一般地, ,对于一元二次方程对于一元二次方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) .04.2422acbaacbbxw上面这个式子称为一元二次方程的求根公式上面这个式子称为一元二次方程的

4、求根公式. .w用求根公式解一元二次方程的方法称为用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法公式法. .:,042它的根是时当 acbw注意：注意：w用用公式法公式法解一元二次方程的解一元二次方程的前提前提是是: :w1.1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程: : axax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0). w2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0.公式法是这样公式法是这样生产生产的的w 你能用配方法解方程你能用配方法解方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) 吗吗? ?. 0:2acxabx解.2422aacbabx.222

5、22acababxabx.442222aacbabx.04.2422acbaacbbx.2acxabxw1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1;1;w3.3.配方配方: :方程两边都加上一次项方程两边都加上一次项系数系数绝对值绝对值一半的平方一半的平方; ;w4.4.变变形形: :方程左分解因式方程左分解因式, ,右边合并同类右边合并同类; ;w5.5.开开方方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;w6.6.求求解解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;w7.7.定定解解: :写出原方程的解写出原方程的解. .w2.2.移移项项: :把常数

6、项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;,042时当 acb4.分解因式法分解因式法w 当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于分而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时解成两个一次因式的乘积时, ,我们就可以用分我们就可以用分解因式的方法求解解因式的方法求解. .这种用分解因式解一元二这种用分解因式解一元二次方程的方法你为次方程的方法你为分解因式法分解因式法. .w注意注意:w1.1.用用分解因式法分解因式法的的条件条件是是: :方程左边易于分方程左边易于分解解, ,而右边等于零而右边等于零; ;w2. 2. 关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识

7、; ;w3.3.理论理论依旧是依旧是“如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零, ,那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零. .”1 1、公式法虽然是万能的，对任何一元二次公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但方程都适用，但不一定是不一定是最简单的，因此在最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平直接开平方法方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）2 2、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有

8、简单方法，若看不出合适的方法时，则没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。方法。小结：小结：w 我们知道我们知道: :代数式代数式b b2 2-4ac-4ac对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用. .2422, 1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22, 1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫做方程我们把代数式四、一

9、元二次方程的根的判别式四、一元二次方程的根的判别式若若方程有两个方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0判别式逆定理判别式逆定理若若方程有两个方程有两个 相等的实数根相等的实数根,则则b2-4ac=0若若方程没有实数根方程没有实数根,则则b2-4ac0若若方程有两个方程有两个 实数根实数根,则则b2-4ac0判别式的用处判别式的用处 1.不解方程不解方程.判别方程根的情况判别方程根的情况 2.根据方程根的情况根据方程根的情况,确定方程中确定方程中待定常数的值或取值范围待定常数的值或取值范围 3.进行有关的证明进行有关的证明五、一元二次方程根与系数的关系五、一元二次方程根与系

10、数的关系设设x1,x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根的两个根,则有则有x1+x2= , x1x2= .abac六、列一元二次方程解应用题六、列一元二次方程解应用题列方程解应用题的一般步骤是列方程解应用题的一般步骤是: :1.1.审审: :已知什么已知什么, ,求什么求什么? ?已已, ,未知之间有什么未知之间有什么关系关系? ?2.2.设设: :设未知数设未知数, ,语句要完整语句要完整, ,有单位有单位( (同一同一) )的要注明单位的要注明单位; ;3.3.列列: :列代数式列代数式, ,列方程列方程; ;4.4.解解: :解所列的方程解所列的方程; ;5

11、.5.验验: :是否是所列方程的根是否是所列方程的根; ;是否符合题意是否符合题意; ;6.6.答答: :答案也必需是完事的语句答案也必需是完事的语句, ,注明单位且要贴近生活注明单位且要贴近生活. . 列方程解应用题的列方程解应用题的关键关键是是: : 找出找出相等关系相等关系. .1.数字与方程数字与方程 例例1.一个两位数一个两位数,它的十位数字比个位数字小它的十位数字比个位数字小3,而它的个而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数求这个两位数.得根据题意为设这两位数的个位数字解,:x.3102xxx.030112xx整理得.6,521xx解得.

