整理---几何概型-----第三节

1、两人相约于两人相约于 傍晚傍晚7 7 时到时到 8 8 时在公园见面，先到者时在公园见面，先到者等候等候 20 20 分钟就可离去。分钟就可离去。两人能够约会成功吗？两人能够约会成功吗？月上柳梢头，人约黄昏后月上柳梢头，人约黄昏后。解解. .以以 7 7 点为坐标原点，点为坐标原点，小时为单位。小时为单位。x x，y y 分别表示分别表示两人到达的时间，两人到达的时间，( ( x x，y y ) )构成边长为构成边长为 6060的正方形的正方形S S。2.(2.(约会问题约会问题) ) 两人相约于傍晚两人相约于傍晚 7 7 时到时到 8 8 时在公园时在公园见面，先到者等候见面，先到者等候 2

2、0 20 分钟就可离去，设二人在这段分钟就可离去，设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求两人能够见面的概率。求两人能够见面的概率。 6060 o x yS2020他们能见面应满足他们能见面应满足 | x y | 20 ，因此，因此， A x y = 20 x y = 20 p = = 1 = 5/9 。 A 的面积的面积 S 的面积的面积49题组四：与面积有关的几何概型题组四：与面积有关的几何概型（重点）（重点）4 4甲、乙两人约定上午甲、乙两人约定上午700700至至800800之间到某站乘之间到某站乘公共汽车，在这段时间内

3、有公共汽车，在这段时间内有3 3班公共汽车，它们开车班公共汽车，它们开车时刻分别为时刻分别为720720，740740，800800，如果他们约定，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率 由几何概型公式得，由几何概型公式得， P=P= 即甲、乙同乘一车的概率为即甲、乙同乘一车的概率为送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家你父亲离开家去工作的时间在你父亲离开家去工作的时间在早上早上7:008:00之间之间问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)的概率是多少的概率是多少?【变

4、式题】假设你家订了一份报纸【变式题】假设你家订了一份报纸 6:307:30 6:307:30之间之间 报纸送到你家报纸送到你家 7:008:007:008:00之间之间 父亲离开家父亲离开家问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸( (称为事件称为事件A)A)的概率的概率是多少是多少? ?提示：提示： 如果用如果用X表示报纸送到时间表示报纸送到时间 用用Y表示父亲离家时间表示父亲离家时间那么那么X与与Y之间要满足哪些关系呢？之间要满足哪些关系呢？解解: : 以横坐标以横坐标X表示报纸送到时间表示报纸送到时间,以纵坐标以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系表示父亲离家时间建

5、立平面直角坐标系,22230602( )87.5%.60P A甲乙两船都要在某个泊位停靠甲乙两船都要在某个泊位停靠6小时，假定他小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘中至少有一艘在停泊时必须等待的概率。中至少有一艘在停泊时必须等待的概率。 解：设甲到达的时间为x，乙为y，则24,0yx60yx则1672418122概率为：2、区域是平面图形的几何概型问题、区域是平面图形的几何概型问题一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在 8 小时内随机到达。顾客甲需要小时内随机到达。顾客甲需要 1 小时

6、服务时间，顾小时服务时间，顾客乙需要客乙需要 2 小时。计算有人需要等待的概率。小时。计算有人需要等待的概率。提示：设甲在提示：设甲在 x 、乙在、乙在 y 到达，需要等待的情况：到达，需要等待的情况： x y x + 1 或者或者 y x y + 2 “抛阶砖抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一是国外游乐场的典型游戏之一. .参与者参与者只须将手上的只须将手上的“金币金币”（设（设“金币金币”的直径为的直径为 r）抛）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币金币”若若恰好落在任何一个阶砖（边长为恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围的正方形）的范

7、围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖. .例例2. . 抛阶砖游戏抛阶砖游戏. .问：参加者获奖的概率有多大？问：参加者获奖的概率有多大？ 设阶砖每边长度为设阶砖每边长度为a , ,“金币金币”直径为直径为r .若若“金币金币”成功地落成功地落在阶砖上，其圆心必在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域位于右图的绿色区域A内内. .问题化为问题化为: :向平面区域向平面区域S （面积为（面积为a2）随机投）随机投点（点（ “金币金币” 中心），求该点落在区域中心），求该点落在区域A内内的概率的概率.a aAS于是成功抛中阶砖的概率于是成功抛中阶砖的概率由此可见，

8、当由此可见，当r接近接近a, p接近于接近于0; 而当而当r接近接近0， p接近于接近于1. 的面积的面积SAp 22)(ara 0ra, 你还愿意玩这个游戏吗？你还愿意玩这个游戏吗？a aA3.(3.(课本课本142142页）甲乙两艘船都要在某页）甲乙两艘船都要在某个泊位停靠个泊位停靠6 6小时，假定它们在一昼夜小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘船在停靠泊位时必须等待中至少有一艘船在停靠泊位时必须等待的概率。的概率。 题组四：与面积有关的几何概型题组四：与面积有关的几何概型（重点）（重点）设设“甲在甲在x x时到达时到达,

9、,乙在乙在y y时到达时到达”对应于点对应于点(x,y),(x,y),则则24x0,24y0. 24x0,24y0. 两船能碰头两船能碰头的条件是的条件是6|x-y|. 6|x-y|. 在平面上建立直角坐标在平面上建立直角坐标系系, ,则则(x,y)(x,y)的所有可能结果是边长为的所有可能结果是边长为2424的正的正方形方形. . 所以这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等所以这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为待的概率为7/167/16. 2、区域是平面图形的几何概型问题、区域是平面图形的几何概型问题 从（从（0，1）中随机地取两个数，求）中随机地取两个数，求:（1） 两数之和

10、小于两数之和小于1.2的概率的概率; (2)两数平方和小于两数平方和小于1/4的概率的概率.172516例例4. .在一个圆上任取三点在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐角三求能构成锐角三角形的概率角形的概率.ABC解：在一个圆上任取三点解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的三角形内，构成的三角形内角分别为角分别为A、 B、 C.它们构成本试验的样本空间它们构成本试验的样本空间 S.设设Ax， By，则则 .0,0 xyx 构成锐角三角形的构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是：应满足的条件是： 2,20,20 yxyx S2 2 xyO由几何概率计算得所求概率为由几何概率计算得所求概率为41 .0,0 xyx 2,20,20 yxyx练一练练一练2. . 在一张方格纸上随机投一个直径在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币，问方的硬币，问方格多小才能使硬币与线相交的概率大于格多小才能使硬币与线相交的概率大于 0.99 ？3. .Bertrand 问题：已知半径为问题：已知半径为 1 的圆的内接等边的圆的内接等边三角形边长是三角形边长是 ，在圆内随机取一条弦，求弦长，在圆内随机取一条弦，求弦长超过超过 的概率的概率. .331.在线段在线段 AD 上任意取两个点上任意取两个点 B、C，在，在 B、C 处折断处折断此线段此线段 而得三