材料力学-弯曲内力课件

1、第4章 弯曲内力与应力材料力学1一、弯曲实例一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁：4.1 4.1 基本概念基本概念FF2火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF3楼房横梁楼房横梁阳台挑梁：阳台挑梁：4弯曲的概念：弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面的曲线曲线。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆- - 梁梁。平面弯曲的概念：平面弯曲的概念：qPMARBN5受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在

2、梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）弯曲中心）。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q平面弯曲平面弯曲6静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力1 1、悬臂梁：、悬臂梁：2 2、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁：集中力集中力Fq均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）7一、弯曲内力的确定（截面法）：一、弯曲内力的确定（截面法）：例例已知：如图，

3、已知：如图，F，a，l。 求：距求：距A端端 x 处截面上内力。处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）0 , 0AXFXFAX =0 以后可省略不求以后可省略不求0 , 0FalFmBYA0F , 0BYAYFFYlalFlFaFAYBY)(F ,4.2 4.2 梁的内力及内力图梁的内力及内力图8ABFFAYFAXFBYmmx求内力求内力FsFsMMFsFs 弯曲构件内力：弯曲构件内力：剪力，剪力，弯矩。弯矩。FAYACFBYFClalFFFAY)( s , 0Y. 0sAYFFxlalFxFMAY)( , 0Cm. 0 xFMAY研究对象

4、：研究对象：m - m 截面截开后的左半段截面截开后的左半段若研究对象取为右半段：若研究对象取为右半段： , 0Y. 0BYsFFF , 0Cm. 0)()(MxaFxlFBY,)(lalFFsxlalFM)( sFM9ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。（弯矩）。AFAYCFBYFC2. 剪力：剪力： Fs 构件受弯时，横截面上存在构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。平行于截面的内力（剪力）。10弯曲内力的正负号规定弯曲内力的正负号规定: : 剪力剪力F

5、s : : 弯矩弯矩MM：Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()M(+)M(+)M()M()111.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122 例例 ：梁：梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。解解：（：（1）确定支座反力）确定支座反力RARB032 . 18 . 0, 0BARRY)(9 . 2),(5 . 1kNRkNRBA8 . 01AsRF(2) 1-1(2) 1-1截面左段右侧截面截面左段右侧截面：065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0ABRM5 . 08 . 021ARM8 . 05 . 1)(7 . 0kN5 . 08 . 0

6、25 . 1)(6 . 2mkN 2-22-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面：9 . 25 . 12 . 12sF)( 1 . 1kN75. 05 . 12 . 15 . 12BRM75. 05 . 12 . 15 . 19 . 2)(0 . 3mkNRA1sF1M8 . 02sF2MBRq12剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 注意注意： 不能用一个函数表不能用一个函数表达的要分段，分段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。力的起点、终点。)(SSxFF 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程 反映梁的横截

7、面上的剪力反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数和弯矩随截面位置变化的函数 显示剪力和弯矩随截面位移显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为的变化规律的图形则分别称为剪剪力图力图和和弯矩图弯矩图。LqAB,)(qxxFs,21)(2qxxM)0(lx )0(lx xsFx( (- -) )ql25 . 0 qlMx13F(x)xFFFxFAYs)(解解：求支反力求支反力)( )(LxFMxFxMAAY写出内力方程写出内力方程FL MFFAAY ; 根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。FAB)0(lx )0(lx F

8、AYMALxxM(x)FL注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正的弯矩值绘在绘在x x轴的下方轴的下方( (即弯矩值绘即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧) )。14例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAq15ql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,S

9、qlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2SBlAq* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值。16例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BFBFAxlAF abC17AC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF a

10、bC183 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abC19FS FblxFblMxFabl为为极极大大值值。时时，42/maxFlMlba* 在 集中力F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAF abC20例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。试作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe0AM0elFMAMe FA FBBlACab212

11、2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lxlMFxFA0eS弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab223 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时lbMMemax lMxFeS发生在发生在C截面右侧截面右侧FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 023解：解：1 1、支反

12、力、支反力2 2、写出内力方程、写出内力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 画出梁的内力图。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY243、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21

13、 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)25第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials 荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系qABlqxqlxFS2)(222)(xqxqlxM荷载集度qxq)(剪力方程弯矩方程)()2()(xqqqxqlxFS)(2)22()(2xFqxqlxqxqlxMS)()22()(2xqqxqxqlxM 特例？普遍规律？26第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials 用