12、 3363, 2353xx或.36,25:或这个两位数为答例例2.有一个两位数有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是它的十位数字与个位数字的和是5.把这把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数数,两个两位数的积为两个两位数的积为736.求原来的两位数求原来的两位数.得根据题意字为设这个两位数的个位数解,:x.736510510 xxxx.0652 xx整理得.3,221xx解得. 2355, 3255xx或.2332:或这两个数为答2.几何与方程几何与方程 例例1 .一块长方形草地的长和宽分别为一块长方形草地的长和宽分别为20c

13、m和和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已已知小路的面积为知小路的面积为246cm2,求小路的宽度求小路的宽度. 得根据题意设小路的宽度解,:xm(202 ) 1522015246.xx:整理得).,(241; 321舍去不合题意xx, 01233522xx:解得.3:m小路的宽度为答201515+2x20+2xn例例2. 如图如图,在一块长在一块长92m,宽宽60m的矩形耕地上挖的矩形耕地上挖三条水渠三条水渠,水渠的宽度都相等水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成水渠把耕地分成面积均为面积均为885m2的的6个矩形小块个矩形小块,水渠应挖多宽水渠应挖多

14、宽.得根据题意设水渠的宽度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105; 121舍去不合题意xx, 01051062xx:解得.1:m水渠的宽度为答例例3. 将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一并把每一段围成一个正方形个正方形.(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗? 得根据题意设剪下的一段为解,.2

15、:xcm2256( )196.44xx:整理得, 0562xx:解得.,0,5621舍去不合题意xx.196,:2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答例例1.一次会议上一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次每两个参加会议的人都互相握了一次手手,有人统计一共握了有人统计一共握了66次手次手.这次会议到会的人数是多这次会议到会的人数是多少少?3、生活与方程、生活与方程得根据题意设这次到会的人数为解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合题意xx. 01322 xx:解得,223125291x.12:人这次到会的人数为答例例.某果园有某果园有100棵桃树棵桃

16、树,一棵桃树平均结一棵桃树平均结1000个桃子个桃子,现准现准备多种一些桃树以提高产量备多种一些桃树以提高产量.试验发现试验发现,每多种一棵桃树每多种一棵桃树,每每棵桃树的产量就会减少棵桃树的产量就会减少2个个.如果要使产量增加如果要使产量增加15.2%,那么那么应多种多少应多种多少棵桃树棵桃树?4.经济效益与方程经济效益与方程得根据题意棵设多种桃树解,:x.%2 .1511000100)121000)(100(xx240076000.xx得解这个方程,.380,2021xx.38020:棵棵或应多种桃树答5、商品交易、商品交易例例.某商场销售一批名牌衬衫某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能

17、售出现在平均每天能售出20件件,每件盈利每件盈利40元元.为了尽快减少库存为了尽快减少库存,商场决定采取降价措商场决定采取降价措施施.经调查发现经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低如果这种衬衫的售价每降低1元时元时,平均平均每天能多售出每天能多售出2件件.商场要想平均每天盈利商场要想平均每天盈利1200元元,每件每件衬衫应降价多少元衬衫应降价多少元?得根据题意元设每件衬衫应降价解,:x.1200)1220)(40(xx. 020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220 xx或n例例. 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件

18、21元的价格购进一批商品元的价格购进一批商品,若每若每件商品售价为件商品售价为x元元,则每天可卖出则每天可卖出(350-10 x)件件,但物价局限定但物价局限定每件商品加价不能超过进价的每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚商店要想每天赚400元元,需要卖出多少件商品需要卖出多少件商品?每件商品的售价应为多少元每件商品的售价应为多少元?6、利润与方程、利润与方程得根据题意元设每件商品的售价应为解,:x.400)10350)(21(xx. 077556:2xx整理得得解这个方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售价应为答.,31, 2 .25%2012131舍去不合题意xx 列方程解