2019年北京市东城区中考数学一模试卷

1、2019年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1（2分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）ABCD2（2分）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A16104B1.6107C16108D1.61083（2分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）AabB|a|b|Cab0Dab4（2分）如图，将一张矩形纸片折叠，若180，则2的度数是（）A50B60C70D805（2分）若一个多边形的每个内角均为120，则该多边形是（）

2、A四边形B五边形C六边形D七边形6（2分）如果a2+3a20，那么代数式（）的值为（）A1BCD7（2分）弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920重物重量x（kg）0.51.01.52.02.5当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）A22.5B25C27.5D308（2分）改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民

3、人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中错误的是（）A2017年第二季度环比有所提高B2017年第三季度环比有所提高C2018年第一季度同比有所提高D2018年第四季度同比有所提高二、填空题（每小题2分，共16分）9（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 10（2分）有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有16这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数

4、的概率为 11（2分）能说明命题“若ab，则acbc”是假命题的一个c值是 12（2分）如图，AD为ABC的外接圆O的直径，若BAD50，则ACB 13（2分）九章算术中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）14（2分）如图，在ABCD中，点E在DA的延长线上，且AEAD，连接CE交BD于点F，则的值是 15（2分）为方便市民出行，2019年北京

5、地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元16（2分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上（1）SBDC：SBAC ；（2）点P为BD的中点，过点P作直线lBC，过点B作BMl于点M，过点C作CNl于点N，则矩形BCNM的面积为 三、解答题（共68分）17（5分）下面是小明设计的“

6、过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P求作：直线PE，使得PEBC作法：如图2在直线BC上取一点A，连接PA；作PAC的平分线AD；以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；作直线PE所以直线PE就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PAD ，PEA ，PEBC（ ）（填推理依据）18（5分）计算：2sin60+|2|2019019（5分）解不等式组：20（5分）若关于x的一元二次方程x23x+a20有实数根（1）求a的取值

7、范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解21（5分）如图，在ABC中，CD平分ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若ACB30，B45，ED6，求BG的长22（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx（k0）与双曲线y（x0）交于点A（2，n）（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标23（6分）如图，AB与O相切于点A，P为OB上一点，且BPBA，连接AP并延长交O于点C，连接OC（1）求证：OCOB；（2）若O的半径为4，AB3，求

8、AP的长24（6分）某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10x20，20x30，30x40，40x50，50x60，60x70）：c采用公共交通方式单程所花费时间在30x40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为

9、 分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有 人，其中单程不少于60分钟的有 人25（6分）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm00.781.762.853.984.954.47y2/cm44.695.265.9

10、65.944.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BE，则BE的长约为 cm当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为 cm26（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx26mx+9m+1（m0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB4，求m的值（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围27（

11、7分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值28（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”（1）已知点A的坐标为（3，1）在点E（0，3）、F（3，3）、G（2，5）

12、中，点A的“等距点”是 ；若点B在直线yx+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；（2）直线l：ykx3（k0）与x轴交于点C，与y轴交于点D若T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；当k1时，半径为r的O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围2019年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1（2分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）ABCD【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆

13、柱的柱视图是矩形，故 B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确；故选：D【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键2（2分）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A16104B1.6107C16108D1.6108【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对

14、值1时，n是负数【解答】解：将16 000 000用科学记数法表示应为1.6107，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（2分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）AabB|a|b|Cab0Dab【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题【解答】解：由数轴可得，2a10b1，ab，故选项A错误，|a|b|，故选项B错误，ab0，故选项C错误，ab，故选项D正确，故选：D【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本

15、题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答4（2分）如图，将一张矩形纸片折叠，若180，则2的度数是（）A50B60C70D80【分析】利用平行线的性质解决问题即可【解答】解：ab，1380，由翻折不变性可知：24（18080）50，故选：A【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5（2分）若一个多边形的每个内角均为120，则该多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形【分析】首先可求得每个外角为60，然后根据外角和为360即可求得多边形的边数【解答】解：18012060，360606故选：C【点评】本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的

16、一个内角与它相邻的一个外角互补，边数一个外角360是解题的关键6（2分）如果a2+3a20，那么代数式（）的值为（）A1BCD【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值【解答】解：原式，由a2+3a20，得到a2+3a2，则原式，故选：B【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（2分）弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920重物重量x（kg）0.51.01.52.02.5当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm

17、）是（）A22.5B25C27.5D30【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x5时，代入函数解析式求值即可【解答】解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为Lkx+b，将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，解得：，L与x之间的函数关系式为：L2x+15；当x5时，L25+1525（cm）故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，故选：B【点评】此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到x千克重物在原来基础上增加的长度8（2分）改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱

18、乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中错误的是（）A2017年第二季度环比有所提高B2017年第三季度环比有所提高C2018年第一季度同比有所提高D2018年第四季度同比有所提高【分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个

19、选项即可；【解答】解：2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正确；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所提高，故D正确；故选：C【点评】本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键二、填空题（每小题2分，共16分）9（2分）若在实数范围内有意义，