14、两个截面u-u和v-v从梁中取出长度为dx的微单元，研究其平衡。情况1：微单元上仅作用分布荷载时0Y)()()()(xdFxFdxxqxFSSS显然可得：)()(xqdxxdFS 27第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials )()(2)()()(xdMxMdxdxxqdxxFsxM)()(xFsdxxdM)()(22xqdxxMd对v-v截面的形心C求mC=0，可得略去含高阶微量的有关项，可得对上式求导，又可得到以上三式就是梁上荷载集度与剪力、弯矩间的微分关系。)()(xqdxxdFS28第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials 情况2

15、：微单元上仅作用集中力时FFsFsLRLRMM 梁的剪力在集中力作用点处发生突变，突变值等于集中力F，弯矩值不变化；情况3：微单元上仅作用集中力偶时LRFsFs eLRMMM 梁的弯矩在集中力偶作用点处发生突变，突变值等于集中力偶矩Me，剪力值不变化。29第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials 微分关系1. 任意截面B（x=b）处的剪力可表达为其左侧某截面A（x=a）处的剪力与A、B两截面之间的荷载图面积之和。积分关系)()(xFsdxxdM)()(22xqdxxMd)()(xqdxxdFsbaSSdxxqaFbF)()()(在区间a,b上做积分， 可得baSSd

16、xxqaFbF)()()(即：同理可得：baSdxxFaMbM)()()(2. 任意截面B（x=b）处的弯矩可表达为其左侧某截面A（x=a）处的弯矩与A、B两截面之间的剪力图面积之和。30第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials 微分关系的应用作梁的内力图的简易法简易法的理论依据)()(xFsdxxdM)()(22xqdxxMd)()(xqdxxdFFFFSLSReLRMMMbaSSdxxqaFbF)()()(baSdxxFaMbM)()()(简易法的作图步骤及基本技巧（1）首先求解梁的支反力，在所有外力完全确定之后再作内力图。作图时先根据受力图做剪力图，然后再根据

17、剪力图做弯矩图。31第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials 简易法的作图步骤及基本技巧（2）根据题图的载荷变化、支承点等特征位置绘若干纵向参考线以便上下对齐作图，再绘出剪力图、弯矩图的轴线基准线。绘图时从基准线左端的零点开始，绘图完毕后，恰好回到右端的零点处，即内力图应该为闭合图形。（3）从左到右绘剪力图时，无荷载作用区段的剪力图是和基准线平行的水平直线；有均布荷载作用区段，剪力图是斜直线，倾斜方向就是荷载的方向，剪力的坐标变化就是该区段均布荷载图的面积（即合力值）；集中力作用处，剪力图发生突变，突变值是集中力的值，突变方向为集中力的方向；集中力偶矩作用处，剪力图

18、不受影响。32第四章 梁的内力与应力 Mechanics of Materials （4）从左到右绘弯矩图时，无荷载作用区段的弯矩图一般是斜直线，倾斜方向和剪力的正负有关：剪力为正时弯矩图向下倾斜，剪力为负时弯矩图向上倾斜；均布荷载作用区段，弯矩图是抛物线，均布荷载向上时弯矩图下凸，均布荷载向下时弯矩图上凸；集中力作用截面，弯矩图发生转折，转折方向和集中力方向相反； 梁中任意一个截面的弯矩坐标等于其左侧某截面的弯矩值与这两截面间的剪力图面积之和； 在集中力偶矩作用截面，弯矩图发生突变，力偶矩为顺时针时产生由上向下的突变，逆时针时产生由下向上的突变。 弯矩的极值对应于剪力图的零点，或正负突变处，

19、剪力图左正右负时，弯矩取得其极大值，剪力图左负右正时，弯矩取得其极小值。3334荷载、剪力、弯矩图关系：荷载、剪力、弯矩图关系：零零 平平 斜斜 抛抛外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ 0M 0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 0M 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力92BAl =

20、l = 3 3mmq=q=60kN/m60kN/mxC1 1mm30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径 FSx90kN90kN90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2. C2. C 截面上截面上K K点正应力点正应

