第3章刚体的定轴转动

1、刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。这刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。这种运动称为刚体的种运动称为刚体的转动转动。这条直线称为。这条直线称为转轴转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。 1. 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的半径不一定相等。运动的半径不一定相等。2.2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴各质点圆周运动的平面垂直于转

2、轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为转动平面。线上，这个平面我们称为转动平面。 3. 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。1.1.角位移角位移-描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。t t时刻时刻，质点在质点在P P点，点，角度的增量为：角度的增量为：称为刚体的称为刚体的角位移角位移t t+t t时刻，质点到时刻，质点到 ，pRp P单位：弧度，单位：弧度，rad大小大小: :矢量矢量方向：方向：表示了刚体在表示了刚体在t时间内角位置变化的多少。时间内角位置变化的多少。逆时针转动为正值，逆时针转动为正值， 瞬时针转动为负

3、值。瞬时针转动为负值。角度为角度为 ，角度为角度为 。xO但对于刚体定轴转动角速度的方向只但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。不必用矢量表示。方向：方向：（2）( (瞬时）角速度瞬时）角速度tt 0lim 角速度为角坐标对时间的一次导数。角速度为角坐标对时间的一次导数。dtd 角速度角速度矢量矢量满足右手定则，沿刚体转动方向满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。右旋大拇指指向。大小：大小：dtd 单位：弧度单位：弧度/ /秒，秒，rad/s, 转转/

4、 /分，分，r/minrad/s602r/min 1描写角速度变化快慢和方向的物理量。描写角速度变化快慢和方向的物理量。3.3.角加速度角加速度0limtt dtd 22dtd 角加速度为角速度对时间角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，的一次导数，或为角坐标对时间或为角坐标对时间 t 的二次导数。的二次导数。 单位：单位： 弧度弧度/ /秒秒2，rad/s2, 矢量矢量大小：大小：22dtd 0 0 方向：角速度变化的方向。方向：角速度变化的方向。转动转动平动平动位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度 tdd ddt22ddt dtrdv rt dvda 22

5、t drd rv 2nra ra 常常数数 0常数0t22022012ttt 0atvv02021attvsasvv2202常数a力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 表示表示MMF dzPMFrd在转动平面内在转动平面内F一一 力矩力矩FsinFrFrM sinFrF r 由由右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。 方向垂至于方向垂至于 和和 所所构成平面。构成平面。MrF力矩的矢量表示力矩的矢量表示力矩大小力矩大小：力矩方向：力矩方向：sinMrFoo0 ,180FrM 0 M合力矩合力矩 iMM方向以正负值代入。方向以正负值代入。0 F二、转动定律二

6、、转动定律iirF 从牛顿第二定律出发从牛顿第二定律出发 iiiamF nFFF、21iiidFM zMFrd在转动平面内在转动平面内FF iira 又有又有则则 iiiamF iirm iiirFM iiirrm 2iirm 刚体的总力矩为刚体的总力矩为 iMM总总 2iirm ）（ 2iirm JMJ 2iirm令令则有则有相当于平动的牛顿第二定律相当于平动的牛顿第二定律amF MJ即转动惯量和质量的地位和作用是一样的即转动惯量和质量的地位和作用是一样的三三 转动惯量转动惯量2iirmJ刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与其到刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与其到转轴距离平方的乘积之

7、和。转轴距离平方的乘积之和。度量刚体转动时转动惯性大小的物理量度量刚体转动时转动惯性大小的物理量标量标量 2iirmJ2mrJ mr d2 niiinrmJ12limdldmdsdm dVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。质量均匀分布且形状以规则对称的，可利用上面的质量均匀分布且形状以规则对称的，可利用上面的公式计算转动惯量，对于形状复杂的刚体通常通过公式计算转动惯量，对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。实验测得其转动惯量。 mdrJ2求解求解 的方法的

