高考专题复习第三节　利用导数研究函数的极值与最值

1、第三节利用导数研究函数的极值与最值学习要求-公众号：新课标试卷:1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.1.函数的极值与导数(1)函数的极小值:若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 , f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f(x)<0 ,右侧 f(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值:

2、若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大 , f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f(x)>0 ,右侧 f(x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值. 提醒f(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如, f(x)=x3, f(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)

3、在a,b上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 知识拓展记住两个结论(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则其极值点为函数的最值点.(2)若函数在闭区间a,b内的最值点不是端点,则其最值点亦为其极值点.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数的极大值不一定比极小值大.()(2)函数的极大值一定是函数的最大值.()(3)开区间上的单调连续函数无最值.()答案(1)(2)(3)2.如图是f(

4、x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A3.函数f(x)=2x-xln x的极值是()A.1eB.2eC.eD.e2答案C4.已知函数f(x)=x-ln x,则f(x)在1,e中的最小值为. 答案15.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a+b的值为. 答案11利用导数解决函数的极值问题角度一根据图象判断函数的极值典例1(多选题)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表,x-1045f(x)1221f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,下列关于函数f(x)的结论正确的是() A.函数f

5、(x)的极大值点有2个B.函数f(x)在0,2上是减函数C.当x-1,t时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点答案AB由f(x)的图象可知,当x=0时,函数f(x)取得极大值;当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A中结论正确;易知函数f(x)在0,2上是减函数,故B中结论正确;当x-1,t时,f(x)的最大值是2,则t满足0t5,即t的最大值是5,故C中结论错误;令y=f(x)-a=0,得f(x)=a,当f(2)1,1<a<2时,易知f(x)=a有四个根;当1<f(2)<2

6、,1<a<2时,易知f(x)=a不一定有四个根,故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确,故D中结论错误,故选AB.角度二求函数的极值典例2已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)当a=12时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解析(1)当a=12时,f(x)=ln x-12x,函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x12=2-x2x,令f(x)=0,得x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,2)2(2,+)f(x)+0-f(x)ln 2-1故f(x)在定义域内的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)

7、函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1xa=1-axx(x>0).当a0时,f(x)>0在(0,+)上恒成立,即函数f(x)在(0,+)上单调递增,此时函数f(x)在定义域内无极值点;当a>0时,若x0,1a,则f(x)>0,若x1a,+,则f(x)<0,故函数f(x)在x=1a处有极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值点;当a>0时,函数f(x)有一个极大值点,为x=1a.角度三已知函数的极值求参数典例3(1)已知f(x)=12x2-aln x在区间(0,2)上有极值点,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,0)(0,2)C.(0,

8、4)D.(-4,0)(0,4)(2)(2020阜阳第三中学高三期末)若函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,则实数a的取值范围是. 答案(1)C(2)-12,0解析(1)f(x)=x-ax=x2-ax.因为函数f(x)在(0,2)上有极值点,所以f(x)在(0,2)上有零点.所以a>0,a<2,解得0<a<4.(2) f(x)=xln x+ax2(x>0),则f(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点g(x)=0在区间(0,+)上有两个实数根,g(x)=1x+2a=1+2axx,

9、当a0时,g(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+)上单调递增,因此g(x)=0在区间(0,+)上不可能有两个实数根,不符合题意;当a<0时,令g(x)=0,解得x=-12a,令g(x)>0,解得0<x<-12a,此时函数g(x)单调递增;令g(x)<0,解得x>-12a,此时函数g(x)单调递减.即当x=-12a时,函数g(x)取得最大值.要使g(x)=0在区间(0,+)上有两个实数根,则g-12a=ln-12a>0,解得-12<a<0.所以,实数a的取值范围是-12,0.名师点评(1)求函数f(x)的极值的一般解题步骤:确定函数

10、的定义域;求导数f(x);解方程f(x)=0,求出函数定义域内的所有根;列表检验f(x)在f(x)=0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领:列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;验证:求解后验证根的合理性.1.(多选题)定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在区间0,4上单调递增B.函数f(x)在区间-12,0上单调递减C.函数f(x)在x=1处取得极大值D.函数f(x)在x=0处取得极小值答案ABD根据导函数f(x)的图象可知,f(x)在区间-12,0上单调递

11、减,在区间0,4上单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A,B,D正确,选项C错误.2.(2020陕西咸阳三模)已知函数f(x)=e-x-ex+ax(a为常数)有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是()A.1,+)B.2,+)C.(2,+)D.(1,+)答案C函数f(x)有两个不同的极值点,f(x)=-e-x-ex+a=0有2个不等的实数根,即a=ex+e-x有2个不等的实数根,令g(x)=ex+e-x,则g(x)=ex-e-x,易知g(x)在R上单调递增且g(0)=0,所以当x<0时,g(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g(x)>0

