多项式函数与多项式的根

1、1.7 1.7 多项式函数与多项式的根多项式函数与多项式的根第一章第一章 多项式多项式一、多项式函数 01,nnf xaa xa xF x1. 定义：设对 01nnf caa ca cF,cF 数 称为当F中的根或零点。 ,f xF x2. 定义（多项式函数）：设对 ,cF 作映射f： cf cF为F上的多项式函数。 0,f c xc时 f x的值，若则称c为 f x在 ,f x映射f确定了数域F上的一个函数 f x被称第一章第一章 多项式多项式当F=R时， f x就是数学分析中所讨论的多项式函数。若 ,u xf xg xv xf xg x则 ,.u cf cg cv cf cg c二、余式定

2、理和综合除法所得的余式是 。用一次多项式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多项式 ,f x f c证：由带余除法：设 ,f xxc q xr则 。 rf c第一章第一章 多项式多项式问题1、 有没有确定带余除法： f xxc q xr的简单方法？中 q x和 r设 1011nnnnf xa xa xaxa 120121nnnnq xb xb xbxb 1010121.nnnnnxc q xrb xbcbxbcbxrcb 把 ,f x q x代入 f xxc q xr中展开后比较方程两边的系数得：00ab00ba第一章第一章 多项式多项式110abcb110bacb221abcb221bac

3、b112nnnabcb112nnnbacb1nnarcb1nnracb因此，利用 f x与 q x之间的系数关系可以方便 q x和r，这就是下面的综合除法：0121nnaaaaac00ba0cb1b1cb2b2ncb1nb1ncbr第一章第一章 多项式多项式于是得 120121,nnnnq xb xb xbxb1.nnracb去除例1.7.1：求用2x 532285f xxxxx的商式和余式。解：由综合除法10128521224510816244853因此 43225824q xxxxx53r 第一章第一章 多项式多项式利用综合除法求 q x与r时应注意：1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补

4、上零；2、除式xb要变为xb 532285f xxxxx例1.7.2：把表成2x的方幂和。第一章第一章 多项式多项式定理1.7.2（因式定理）：xc因式的充要条件是 。 0f c 证明：设 ,f xxc q xr若 0,f c 即 0,r 故 xc是 f x的一个因式。若 f x有一个因式,xc即 ,xcfx故 0,r 此即 。 0f c 由此定理可知，要判断一个数c是不是 f x的根，可以直接代入多项式函数， 看 f x是否等于零；也可以利用综合除法来判断其余数是否为零。 f x多项式有一个第一章第一章 多项式多项式三、多项式的根xc定义3：若是 f x的一个k重因式，即有 ,kxcf x但

5、 1,kxcf xxc则 是 f x的一个k重根。 f x问题2、若多项式有重根，能否推出 f x f x有重因式，反之，若有重因式，能否说 f x有重根？由于多项式 f x有无重因式与系数域无关， 而 f x f x有无重根与系数域有关，故有重根 f x有重因式，但反之不对。第一章第一章 多项式多项式定理1.7.3（根的个数定理）：0n n 数域F上次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。证明（用归纳法）：当0n 时结论显然成立，假设当 f x是 1n次多项式时结论成立，则当 f x是n次多项式时，设 cF是 f x的一个根，则有 f xxc q x q x是n-1次多项式，由归纳知 q x

6、至多只有1n个根，故 f x至多只有n个根。第一章第一章 多项式多项式证二：对零次多项式结论显然成立，数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不定理1.7.4： f x超过n，若在F中有n+1个不同的数使与 g x的值相等，则 。 f xg x证明： 令 ,u xf xg x ,f xg xF x设它们的次数都不若 0,u x 又 ,u xn把 f x若 f x是一次数0的多项式，分解成 f x不可约多项式的乘积，这时在数域F中根的个超过n。第一章第一章 多项式多项式由于F中有n+1个不同的数， 使 f x与 g x的值相等，故 u x有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾，故 0,u

7、x 即 f xg x问题3、12,na aa设是F中n个不同的数，12,nb bb是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项 f x式，使 ,1,2,iif abin ,1,2,iif abin利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式 ,f x使第一章第一章 多项式多项式作函数 1111111niiiniiiiiiinb xaxaxaxaf xaaaaaaaa则 ,1,2,iif abin这个公式也称为Lagrange插值公式。例1.7.3：求一个次数小于3的多项式 ,f x使 。 27,12,21fff解一（待定系数法）：设所求的多项式 2,f xaxbxc第一章第一章 多项式多项式由已知条

8、件得线性方程组：4272421abcabcabc解之得763223abc 解二（利用Lagrange公式）：第一章第一章 多项式多项式利用Lagrange插值公式可得： 712222212 1221212222 1xxxxxxf x 22272124324312xxxxx2732623xx 问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？第一章第一章 多项式多项式四、多项式相等与多项式函数相等的关系1. 多项式相等：即 f xg x对应项的系数相同；2. 多项式函数相等：即 f xg x对 ,cF 有 .f cg c定理1.7.5： f x F x中两个多项式和 g x相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数