二阶常系数非齐次线性方程

1、第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程( )(1)ypyqyf x形如称为二阶非齐次线性微分方程。02(1)ypyqy称（ ）为的相应的齐次方程。*在上一节，我们讨论了方程（在上一节，我们讨论了方程（2）的解的结构和他的解法）的解的结构和他的解法本节将讨论方程（本节将讨论方程（1）的解的结构和解法）的解的结构和解法我们在讨论一阶线性微分方程时，先讨论一阶线性齐次微分我们在讨论一阶线性微分方程时，先讨论一阶线性齐次微分方程方程 的解，再用的解，再用“常数变易法常数变易法”求求得得一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程 的解的解 ( )0yp x y( )( )yp

2、x yq x我们今天要在方程（我们今天要在方程（2）的解的基础上，用）的解的基础上，用“待定系数法待定系数法”来求方程（来求方程（1）的解。）的解。( )(1)ypyqyf x形如称为二阶非齐次线性微分方程。02(1)ypyqy称（ ）为的相应的齐次方程。*1122*4.3( )1( )2( )( )1yyxY xc yc yyY xyx定理、设是方程（）的一个特解，是方程（ ）的通解，则是方程（）的通解。*( )1( )( )( )( )yxyxp yxqyxf x证明：是方程（）的一个特解，1122( )20Y xc yc yYpYqY是方程（ ）的通解，* ( )( ) ( )( ) (

3、 )( )Y xyxp Y xyxq Y xyx*( )( )( ) yxp yxqyxYpYqY( )0( )f xf x*( )( )1yY xyx所以是方程（）的通解。ii12124.4Y( ) (1,2)( )Y ( )Y ( )( )( )xiypyqyf xxxypyqyf xfx定理、设分别为方程的解，则是方程的解。iiY( ) (1,2)( )xiypyqyf x证明：因为分别为方程的解，1111Y ( )Y ( )Y ( )( ),xpxqxf x2222Y ( )Y ( )Y ( )( )xpxqxfx121212Y ( )Y ( )Y ( )Y ( )Y ( )Y ( )

4、xxpxxqxx111222Y ( )Y ( )Y ( ) Y ( )Y ( )Y ( )xpxqxxpxqx12( )( )f xfx1212Y ( )Y ( )( )( )xxypyqyf xfx所以是方程的解。( )( )xmf xpx e一、型( )(*)xmypyqypx e即1011( )( ).mmmmmq xqxb xb xbxb其中根据定理根据定理4.3，我们只需求出方程（，我们只需求出方程（*）的一个特解，再求出）的一个特解，再求出相应齐次方程的通解。通解相应齐次方程的通解。通解+特解就是方程（特解就是方程（*）的通解）的通解*( )*xyq x e我们猜想是方程（ ）的解

5、*( )( )( )( )xxxyQ x eQ x eQ xQ x e*2( )( )( )( )( )2( )( )xxxyQxQ x eQ xQ x eQ xQ xQx e( )xmypyqypx e代入中2( )2( )( )( )( )( )( )xxxxmQ xQ xQx ep Q xQ x eqQ x epx e2( )(2)( )() ( )( )mQxp Q xpq Q xpx(1).当 不是特征根时:20,pq因此取1011( )( )mmmmmQ xQxb xb xbxb( )xnyQx e则设(2).当 是特征单根时:20,20,pqp因此 是 n 次多项式,( )Q x

6、( )xnyxQx e则设 是n+1次多项式,( )Q x2( )(2)( )() ( )( )mQxp Q xpq Q xpx(3).当 是特征重根时:20,20,pqp因此 是 n 次多项式,( )Qx2( )xnyx Qx e则设 是 n+2 次多项式,( )Q x4.25 2 34yyyx例求微分方程的通解2230rr解：对应齐次方程的特征方程123,1rr 解之312xxYC eC e对应齐次方程的通解为*01010( )xyQ x eb xb由于不是特征根，所以设特解*00yby001234bb xbx把他们代入原方程得（）00101448,23039bbbbb -3比较两端同次幂

7、系数*4839yx 于是3124839xxyC eC ex从而原方程通解为24.26 4 4xyyyex例求微分方程的通解。21,24402rrr解：对应齐次方程的特征方程解之212()xYCC x e因此对应齐次方程的通解212( )( )( )xf xf xfxex注意到原方程中12( )2( )0f xfx所以对，是重根， 所以对，不是特征根。*221201xyyyax eb xb因此 设*222*222220222444xxxxxxyaxeax ebyaeaxeaxeax e22010244()xxaeb xbbex把他们代入原方程，整理得01021414()0abbb比较系数得*22

8、011111124244xabbyx ex22212111()244xxyCC x ex ex综上 原方程的通解为2. 型( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx( )cos( )sinkxmmyx eQxxRxx此时设特解为:01iki不是特征根是特征根证明略n 次多项式max , ml n4.28 4yyxcosx例求微分方程的通解。21,2402rri 解：特征方程解之12cos2sin2YCxCx对应齐次方程通解*01()cos()siniyaxbxcxdx此题不是特征根。所以，设特解*cos()sinsin()cossinsin()coscoscos()sinya

9、xaxbxcxcxdxyaxaxaxbxcxcxcxdx (332 )cos(332 )sincosaxbcxcxdaxxx把他们代入原方程，整理 得：31,320, 30,320abccda比较系数12,0,039abcd*12()cos()sincossin39yaxbxcxdxxxx从而1212cos2sin2cossin39yCxCxxxx原方程的通解为1:求 的通解. 2331yyyx2:求 的通解. 256xyyyxe3:求 的一个特解. 22cosxyyyex课课 堂堂 练练 习习1:求 的通解. 2331yyyx2230,rr由于 不是特征根,0yaxb则设将 代入方程得:y3

10、2331axabx33231aab113ab 13yx 则一个特解为解：写出特征方程解：写出特征方程0yay1231rr 解之312xxYc ec e所以，相应齐次方程的通解为所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为31213xxyc ec ex由于 是特征单根,22()xyx axb e则设将 代入方程得:y22axabx2120aab121ab 21(1)2xyxxe则一个特解为因此通解为:2312xxyC eC e22()2xxx e2:求 的通解. 256xyyyxe2560,rr122,3,rr则对应的奇次方程的通解为2312xxYC eC e3:求 的一个特解. 22cosxyyy

11、ex由于 是特征根,1ii ( cossin )xyxe axbx则设将 代入方程得:y2( cossin )cosbxaxx10,2absin2xxyex则一个特解为2220,rr解：特征方程1,21,ri 二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程一般形式:( ),(1)ypyqyf xyYy由解的结构可知, (1)的通解是:故只要求出(1)的一个特解 .y待定系数法1. 型( )( )xnf xP x en 次多项式与指数函数乘积( )xyQ x e因此设待定多项式小小 节节02ypyqy对应齐次方程（ ）设齐次方程的通解为设齐次方程的通解为 Y(1).当 不是特征根时:20,pq因此取1011( )( )mmmmmQ xQxb xb xbxb( )xnyQx e则设(2).当 是特征单根时:20,20,pqp因此 是 n 次多项式,( )Q x( )xnyxQx e则设 是n+1次多项式,( )Q x2( )(2)( )() ( )( )mQxp Q xpq Q xpx(3).当 是特征重