20、则x的取值范围为 x2【分析】根据二次根式有意义的条件可得x20，再解即可【解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数10（2分）有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有16这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为【分析】由质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，

21、则向上一面的数字是偶数的有3种情况，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为：故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比11（2分）能说明命题“若ab，则acbc”是假命题的一个c值是 0（答案不唯一）【分析】举出一个能使得acbc或acbc的一个c的值即可【解答】解：若ab，当c0时acbc0，故答案为：0（答案不唯一）【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可12（2分）如图，AD为ABC的外接圆O的直径，若BAD50，则ACB40【分析】连接BD，如图，根据圆周

22、角定理得到ABD90，则利用互余计算出D40，然后再利用圆周角定理得到ACB的度数【解答】解：连接BD，如图，AD为ABC的外接圆O的直径，ABD90，D90BAD905040，ACBD40故答案为40【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半13（2分）九章算术中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（斛：古量

23、器名，容量单位）【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意得：，故答案为：【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键14（2分）如图，在ABCD中，点E在DA的延长线上，且AEAD，连接CE交BD于点F，则的值是【分析】由EDFCBF，可得，由此即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBCADBC，设AD3a，则AEa，DEBC，ED

24、FCBF，故答案为【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15（2分）为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为80元【分析】分5种方案计算费用比较即可【解答】解：连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案方案：买一

25、日票6张，费用206120（元）方案：买二日票3张：30390（元）方案：买三日票2张：40280（元）方案：买一日票1张，五日票1张：20+7090（元）方案：买七日票1张：90元故方案费用最低：40280（元）故答案为80【点评】本题考查了根据实际问题求最小值，分情况列出可能性是解题的关键16（2分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上（1）SBDC：SBAC5：1；（2）点P为BD的中点，过点P作直线lBC，过点B作BMl于点M，过点C作CNl于点N，则矩形BCNM的面积为【分析】（1）由题意得：AC1，AD6，CD5，由三角形面积公式得出SABD：SBAC

26、6：1，得出SBDC：SBAC5：1即可；（2）证出CEDECD，由勾股定理求出BC，证明CNEBAC，得出，解得：CN，由矩形面积公式即可得出矩形BCNM的面积【解答】解：（1）由题意得：AC1，AD6，CD5，SABD：SBAC6：1，SBDC：SBAC5：1；故答案为：5：1；（2）如图所示：点P为BD的中点，直线lBC，PE是BCD的中位线，CEDECD，四边形BCNM是矩形，BCNCNE90，ACB+ECN90，BAC90，ACB+ABC90，BC，ECNABC，CNEBAC，即，解得：CN，矩形BCNM的面积BCCN；方法二：如图所示：四边形BCNM是矩形，CNBM，CEBF，CE

27、NBFM，在CEN和BFM中，CENBFM（AAS），CEN的面积BFM的面积，CEBF，lBC，四边形CEFB是平行四边形，矩形BCNM面积平行四边形CEFBCEAB3；故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键三、解答题（共68分）17（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P求作：直线PE，使得PEBC作法：如图2在直线BC上取一点A，连接PA；作PAC的平分线AD；以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；作直

28、线PE所以直线PE就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PADPEA，PEACAD，PEBC（内错角相等两直线平行）（填推理依据）【分析】（1）根据要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得【解答】解：（1）如图所示：直线PE即为所求（2）证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PADPEA，PEACAD，PEBC（内错角相等两直线平行）故答案为：PEA，CAD，内错角相等两直线平行【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角

29、形的性质和平行线的判定及角平分线的定义18（5分）计算：2sin60+|2|20190【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：2sin60+|2|2019022+212+21+1【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算19（5分）解不等式组：【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可【解答】解：由得x2；由得x1；故不等式组的解集为1x2【点评】本题考

30、查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20（5分）若关于x的一元二次方程x23x+a20有实数根（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解【分析】（1）由方程有实数根，根据根的判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；（2）由（1）中所求a的取值范围可求得a的最大整数值，代入方程求解即可【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x23x+a20有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得a；（2）由（1）可知a，a的最大整数值为4，此时方程为x23x+20，解得x1或

31、x2【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键21（5分）如图，在ABC中，CD平分ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若ACB30，B45，ED6，求BG的长【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证EDCDCGACDGDC，可得CEDG，DEGC，由菱形的判定可证结论；（2）过点D作DHBC，由菱形的性质可得DEDG6，DGEC，由直角三角形的性质可得BHDH3，HGDH3，即可求BG的长【解答】解：（1）CD平分ACB，ACDDCG，EG垂直平分CDDGCG，DEEC

32、，DCGGDC，ACDEDCEDCDCGACDGDCCEDG，DEGC四边形DECG是平行四边形，且DEEC四边形DGCE是菱形；（2）如图，过点D作DHBC，四边形DGCE是菱形，DEDG6，DGECACBDGB30，且DHBCDH3，HGDH3B45，DHBCBBDH45BHDH3BGBH+HG3+3【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键22（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx（k0）与双曲线y（x0）交于点A（2，n）（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且OAB是等腰三角形，

