弹性力学试卷试题含标准规范答案

1、弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后， 其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2 。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问

2、题。7、已知一点处的应力分量x100 MPa，y50 MPa，xy10 50 MPa，则主应力1150MPa，2 0MPa， 1 35 16 。8、已知一点处的应力分量，x200 MPa，y0 MPa， xy400 MPa，则主应力1512 MPa，2 -312 MPa， 1 -37° 57。9、已知一点处的应力分量，x2000 MPa，y1000 MPa， xy400 MPa，则主应力11052MPa，2-2052 MPa，1-82°32。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡

3、微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元

4、法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续， 就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时， 也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni 在 i 结点 Ni=1；在其他结点Ni=0 及 Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。13二、判断题 （请在正确命题后的括号内

5、打“”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（）5、如果某一问题中，zzxzy0 ，只存在平面应力分量x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x， y 的函数，此问题是平面应力问题。 （）6、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应变分量x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x， y 的函数，此问题是平面应变问题。（）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的

6、作用力。（）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（ 1）xAxBy ，yCxDy ， xy ExFy ；（）x(2y2 )，yB( x22) ，xy Cxy ；2A xy其中， A， B，C， D， E， F 为常数。xyx0xy解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：；（1）在区域内的平衡微分方程yxy0yx22（ 2 ） 在 区 域 内 的 相 容 方 程y 2xy 0 ；（ 3 ） 在 边 界 上 的 应 力 边 界 条 件x 2l

7、x m yx s m y l xy sffxys；（4）对于多连体的位移单值条件。s（ 1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（ 2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2 。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量xQxy 2 C1 x3 ，y32 C2 xy 2 ， xyC2 y3 C3 x2 y ，体力不计， Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C1， C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程xyx0xyyxy 0yx得Qy 23C1 x

8、2 3C2 y 2 C 3 x203C 2 xy 2C 3 xy 0即223C1 C 3 xQ 3C2 y0由 x，y 的任意性，得3C1 C3 0Q 3C 2 03C 22C 30QQQ由此解得，C1， C 2， C 36323、已知应力分量x q ，yq ， xy0 ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量可知，已知应力分量xxq ，yq ， xy0，代入平衡微分方程xyxX 0xyyxyyY 0xq ，yq ， xy0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：2222 (y )2 ( yx ) 2(1)xyyxxx y将

9、已知应力分量xq ，yq ，xy0 代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：2222xyy2 ( xy )x2 ( yx )111x y将已知应力分量xq ，yq ，xy0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（ 1）xAxy ，yBy3 ， xy CDy 2 ；（ 2）xAy 2 ，yBx2 y ， xyCxy ；（ 3）x0 ， y0， xy Cxy ；其中， A， B，C， D 为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即222xyxyy 2x 2x y将以上应变分量代入上面的形

10、变协调方程，可知：（ 1）相容。（ 2） 2A 2ByC （ 1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0， 2A=C。（ 3） 0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则x 0 ，y 0 ， xy0 （1 分）。5、证明应力函数by2 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， b0 ）。h/2xOh/2l/2l/2y解：将应力函数by 2 代入相容方程444x42x 2 y 2y4 0可知，所给应力函数by 2 能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222xy2 2b ，yx2 0 ， xyx y0对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应

11、力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边， yh0 ， m1， f x ( xy )0 ， f y( y ) h 0 ；， lhyy下边， yh， l0 ， m 1， f x(xy )h0 ， f y (y )h0 ；2y2y2左边， xll1， m0 ，f x(x )l 2b， f y( xy ) l 0 ；，xx右边， xl， l1 ， m 0 ， f x(x )l2b ， f y( xy )l0 。xx可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数by 2 能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。

12、6、证明应力函数 axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， a 0 ）。h/2Oxh/2l/2l/2y解：将应力函数axy 代入相容方程444x42x2y2y40可知，所给应力函数axy 能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222xy2 0 ，yx2 0 ， xyx ya对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边， yh0 ， m 1， f x(xy )a ， f y(y )h0 ；， lhyy下边， yh ， l0 ， m 1， f x (xy )ha ， f y (y )h0 ；2y

13、2y2左边， xl1， m 0 ， f x(x )0， f y(xy )a ；， lllxx右边， xl， l1 ， m 0 ， f x (x )l0 ， f y ( xy )la 。xx可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a。因此，应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。Ox 解 ：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设bx 0 。由此可知gq22 0xy将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式x, yf1 ( x) y f 2 (

14、 x)y将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得y d 4 f1 ( x) d 4 f2 ( x) 0dx4dx 4这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它） ，可见它的系数和自由项都应该等于零，即d 4 f1 (x) 0 ，d 4 f 2 ( x)0dx 4dx 4这两个方程要求f1 (x) Ax 3 Bx 2 Cx I ，f 2 ( x) Dx 3 Ex 2 Jx K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得y( Ax3Bx 2 Cx)Dx 3Ex 2对应应力分量为2xy 2 02y2y( 6Ax2B)6Dx2Egyx2xy3

