均值不等式技巧

1、题根 已知都是正数，求证题根已知都是正数，求证思路1) 平均值不等式（当且仅当，a=b时取“=”号）2）需两次利用平均值不等式，要使得此不等式等号成立，需两次取等号的条件一致或同时成立。即即时成立。破解：由都是正数，得：收获1）多次运用平均值不等式，要使得不等式等号成立，需这几次取等号的条件一致、相同或同时成立。2）利用不等式的同向相乘性质时，需保证不等式两边同时为正。第1变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。变题1设x,y,zR+且x+y+z=1求证: + + 36.思路从左到右事实上是求和式+ + 的最小值，需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x+y+

2、z=1，所以对待证式的左边需变形出现积为定值的情况。破解证法一:巧用1代换+= +=14+(+)+(+)+(+)14+4+6+12=36当且仅当=,=,=,x+y+z=1取等号.证法二:分式代换法令x= ,y= , z= 则+=+=14+(+)+(+)+ (+)14+4+6+12=36当且仅当取等号.解法三:x+y+z=1mx+my+mz=m, (m>0)+=+ mx+my+mz-m=(+ mx)+( + my)+( + mz)-m2+4+6-m当且仅当= mx, = my, = mz即x=,y=,z=时取等号代入x+y+z=1解得m=362+4+6m=36.收获由于不等式是分式形式,上

3、述三种证明方法都是巧用1作代换,构造倒数关系,使乘积为定值,从而取得最值.请你试试211: 设a>0，b>0，求证：。解题思路分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= 0 左右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 两式相加得：2已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2 (2)6解：.(1)证法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(

4、ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2证法三：a2+b2+c2a2+b2+c2证法四：设a=+，b=+，c=+.a+b+c=1，+=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2原不等式成立.证法二：6原不等式成立.3甲乙两人在每个月里,总是相约到一家小铺里买两次白糖,假设白糖的价格是变化的,而他们购买的方式不一样,甲每次买1千克,乙每次买1元钱的白

5、糖,试问两种买糖的方式哪一种更合算?解:设甲乙二人两次买每千克白糖的价格分别为m,n元则甲花去m+n元,买了2千克糖,平均每千克价格为元;乙花去2元买了+千克糖,平均每千克价格为元.乙的购糖方式合算.第2变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件求最值。变题2（1）求函数的最小值。思路1）本题是求目标和式的最小值，需创造积为定值的条件，要使积为定值，需将拆成两项的和。2）由“相等”知应均分为相等的两项的和。解题，所以仅当。收获目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分为相同的两项，同时使得含变量的因子的次数和为零。思路不熟练，功底不扎实是无法完成变形目标的。（2）已知思路1）本题是

6、求目标积式的最大值，需创造利用和为定值的条件，变形时需扣紧题中的已知条件，目标 要明确。2）题中条件中的次数相同，故需将拆成，再由来配前的系数。解题，所以仅当。收获目标求积的最大值，凑定和是关键，因此由题中条件中的次数相同，故需将拆成，再由来配前的系数。在运用均值不等式求解函数的最值时，防错关键是：观察结构，合理变形，充分重视运用过程中的三个条件：“一正二定三相等”。请你试试221错解：所以的最大值为。剖析：这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。正解：仅当时取等，所以。如取2求函数的最大值。解析：（仅当时取等号），即当。另解：（仅当时取等号），即当。评

7、析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键之所在。3求函数的值域 。误解：（仅当时取等号），所以值域为。这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是4已知，求的最小值。解：，因此仅当评析：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，取倒数法不失是一种有效的变形的技巧，值得欣赏。5一段长L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？解法一:设长为x,由题意知宽为xS=x·= 当x=L-x时即x=取等号.【注】构建相反变量x与-x.解法二：设

8、宽为x,依题意知长为L-2xS=x (L-2x)= ·2x·(L-2x)x·( )2=当2x=L-2x时即x=取等号.【注】构建相反变量2x与-2x.xy解法三:设长为x,宽为y,依题意知x+2y=LS=xy=·x·2y·( )2当即x=,y=时取等号.【注】构建已知条件x+2y=L,产生定值L.解法四:(利用二次函数)在解法一与解法二中,均可利用二次函数求最值(略).6设 、,且 求函数 的最小值。解:令 t >0 由基本不等式有: 三式相加有: 当且仅当 亦 t=1时取等号 从而有: 所以,ymin=1第3变 均值不等式“一

9、正、 二定、 三相等”的条件中“相等”条件不成立， 补充基本函数的单调性。变题3求函数y= 的最小值.思路1）发现分子分母有相似之处，可将改写成后，y= = =+出现了均值不等式的结构特征。2）需要认真探求均值不等式的“一正、 二定、 三相等”的条件是否具备。错解:y= = =+=时,得x2=-1等号不能成立.正解:单调性法y= = =+令z=y=z+(z)设z1<z2则y1-y2=(z1+)- (z2+)=(z1-z2)+(-)=其中z1-z2<0, z1z2>0, z1z2-1>·1>0y1-y2<0y=z+在,+)上当z=时ymin=+ =

10、.简介函数的性质1单调区间的分界点由ax=得x=±2函数的单调区间(-,-、,+)是增区间-,0)、(0, 是减区间3函数的图象为4在c,+)上,(c>0)若c这时x=c,+)当x=时ymin=2若c>c,+)是单调区间,+)的一个子区间,故可先证单调性再求最值f(c).第4变 高考应用，重在建模变题4（1998全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时

11、，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?思路1）认真阅读弄清题意建立目标函数是解决应用性问题的关键。2）目标函数建立后利用均值不等式求最值解题解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0）得b=（0a30于是当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=10（舍去） 将a=6代入式得b=3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0）即a+2b+ab=30（a0，b0）a+2b2 2ab30当且仅当a=2b时，上式取