12、,g(x)单调递增.所以函数g(x)有极小值,也是最小值,为g(0)=2,又当x-时,g(x)+,x+,g(x)+,所以a>2即可,故选C.3.(2020黑龙江大庆实验中学高三开学考试)已知f(x)=aln x+12x32x+1,且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处取得极值.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间和极值.解析(1)因为f(x)=aln x+12x32x+1,所以f(x)=ax12x232,又f(1)=0,所以a-2=0,解得a=2.(2)由(1)可知f(x)=2ln x+12x32x+1,f(x)=-(3x-1)(x-1)2x2,令f(x)=0,解得x1=13,

13、x2=1.因为函数f(x)的定义域为(0,+),所以函数f(x)在区间0,13和(1,+)上单调递减,在区间13,1上单调递增.故函数f(x)的极大值为f(1)=0,极小值为f13=2-2ln 3.利用导数求函数的最值角度一求函数的最值典例4已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e上的最大值为-3,求a的值.解析(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+).当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f(x)=-1+1x=1-xx,令f(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,

14、f(x)<0.f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上是单调递减.f(x)max=f(1)=-1.当a=-1时,函数f(x)在(0,+)上的最大值为-1.(2)f(x)=a+1x,x(0,e,则1x1e,+.若a-1e,则f(x)0,从而f(x)在(0,e上是增函数,f(x)max=f(e)=ae+10,不符合题意;若a<-1e,令f(x)>0,得a+1x>0,结合x(0,e,解得0<x<-1a,令f(x)<0,得a+1x<0,结合x(0,e,解得-1a<xe.f(x)在0,-1a上单调递增,在-1a,e上单调递减,f(x)max=f

15、-1a=1+ln-1a.令-1+ln-1a=-3,得ln-1a=-2,解得a=-e2.又-e2<-1e,a=-e2符合题意.故实数a的值为-e2.角度二实际问题中的最值问题典例5某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本价为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,日销售量q(千克)与ex成反比,且当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的每日利润y(元)与每千克蘑菇的出厂价x(元)的函数关系式;(2)若t=5,则当每千克蘑菇的出厂价x(元)为多少时,该工厂的每日利润y(元)最大

16、?并求出最大每日利润.解析(1)设日销售量q=kex(k0),由ke30=100,得k=100e30,日销售量q=100e30ex,y=100e30(x-20-t)ex(25x40且2t5).(2)当t=5时,y=100e30(x-25)ex(25x40),y=100e30(26-x)ex.由y>0,得25x<26,由y<0,得26<x40,y=100e30(x-25)ex在区间25,26)上单调递增,在区间(26,40上单调递减,当x=26时,y取得最大值,ymax=100e4.综上,当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大为100e4元.名师点评利

17、用导数解决生活中优化问题的一般步骤:(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f(x)=0处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.1.(2020安徽亳州高三月考)若函数f(x)=13x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(-3,2)B.-3,2)C.-1,2)D.(-1,2)答案C令f(x)=x2-2x=0,得x1=0,x2=2,令f(x)=x2-2x<0,解得0<x<2;令f(x)=x2-2x>0,解得x&

18、lt;0或x>2,所以,函数f(x)的增区间为(-,0)和(2,+),减区间为(0,2).可求得f(-1)=f(2)=-43,f(0)=0,作出函数f(x)的大致图象如图所示:结合图象可知,函数f(x)在区间(a,a+5)内的最小值一定是f(2)=-43,所以-1a<2,a+5>2,解得-1a<2,因此,实数a的取值范围是-1,2).2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-2+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知当销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(

19、1)求a的值;(2)若该商品的成本价为2元/千克,试确定使商场每日销售该商品所获得的利润最大的销售价格x(单位:元/千克)的值.解析(1)因为当x=4时,y=10.5,所以a2+10=10.5,解得a=1.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=1x-2+10(x-5)2,2<x<5,设商场每日销售该商品所获得的利润为f(x),则f(x)=(x-2)1x-2+10(x-5)2=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.f(x)=10(x-5)2+2(x-2)(x-5)=30(x-3)(x-5).令f(x)=0,解得x1=3,x2=5,所以当x变化时, f(x),f(

20、x)的变化情况如下表:x(2,3)3(3,5)f(x)+0-f(x)极大值41由上表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,经计算得,x=3也是函数f(x)的最大值点.所以,当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值为41.所以当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.A组基础达标1.函数f(x)=13x3-4x+4的极大值为()A.283B.6C.263D.7答案A2.函数y=xex在0,2上的最大值是()A.1eB.2e2C.0D.12e答案A3.(多选题)函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列选项中错误的是()A.x=-3是函数f(x)的

21、极值点B.函数f(x)在x=-1处取得最小值C.f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零答案BD4.(2020贵州贵阳一中高三模拟)若a,b是函数f(x)=x2-7x+4ln x的两个极值点,则f(a)+f(b)的值为()A.4ln 2-654B.654-4ln 2C.4ln 2D.654答案Af(x)=2x-7+4x=2x2-7x+4x,因为a,b是函数f(x)的两个极值点,所以a,b是f(x)=0的两根,令f(x)=0,则2x2-7x+4=0,即a+b=72,ab=2,所以f(a)+f(b)=a2-7a+4ln a+b2-7b+4ln b=(a+b)