15、Ax 22Bx Cx y以上常数可以根据边界条件确定。左边， x 0， l1， m 0 ，沿 y 方向无面力，所以有( xy ) x 0 C0右边， x b， l 1， m 0 ，沿 y 方向的面力为q，所以有( xy ) x b3Ab22Bb q上边， y 0， l0 ， m1 ，没有水平面力，这就要求xy 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即b0将xy 的表达式代入，并考虑到C=0，则有( xy ) y 0 dx 0b22Bx)dxAx3Bx 20bAb 3 Bb20( 3Ax0bxy ) y 0 0dx 0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求而(y 在这部分边界上0

16、合成的主矢量和主矩均为零，即by ) y 0 dxby ) y 0 xdx 0(0 ，(00将 y 的表达式代入，则有b2E) dx3Dx 22Ex 0b3Db 22Eb0( 6Dx0b2E) xdx2Dx 3Ex20b2Db 3Eb 20(6Dx0由此可得A应力分量为x0 ,qqb2 ， B， C 0 ， D 0 ， E 0by2q y 1 3 xgy ,xyq x 3 x2bbb b虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0 处这一结果应是适用的。8 、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为f xV，xV22f yV

17、 ， yV ，其中 V 是势函数， 则应力分量亦可用应力函数表示为，xy22yx2xy，试导出相应的相容方程。x y证明 ：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x ，y ， xy 应当满足平衡微分方程xyxV 0xyx分）（ 1yxyVyx0y还应满足相容方程22x 2y 2xy22x2y 2xy1f xf y（对于平面应力问题）xy1f xf y（对于平面应变问题）1xy并在边界上满足应力边界条件（1 分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为Vyxx0xyVxyy0yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为xV

18、yxxy根据微分方程理论，一定存在某一函数A（ x，y），使得AAx V，yxyx同样，将第二个方程改写为yVyx（1 分）yx可见也一定存在某一函数B（ x， y），使得BByV，yxxy由此得ABxy因而又一定存在某一函数x, y ，使得A ， Byx代入以上各式，得应力分量222xy 2 V ，yx 2V ， xyx y为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数x, y 必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得222222x2y2y2Vx2 V1x2y2V22222222x2y2y2x22x2y2 V 1x2y2 V简写为4 (1 ) 2V将上述应力分量代入平

19、面应变问题的相容方程，得22221222 VVx2y2yx2Vx2y212222221222y2 Vy 2 Vx2y 2y2x2x 21x 2简写为41 22V19、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。Oxgy解：纯三次的应力函数为ax 3bx2 y cxy2 dy 3相应的应力分量表达式为222xy2 xf x 2cx 6dy ,yx2yf y 6ax 2by gy , xyx y2bx 2cy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边， y 0， l0 ， m1，没有水平面力，所以有( x

20、y ) y 02bx 0对上端面的任意x 值都应成立，可见b 0同时，该边界上没有竖直面力，所以有(y ) y 0 6ax 0对上端面的任意x 值都应成立，可见a 0因此，应力分量可以简化为x2cx 6dy ，ygy ，xy2cy斜面， y xtan， l cossin， m coscos ，没有面力，所以有2lx m yxy xtan0myl xyy x tan0由第一个方程，得2cx 6dxtan sin 2cxtancos4cxsin 6dxtan sin 0对斜面的任意x 值都应成立，这就要求4c 6d tan0由第二个方程，得2cxtansingxtancos2cxtan singx

21、sin0对斜面的任意x 值都应成立，这就要求2ctang 0 （ 1 分）由此解得c1gcot （ 1 分）， d1gcot 223从而应力分量为xgxcot2 gycot 2,ygy ,xygy cot设三角形悬臂梁的长为l ，高为 h，则 tanhx 方。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿1l向的分量为 0，沿 y 方向的分量为glh 。因此， 所求x 在这部分边界上合成的主矢应为零，xy12应当合成为反力glh 。2hdyhgl cot2 gy cot 2dyglh cotgh2 cot 200xx l0hh1gh 2 cot1 glh0xyx ldygycotdy022可见，所求应力

22、分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1 ，液体的密度为2 ，试求应力分量。Ox解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与1 g成正比 （ g 是重力加速度） ；另一部分由液体压力引起，应当与2 g 成正比。此外，每一部分还与， x， y 有关。由于应力的量纲是 L-1MT-2 ， 1 g 和 2g 的量纲是 L-2 MT-2 ，是量纲一的量，而 x 和 y 的量纲是 L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是A 1 gx ，B 1