异面直线所成的角求法-答案

1、异面直线所成的角的两种求法时间：2021.02. 07命题人：欧阳物初学立几的同学，遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成 的角。难在何处?不会作！下面介绍两种求法传统求法找、作、证、求解。求异面直线所成的角，尖键是平移点的选择及平移面的确 定。平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时 选在空间适当位置会更简便。平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平 面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要 的伸展，有时还用补形的办法寻找平移面。例1设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA 的中点，若 AB = 12血，CD = 4 近，且四边

2、形EFGH的面积为12，求AB和CD所成的角.解由三角形中位线的性质知，HGllAB，HEIICD，/. zEHG 就是异面直线欧阳物创编AB和CD所成的角.£ EFGH是平行四边形，HG二亍AB二6血，£HE= 2 . CD = 2,Sefgh = HG-HE-sinzEHG = 12 sinzEHG/. 12 sinzEHG = 12.V2 sinzEHG= 2 zS$zEHG = 45°.AB和CD所成的角为45。注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。例2点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、V2CD的中点，且EF= 2 AD

3、，求异面直线aEDBAD和BC所成的角。（如图） 解：设G是AC中点，连接DG、FG 因D、F分别是AB、CD中点，故£EGIIBC 且 EG=2BC，FGllAD，且FG=2AD -由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直 角为异面直线AD、BC所成角，即zEGF为所求。由BC=AD知£EG=GF=2AD，又EF=AD .由余弦定理可得coszEGF=0，即 zEGF=90°。欧阳物创编2021.02.07注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两 条异面直线的平行线，然后在AEFG中求角。通常在出现线段中 点时，常取另一线段中点，以构成中位线，

4、既可用平行尖系，又 可用线段的倍半尖系。A例3已知空间四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA=DB=ACZM、N 分另I为BC、AD的中点。求：AM与CN所成的角 的余弦值；解：（1）连接DM,过N作NEllA M交DM于E，贝IJzCNE 为AM与CN所成的角。vN 为AD的中点，NEllAM省 .-.NE=2AM且E为MD的中点。丄 逅 逅 设正四面体的棱长为1 贝INC=亍T = T且J_V32_7_ME 二亍 MD=Z在 RfMEC 中，CE2=ME2+CM2=i6= 16X'/zCNEc£ 2 （0,）.异面直线AM与CN所成角的余弦值为亍.注：1、本题的平移点

5、是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN外计算CE、CN、EN长，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的 邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个 角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成 的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这 个角的余弦值必须为正。例4如图所示在空间四边形ABCD中，点E、F分别是AF BEBC、AD 上的点，已知 AB二4，CD=20，EF=7，fd = ec=。求异面直线AB与CD所成的角。DBG _ 1 解：在BD上取一点G，使得而二，连结EG、FGBE _ BG在ABCD

6、中， ECGD，EG BE _EG/CD 并且 CD=C=4 ,FG _DF _3 所以，EG = 5 ;类似地，可证FG/AB，且乔=而蔦故FG = 3，在4EFG中，利用余弦定理可得EG2 +GF2-EF2 _ 32 +52 -72 _1coszFGE= 2-eg gf = 2 3.5 =_2 ,故zFGE=120°。另一方面，由前所得EG/CD FG/AB，所以EG与FG所 成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等 于 60°。2021.02.07欧阳物创编例5在长方体ABCDAiBiCiDi 中 AAi=c AB=a，AD=b，且 a > b

7、求ACi与BD所成的角的余弦解一：连 AC，设 ACQBD=O，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OFIIAC1且OF=2AC1，所以zFOB即为AC1与DB所成的角。在FOBI-yla2 +b2-ylu2 +b2 +c2- (Z?2 +-C2中，0B=2« OF=2，BE=2Y 4 ，由余弦定理得-(«2 +b2) + -(a2 +Z?2 +c2)-(/?2 +-c2)4442 _bicoszFOB=2 冷丽m*=血+；)(/+卄严解二：取ACi中点Oi，BiB中点G在CiOiG中，z C1O1G即AC1与DB所成的角。解三：延长CD到E，使ED=DC则ABDE

8、为平行四边 形AEIIBD 所以zEACi即为AC】与BD所成的角连ECi， 在 aAECI中，AEH , AC1二毎+宀疋,C1E二如+疋由余弦定理， 得(a2 +b2) + (a2 +/?2 +c2)-(4«2 +c2) 庆 COSZEACi=2, J/ +b' y/a +b2 +c2= J(" +/”)(/ + A +c< Q所以zEACi为钝角欧阳物创编2021.02.07欧阳物创编2021.02.07根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为yl(a2 +b2)(a2 +h2 +c2)ahf f 7 a-b cos<a,b >

9、=)，可以求空间两二利用两个向量的夹角公式( 条直线所成的角。例6如图，在正方体ABCDA1B1C1D中，E、F 分别是BBi、CD的中点求AE与DiF所成的)角 解:取AB中点G连结AGFG.因为F是CD的中点，所以GF、A彷 平行且相等， 又AiDi、AD平行且相等，所以GF、 AiDi平行且相等， 故GFDiAi是平行四边形AGllDiF. A 设AiG与AE相交于点H, 贝IJzAHAi是AE与DiF所成的角，因为E是BBi的中点,所 以 RfAiAG雲RfABE, zGAiA=zGAH ，从 而zAHAi=90°z即直线AE与DiF所成角为直角.下边看利用向量的有尖知识解答

10、该题：i(2O2) f 1，0 )、ECiB.EcB证明：如右图建立空间直角坐标系：Dxyz ° 设正方体的棱长为2，则有A(2，0，0 )、a D(0,0,0)、Di(0,0,2)、F(0，z (22 1) _ (I ) 5= ( 0，2，1 M = ( 01 -2 ).平 M 二(0,2，l)(0，l，.-.AEiDiFAE与DiF所成的角为90° 即直线AE与DiF所成角为直角.由上述的解答，可以看到传统方法解决立体几何问题，过 程、图形都比较复杂，而用向量解答目标明确，在未计算之前， 就已经知道结果了，证明的过程只是计算验证，通过空间直角坐 标系，把复杂的几何证明转

11、化为简单的代数计算，学生对于代数 运算较熟悉，避免了传统方法造成逻辑推理上的不便和由于辅助 线的添加造成图形的复杂化等问题，相比传统方法更容易接受和 掌握。因此，空间向量是处理立体几何问题的强有力工具。例7已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABllDC，ZDAB = 90。,PA丄底面ABCD，且 PA=AD=DC=2AB = 1，M 是PB的中点。求AC与PB所成的角；解：因为PA丄PD，PA丄AB，AD丄AB，以A为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ，C(l，l，0) ，D(l，0,1)0) P(O'O'l)，M(0l，2l因 AC = (1,1,0),= (0,2-1),用传统方法解决两异面直线所成的角问题，通常都必须 添加辅助线，并且要经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活 性，学生掌握起来比较困难。空间向量的引入，给传统的立体几 何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有 图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很