22、2-2ab-7(a+b)+4ln(ab)=4ln 2-654,故选A.5.若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为. 答案16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为. 答案4解析f(x)=3x2+6ax+3b,由题意得3×22+6a×2+3b=0,3×12+6a×1+3b=-3a=-1,b=0.所以f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,解得x=0或x=2,易知f(x)在(-,0)和(2,+)上单调递

23、增,在(0,2)上单调递减,所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.7.(2020山东潍坊高三模拟)已知函数f(x)=ln x-mx的极小值大于0,则实数m的取值范围为. 答案-,-1e解析由f(x)=ln x-mx得f(x)=x+mx2(x>0),令f(x)=0,则x=-m,因为f(x)=ln x-mx的极小值大于0必有极小值点-m>0,所以m<0,所以当x>-m时,f(x)>0,f(x)在(-m,+)上单调递增,当0<x<-m时, f(x)<0,f(x)在(0,-m)上单调递减,所以f(x)的极小值为f(-m)=

24、ln(-m)+1>0,所以m<-1e.综上,m的取值范围为-,-1e.8.设函数f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数f(x)的图象在x=1处与直线y=-12相切.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在1e,e上的最大值.解析(1)由f(x)=aln x-bx2(x>0)得f(x)=ax-2bx,函数f(x)的图象在x=1处与直线y=-12相切,f '(1)=a-2b=0,f(1)=-b=-12,解得a=1,b=12.(2)由(1)知f(x)=ln x-12x2,则f(x)=1xx=1-x2x,当1exe时,令f(x)>0,得1ex<

25、1,令f(x)<0,得1<xe,f(x)在1e,1上单调递增,在(1,e上单调递减,f(x)的极大值,也是最大值为f(1)=-12.9.(2019山西长治期末)已知函数f(x)=ln x-ax.(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为32,求实数a的值.解析(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+),且f(x)=x+ax2,因为a>0,所以f(x)>0,故f(x)在(0,+)上单调递增.(2)由(1)得f(x)=x+ax2,若a1,则x+a0,即f '(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上单调递增,所

26、以f(x)min=f(1)=a=32,所以a=32(舍去).若ae,则x+a0,即f '(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上单调递减,所以f(x)min=f(e)=1ae=32,所以a=e2(舍去).若e<a<1,令f '(x)=0,得x=a,当1x<a时, f '(x)<0,所以f(x)在1,a)上单调递减,当a<xe时, f '(x)>0,所以f(x)在(a,e上单调递增,所以f(x)min=f(a)=ln(a)+1=32,所以a=-e.综上,a=-e.B组能力拔高10.(多选题)(2020山东济南一中高三模拟

27、)对于函数f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,下列说法正确的是()A.x=3是函数f(x)的一个极值点B.f(x)的单调增区间是(-1,1),(2,+)C.f(x)在区间(1,2)上单调递减D.直线y=16ln 3-16与函数f(x)的图象有3个交点答案ACD由题意得f(x)=161+x+2x10=2x2-8x+61+x,x>-1,令2x2-8x+6=0,得x=1或x=3,则f(x)在(-1,1),(3,+)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以x=3是函数f(x)的一个极值点,故A,C正确,B错误.f(1)=16ln(1+1)+12-10=16ln 2-9, f(3)=16l

28、n(1+3)+32-10×3=16ln 4-21,且y=16ln 3-16=f(2),根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3),所以16ln 3-16<16ln 2-9,16ln 3-16>16ln 4-21,又x-1时,f(x)-,x+时,f(x)+,所以直线y=16ln 3-16与函数f(x)的图象有3个交点,故D正确.11.(多选题)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为-2,2),则()A.f(x)为奇函数B.f(x)在0,)上单调递增C.f(x)恰有4个极大值点D.f(x)有且仅有4个极值点答案BD因为f(x

29、)的定义域为-2,2),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数,故A错误.f(x)=x+sin x-xcos x,f(x)=1+cos x-(cos x-xsin x)=1+xsin x,当x0,)时, f(x)>0,则f(x)在0,)上单调递增,故B正确.显然f(0)0,令f(x)=0,得sin x=-1x,在同一平面直角坐标系中分别作出y=sin x,y=-1x的图象,如图所示,由图可知,这两个函数的图象在区间-2,2)上有4个交点,且两个图象在这些交点处都不相切,故f(x)在区间-2,2)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点.故C错误,D正确.12.(2020安徽屯溪一中高三期中)某家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件该种产品需要再投入2万元.设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为(4-x)万元,且每销售一万件国家给予补助2e-2elnxx-1x万元.(e为自然对数的底数)(1)写出月利润f(x)(万元)关于月生产量x(万件)的函数解析式;(2)当月生产量在1,2e万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大值和此时的月生产量.(注:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本)解析(1)由月利润=月销售收入+月国家补助