33、请直接写出所有符合条件的点B的坐标【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出k值；（2）分ABAO，OAOB，BOBA三种情况考虑：当ABAO时，利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度，结合点C的坐标可得出点B1的坐标；当OAOB时，由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度，利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度，进而可得出点B2的坐标；当BOBA时，设OB3m，则CB34m，AB3m，在RtACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出点B3的坐标综上，此题得解【解答】解：（1）点A（2，n）在双曲线

34、y上，n4，点A的坐标为（2，4）将A（2，4）代入ykx，得：42k，解得：k2（2）分三种情况考虑，过点A作ACy轴于点C，如图所示当ABAO时，COCB14，点B1的坐标为（0，8）；当OAOB时，点A的坐标为（2，4），OC4，AC2，OA2，OB22，点B2的坐标为（0，2）；当BOBA时，设OB3m，则CB34m，AB3m，在RtACB3中，AB32CB32+AC2，即m2（4m）2+22，解得：m，点B3的坐标为（0，）综上所述：点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及解

35、一元一次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）分ABAO，OAOB，BOBA三种情况，利用等腰三角形的性质求出点B的坐标23（6分）如图，AB与O相切于点A，P为OB上一点，且BPBA，连接AP并延长交O于点C，连接OC（1）求证：OCOB；（2）若O的半径为4，AB3，求AP的长【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BAPBPA，可证BAP+PAO90，C+CPO90，结论得证；（2）作BDAP于点D，先求出OB，OP的长，再求出CP长，根据BPDCPO，得出比例线段，求PD的长，则AP可求【解答】（1）证明：ABBP，BAPBPA，AB与O相切于点A

36、，OABA，BAO90，即BAP+PAO90，OAOC，PAOC，BPACPO，C+CPO90，COP90，即COBO；（2）解：如图，作BDAP于点D，在RtABO中，AB3，OA4，则BO5，OP2，在RtCPO中，PO2，CO4，则CP2，BABP，ADPD，由（1）知COP90，BDP90，BPDCPO，BPDCPO，即，PD，AP2PD【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键24（6分）某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a不

37、同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10x20，20x30，30x40，40x50，50x60，60x70）：c采用公共交通方式单程所花费时间在30x40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为31分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有200人，其中单程不少于60分钟的有8人【分析】（1）用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它

38、分组的人数求出40x50的人数，从而补全图形；（2）根据中位数的概念计算可得；（3）利用样本估计总体思想计算可得【解答】解：（1）选择公共交通的人数为10050%50（人），40x50的人数为50（5+17+14+4+2）8（人），补全直方图如下：（2）采用公共交通方式单程所花费时间共50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是31（分），故答案为：31；（3）估计该年级采用公共交通方式上学共有40050%200（人），其中单程不少于60分钟的有2008（人），故答案为：200、8【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的

39、关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用25（6分）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm00.781.762.853.984.954.47y2/cm44.695.265.965.94

40、4.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BE，则BE的长约为6cm当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为6或4.47cm【分析】（1）由题意得出BC3cm时，CD2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD0.9367（cm），得出ADAB+BD4.9367（cm），再由勾股定理求出AC即可；AC5.70（cm）；（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，

41、y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；（3）BC6时，CDAC4.47，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BEBC6即可；分两种情况：当CAB90时，ACCD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC6；当CBA90时，BCAD，由圆的对称性与CAB90时对称，AC6，由图象可得：BC4.47【解答】解：（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值知：BC3cm时，CD2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：CDAB，BD0.9367（cm），

42、ADAB+BD4+0.93674.9367（cm），AC5.70（cm）；补充完整如下表：（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：（3）BC6cm时，CDAC4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，BEBC6cm，故答案为：6；以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当CAB90时，ACCD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC6cm；当CBA90时，BCAD，由圆的对称性与CAB90时对称，AC6cm，由图象可得：BC4.47cm；综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm；故答案为：

43、6或4.47【点评】本题是圆的综合题目，考查了勾股定理、探究试验、函数以及图象、圆的对称性、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，理解探究试验、看懂图象是解题的关键26（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx26mx+9m+1（m0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB4，求m的值（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围【分析】（1）利用配方法得ym（x3）2+1，由此即可得出顶点坐标；（2）根据抛物线的对称轴以及AB4，

44、即可得到A、B两点的坐标，代入抛物线即可求出m的值；（3）结合图象即可得出当抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点时m的取值范围【解答】解：（1）ymx26mx+9m+1m（x3）2+1，抛物线的顶点坐标为（3，1）；（2）对称轴为直线x3，且AB4，A（1，0），B（5，0），将点A的坐标代入抛物线，可得：m；（3）如图：当m0时满足，解得：m；当m0时满足，解得：m1；综上，m1或m【点评】本题考查了二次函数的图象及其性质，熟练利用数形结合的解题方法是解决本题的关键，难度中等27（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值【分析】（1）证明CDECDE和ADFCDF，可得FDPADC45；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP（SAS），得BPDP，从而得PAP是等腰直角三角形，可得结论