21、力例例93BAl = l = 3 3mmq=q=60kN/m60kN/mxC1 1mm30zy180120K FSx90kN90kN90kN90kN3. C 3. C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql M94BAl = l = 3 3mmq=60kN/mq=60kN/mxC1 1mm30zy180120K FSx90kN90kN90kN90kN4. 4. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67m

22、axM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql M95BAl = l = 3 3mmq=60kN/mq=60kN/mxC1 1mm30zy180120K FSx90kN90kN90kN90kN5. C 5. C 截面曲率半径截面曲率半径C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql M96例：例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,/6,1mkNqml1

23、010槽钢槽钢q解：解：1 1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2 2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423 3）求应力）求应力：1maxyIMzt6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzc6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM97四、梁的正应力强度条件四、梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max zWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截

24、面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxtcmaxcOzyytmaxycmaxttmaxmaxtmaxzIyMccmaxmaxcmaxzIyMctcmaxtmaxyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为98弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 max zWMmaxmax 1 1、强度校核 2、设计截面尺寸 3、确定外荷载 max； max MWz ; max zWM tmaxmaxmax zttIyMcmaxmaxmax zccIyM99例例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知

25、,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601dFaFb（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：B B截面截面：MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBBMPa4 .46Pa104 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面截面：（5 5）结论）结论: :轮轴安全轮轴安全100解：1)求约束反力求约束反力.5 .10,5 . 2k

26、NFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例、例、T T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t t=30 M Pa=30 M Pa， c c=60 M Pa.=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C C点，点，y y1 1=52mm=52mm， y y2 2=88mm=88mm，I z =763cmI z =763cm4 4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图AyFByFxkNF91kNF423 3）求

27、应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）101zCCtIyM2maxC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxMPa04.174 ) 4 ) 强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.2MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtMPaIyMzBBc2 .4610

28、76310884462max最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上10217.04MPaA1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.2MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM10317.04MPazybh4.7 梁的切应力及其强度计算梁的切应力及其强度计算一、一、 矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力1 1、假设：、假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相

29、同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。点切应力大小相等）。2 2、公式推导、公式推导xd x图图ayQ1040)(11dxbNNXzzAzAIMSydAIMdANzzISdMMN)(1zzszzbISFbISdxdM1A Zyy由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知bISFzzssFMhdMM ssdFF dx注意：注意：Fs为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截为整个横截面对面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b为所求点对应位置为所求点对应位置截面的宽度；截面的宽度； 为所求点对应位置以外为所求点对应位置以

30、外的面积对的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。*zS1055 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩3 3、矩形截面剪应力的分布：、矩形截面剪应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz bISFzzs zyhbBsF)2(*yhbA*cymaxsF11 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力 max在中性轴处在中性轴处( y=0 )；(3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。106二、非矩形截面梁二、非矩形截面梁圆截面梁圆截面梁切应力的分布特征：切应力的分布特征： 边缘各点

31、切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切切应力分布与应力分布与 y 轴对称；与轴对称；与 y轴相交各点处轴相交各点处的切应力其方向与的切应力其方向与y轴一致。轴一致。)(*SybISFzzy关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ；2 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿宽度相沿宽度相等。等。zyOmaxkkOd107最大切应力最大切应力 max 在中性轴处在中性轴处dISFzz*SmaxAFdF34434S2Sddd

32、dF643242142SzyOmaxkkOdyzOC2d /31081 1、工字形薄壁梁、工字形薄壁梁zzISFy*S)(假设假设 : : / 腹板侧边，腹板侧边，并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布)4()(8)(22220SyhhhbIFyz (0)max )2(minh 腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。下侧部分截面对中性轴 z 的静矩*zS三、薄壁截面梁三、薄壁截面梁1092 2、盒形薄壁梁、盒形薄壁梁)4(2)(612)()(22220SSyhhhbIFISFyzzz 1103 3、薄壁环形截面梁、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征

33、：征：(1) (1) d h 时，时， max max四、梁的切应力强度条件四、梁的切应力强度条件 一般一般 maxmax发生在发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，所在截面的中性轴处。不计挤压，则则 maxmax所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 max bISFzz*maxmaxS材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有对等直梁，有E maxF maxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2118弯曲切应力的强度条件弯曲切应力的强度条件 bISQzzmaxmaxmax1 1、校核强度、校核强度2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3 3、确定外荷载。、确定外荷载。 需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力相应比值时，要校核剪应力(1)梁的跨度较短，梁的跨度较短，MM 较