电路分析基础-第五章 二阶电路

1、 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应论电路的零输入响应(固有响应固有响应)。下 页图图51 RLC串联二阶电路串联二阶电路)()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 为了得到图

2、为了得到图51所示所示RLC串联电路的微分方程，先列出串联电路的微分方程，先列出KVL方程方程5.1 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应一、一、 RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程下 页上 页 根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程 2CCCS2dd( )(7 1)dduuLCRCuu ttt 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为其特征方程为 其特征根为其特征根为 零输入响应方程为零输入响应方程为 02 CCCudtduRCdtudLCLCLRRp2/422, 1 LCLRLR1)2(22 012 RC

3、pLCp下 页上 页二二. 零输入响应的三种情况零输入响应的三种情况二二个个不不等等负负实实根根 2CLR 二二个个相相等等负负实实根根 2CLR 二二个个共共轭轭复复根根 2CLR 过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼下 页上 页 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 2 )1(CLR 非振荡放电过程非振荡放电过程 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率p1，p2为两个不相同的为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式实数，齐次微分方

4、程的解答具有下面的形式 CLR212C12( )ee(75)p tp tu tAA 式中的两个常数式中的两个常数A1，A2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0) 确定。确定。 C12(0)(76)uAA 对式对式(55)求导，再令求导，再令t=0得到得到 CL01122d( )(0)(77)dtutiA pA ptC下 页上 页 求解以上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到 L12C21L21C12(0)1(0) (0)1(0)iAp uppCiAp uppC 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和方程和电容的电容的VCR可以得到电感

5、电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。 下 页上 页例例51 电路如图电路如图51所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。221 2213383 1422RRpLLLC ，解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（54）计算出固有频率）计算出固有频率图图51 RLC串联二阶电路串联二阶电路下 页上 页 将固有频率将固有频率p1=-2和和p2=-4代入式（代入式（55）得到）得到 24C12( )ee(0)ttutAAt 利用电容电压的初始值利用

6、电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程： C12CL012 (0)2d( )(0)244dtuAAutiAAtC A1=6A2=-4)0(V)e4e6()(42Cttutt 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 下 页上 页 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响方程得到电感电流的零输入响应应 )0(A)e4e3(dd)()(42CCLttuCtititt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过

7、程。路各元件的能量交换过程。下 页上 页 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率p1, p2为两个相同的实为两个相同的实数数p1=p2=p。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2C12( )ee(7 8)ptptu tAAt 式中的两个常数式中的两个常数A1，A2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0) 确定。确定。令式令式(55)中的中的t=0得到得到 C1(0)(79)uA(2)2 LRC临界情况临界情况 下 页上 页 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 1CL21C(0)(0)(0)AuiAp uC 将将 A1, A

8、2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（58）得到电容电压）得到电容电压的零输入响应，再利用的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电可以得到电感电流的零输入响应。感电流的零输入响应。 对式对式(55)求导，再令得到求导，再令得到 CL012d( )(0)(7 10)dtutiA pAtC下 页上 页例例52 电路如图电路如图51所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。221 2212242 0222RRpLLLC ，解：将解：将R

9、，L，C的量值代入式的量值代入式(54)计算出固有频率的数计算出固有频率的数值值图图51 RLC串联二阶电路串联二阶电路下 页上 页 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 C1CL012 (0)1d( )(0)20dtuAutiAAtC 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率p1=p2=-2 代入式（代入式（58）得到）得到 22c12( )ee(0)ttu tAA tt下 页上 页 得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL

10、ttttuCtititttt 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数A1=-1和和A2=-2，得到电容，得到电容电压的零输入响应电压的零输入响应 )0(V)e2e()(22Ctttutt下 页上 页 根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形画出的波形曲线，如图曲线，如图53所示。所示。 (a) 电容电压的波形电容电压的波形 (b) 电感电流的波形电感电流的波形图图53 临界阻尼情况临界阻尼情况 )0( A e4)()()0( V)e2e()(2CL22Ctttititttuttt下 页上 页欠阻尼情况欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的

11、固有频率p1，p2为两个共轭复数为两个共轭复数根，它们可以表示为根，它们可以表示为 CLR22221 201jj22RRpLLLC ， 其中其中 0220 21 RLLC称为衰减系数称为谐振角频率称为衰减谐振角频率 2 )2(CLR 下 页上 页 齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 C12( )ecos()sin()ecos()(7 11)ttu tAtAtAt 式中式中 222121arctanAAAAA 由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数A1，A2后，得到电容后，得到电容电压的零输入响应，再利用电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR

12、方程得到电感电流方程得到电感电流的零输入响应。的零输入响应。 下 页上 页例例53 电路如图电路如图51所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。2221 213353j422RRpLLLC ，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(54)计算出固有频率的数计算出固有频率的数值值图图51 RLC串联二阶电路串联二阶电路下 页上 页 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两

13、个方程得到以下两个方程 C1CL012 (0)d( )(0)347dtuAutiAAtC 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数A1=3和和A2=4，得到电容电，得到电容电压和电感电流的零输入响应压和电感电流的零输入响应: )0(A )74.734cos(e)4sin(24)4cos(7e04. 0dd)()0( V)1 .534cos(e5)4sin(44cos3e)(33cL33ctttttuCtitttttutttt 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率 p1=-3+j4 和和 p2=-3-j4 代入式代入式（5-11）得到）得到 3C12( )ecos4sin(4 )