8、方法dm为质量元，简称质元。为质量元，简称质元。代入公式中求解代入公式中求解例例1：在无质轻杆的：在无质轻杆的 b 处处 和和3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的质点，可绕的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量轴转动，求：质点系的转动惯量J。解：解： 由转动惯量的定义由转动惯量的定义221iiirmJ22)3(2bmmb211mb例例2 求长度为求长度为L，质量为，质量为m的均匀细棒的均匀细棒AB的转动惯量。的转动惯量。（1）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 （2 2）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。xoABdm

9、xdx2L2LC（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：lm（2）对于通过棒的一端的轴对于通过棒的一端的轴解：解：2/2/2LLcdmxJ2121mL3121L2/2/2LLdxxlAdmxJ02231mLLdxx02331LxoABdmxdxL平行轴定理平行轴定理上例中上例中JC表示相对通过质心的轴的表示相对通过质心的轴的转动惯量，转动惯量，JA表示相对通过棒端的表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。2222CAmL31mL41mL1212LmJJ 推广上述结论，可得平行轴定理。推广上述结论，可得平行轴定理。定

10、理表述：刚体绕平行于质心轴定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量的转动惯量 J，等于绕质心轴的，等于绕质心轴的转动惯量转动惯量 JC 加上刚体质量与两加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。轴间的距离平方的乘积。JdmCJdC2mdJJC刚体绕质心轴的转动惯量最小。刚体绕质心轴的转动惯量最小。2)2(LmJJCA一个确定的刚体有确定的转动惯量一个确定的刚体有确定的转动惯量错错转动惯量是可以加减的转动惯量是可以加减的不同的转轴所对应的转动惯量不可以加减，不同的转轴所对应的转动惯量不可以加减，只有同一转轴的转动惯量才可以加减。只有同一转轴的转动惯量才可以加减。2iirmJ例例3：如图所示刚体对经过棒

11、端且与棒垂直的轴：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？(棒长为棒长为L、圆半径为、圆半径为R）211LLm31J 2 2o oc cR Rm m2 21 1J J 2 20 0C CL L2 2d dm mJ JJ J2o2o2LR)(LmRm21Lm31 解：解：棒的转动惯量棒的转动惯量为为P以以P点为转轴轴心点为转轴轴心RLd 2o2oR)(LmRm21 L L2 2J J2L1LJJJ 圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为整个系统的转动惯量整个系统的转动惯量0 iF0 iM11TT 22TT 1a2a2321rmJ 21aa r3mgm3Ngm22T2

12、T 1T1T gm11a2a r3mgm3Ngm22T2T 1T1T gm1 JrTrT 21 raa 211111amTgm 2222amgmT 321212121)(mmmgmmaa 3213121121212mmmgmmgmmT 3213221221212mmmgmmgmmT :03 m2121212mmgmmTT cos2LmgM 231mLJ cosLg23 NmgdM d有有 JM 杆的力矩杆的力矩 Ldcos2 从图中可以看出从图中可以看出 t dddd dcosLgd23 00cos23dLgd dd mgLLg sin3 t dd cosLg23 把把 乘过去则有乘过去则有

13、d当棒从水平位置向竖直方向转动时，当棒从水平位置向竖直方向转动时， 如何变化？如何变化？ 、 角加速度角加速度 越变越小越变越小角速度角速度 越变越大越变越大 cos23Lg转动转动平动平动位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度 tdd ddt22ddt dtrdv rt dvda 22t drd rv 2nra ra 牛二牛二amF 牛二牛二MJFrM MF dsinFr2iirmJ力矩力矩转动惯量转动惯量 bardFA222121abmvmv 21tttdF12vmvm 12pp 。OF:dt cosdsF dsinFr rdrFAd ddrs dcos Fr

14、 dM sincos Frd d cosdrF r dMA :21 21dd MAA)(12 MA（2）力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表）力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表 达方式。达方式。 2k21iiimEv :im 2221 iirm 221k21 iinirmE 212)(21 niiirm221 J ivim 质点动能质点动能: :221mvEk刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为： dJ dMA dddtJ dJ :21 21222121 JJ 21d J 21d MA21222121d21 JJM dddtJ 合力矩对刚体所做的功为合力矩对刚体所做的功为从从t1到到t2时刻时刻)()(1k1k2