14、(0)tu tAtAtt下 页上 页(a) 衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b) 衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c) 衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) 衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形 图图5-4 欠阻尼情况欠阻尼情况 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，如图5-4(a)和和(b)所示所示 下 页上 页 从式从式(511)和图和图54波形曲线可以看出，欠阻尼情况波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电的特点是能量在

15、电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 当例当例53中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变变为为0.5时，用计算机程序时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图的波形曲线，如图54(c)和和(d)所示，由此可以看出曲线衰所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。 下 页上 页例例

16、54 电路如图电路如图51所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电感电流的零 输入响应。输入响应。221 215j522RRpLLLC ，解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（54）计算出固有频率的）计算出固有频率的 数值数值 图图51 RLC串联二阶电路串联二阶电路下 页上 页 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率p1=j5和和p2=-j5代入式（代入式（511）得到得到 c12( )cos(5 )sin(5 )(0)u tAtAtt 利用电容电压的初始值利用电容电压的

17、初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 C1CL02 (0)3d( )(0)57dtuAutiAtC 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数A1=3和和A2=1.4，得到电容，得到电容电压和电感电流的零输入响应电压和电感电流的零输入响应: )0(A)655cos(66. 0)5cos(7)5sin(1504. 0dd)()0(V)255cos(31. 3)5sin(4 . 1)5cos(3)(CLCtttttuCtitttttu下 页上 页 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波画出的电

18、容电压和电感电流的波形曲线，如图形曲线，如图55所示。所示。 图图55 无阻尼情况无阻尼情况 下 页上 页 从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为差为90 ，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零

19、，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图种情况画在图56上。上。下 页上 页图图56下 页上 页 由图由图56可见：可见： 1. 在过阻尼情况，在过阻尼情况，p1和和p2是不相等的负实数，固有频是不相等的负实数，固有频率出现在率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临

20、界阻尼情况，在临界阻尼情况，p1=p2是相等的负实数，固有频率是相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 3.在欠阻尼情况，在欠阻尼情况，p1和和p2是共轭复数，固有频率出现在是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越越大，衰减越快。衰减振荡的角频率快。衰减振荡的角频率 越大，振荡周期越小，振荡越快。越大，振荡周期越小，振荡越快。下 页上 页 对于图示直

21、流激励的对于图示直流激励的RLC串联电路，当串联电路，当uS(t)=US时，可时，可以得到以下非齐次微分方程以得到以下非齐次微分方程 )0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC5.2 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应下 页上 页 电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成的特解之和组成 )()()(CpChCtututu 电路的固有频率为电路的固有频率为 21 2122RRpLLLC， 当电路的固有频率当电路的固有频率p1 p2时，对应齐次微分方程的通解时，对应齐次微分方程的通解为为 12ch12(

22、)eep tp tutAA下 页上 页 微分方程的特解为微分方程的特解为 Scp)(Utu 全响应为全响应为 12CChCp12S( )( )( )eeptp tu tututAAU 利用以下两个初始条件利用以下两个初始条件Cittuut)0(d)(d ),0(L0CC 可以得到可以得到(零状态是零状态是uc(0)和和iL(0)均为零均为零)C12S(0)0uAAU下 页上 页 对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0得到得到 CL01122d( )(0)0dtutiA pA ptC 求解这两个代数方程，得到常数求解这两个代数方程，得到常数A1和和A2后就可得到后就可得到uC(t)。下 页上

23、页例例56 电路如图所示。已知电路如图所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uS(t)= 1V。求。求t0时电容电压的零状态响应。时电容电压的零状态响应。 解：解：t0时，时， uS(t)= 1V ，可以作为直流激励处理。首先计，可以作为直流激励处理。首先计算电路的固有频率算电路的固有频率 2221 213353j422RRpLLLC ，下 页上 页 根据这两个固有频率根据这两个固有频率p1=-3+j4和和p2=-3-j4，可以得到全，可以得到全响应的表达式为响应的表达式为 3C12( )ecos(4 )sin(4 ) 1V(0)tutAtAtt 利用电容电压的初始值利用电容电压

24、的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 C1C012 (0)10d( )340dtuAutAAt 下 页上 页 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数A1-1和和A2-0.75，得到，得到电容电压的零状态响应电容电压的零状态响应 ) 0(V 1)1 .1434cos(e25. 1 V1)4sin(75. 0)4cos(e)(33Ctttttutt 可以用计算机程序可以用计算机程序DNAP画出电容电压和电感电流零画出电容电压和电感电流零状态响应的波形。状态响应的波形。下 页上 页注：图注：图(c)和和(d)表示当电阻由表

25、示当电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变为变为0.5时的电时的电 容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。 注：图注：图(a)和和(b)表示用表示用DNAP程序画出的电容电压和电感电流的波形。程序画出的电容电压和电感电流的波形。 图图5 57 7下 页上 页 图中按图中按Ae- t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。变化范围。 4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，p1和和p2是共轭虚数，固有频率出现在是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 下 页上 页 全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应 但实际上，根据列出的方程可以知道，但实