第7讲曲线曲面造型基础-3

1、 7. 1曲面概述7.2、 Bezier曲面7.2.1 Bezier曲面定义7.2.2 Bezier曲面性质及特点7.2.3 Bezier曲面拼接7.3B样条曲面 7.3. 1 均匀双三次B样条曲面7.3.2 均匀双三次B样条曲面性质及特点7.3.3 均匀B样条曲面反算7.3.4 非均匀B样条曲面定义 7.3.5 B样条曲面造型举例7.4NURBS曲面7.5其它曲面表达方法第第7 7讲讲 曲线曲面造型基础曲线曲面造型基础 样条曲面表达方法样条曲面表达方法 1熟练掌握Bezier曲面表示方法2熟练掌握B样条曲面表示方法3了解其它曲面表达方法本章目的本章目的 解析曲面（代数曲面） l代数曲面在造型

2、系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求l适合简单曲面，不能构造自由曲面l不同类型曲面拼接连续性难以保证l不同曲面求交公式不一，程序量大l工程设计交互性差因此，CAD系统中除简单曲面外，必须具有强大的自由曲面造型能力Bezier、B样条、NURBS曲面在商用CAD系统中常见。 回顾：回顾：n n次次BezierBezier曲线定义：曲线定义：给定空间n+1个点的位置矢量P Pi（i=0，1，2，n），则Bezier曲线定义为：1 ,0 )()(0,uuBuniniiPPiniinniuuCuB)1()(,n nmm次次BezierBezier曲面的定义：曲面的定义：将Bezier曲线推广到

3、曲面定义上，给定 (m+1) （n+1）个排成网格的控制顶点Pi, j (i=0,1,m，j=0,1,n)，则构成的 m + n 次Bezier曲面片为：式中：1 ,0,1 ,0 )()(),(00, vuvBuBvuminjnimijiP PP P 双三次双三次BezierBezier曲面的定义：曲面的定义： 在一般实际工程应用中， m和n 一般不大于4，尤其以nm3最为常见。由44（共16）个网格控制点定义唯一33的双三次Bezier曲面如下： 将上式展开得：将上式展开得： 对比Bezier曲线，Bezier曲面有如下特点： 1）曲面由网格阵列点组成的特征网格所控制，称之为 特征网格（或控

4、制网格） 2）u向及v向控制点的数目可以不相等 3）参数取值范围为u0，1v0，1的正方形区域 BezierBezier曲面参数空间曲面参数空间和三维欧式空间的映和三维欧式空间的映射关系射关系P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.7 角点特性思考问题：思考问题：Bezier曲线有很好的端点特性，Bezier曲面又如何呢 ? ? 边界特性推论，沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然，固定参数v，对参变量u而言是一簇Bezier曲线；固定参数u，对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。（请自己证明）vu1010 跨界切矢Bezier曲面的其它特性与Bezier曲

5、线特性类似，如：几何变换不变性、凸包性、对称性、变差减小性( (求导可直接证明求导可直接证明) ) 三次Bezier曲面的计算与绘制方法绘制三次Bezier曲面，首先计算一系列网格离散点。 三次Bezier曲面演示 A）G0连续条件即只要求两曲面特征网格的首末行（或列）控制点相同。 B）G1连续条件 ，即有公共切平面对三次Bezier曲面，满足上述条件最简单直接的方法如右图所示，只对应两列控制顶点成直线，容易控制。用该方法匹配的曲面边界，u向和v向是光滑连续的。该方法的限制过于苛刻，是充分条件，并非必要条件。为了构造合成曲面时有更大的灵活性，采用如下条件作为三次Bezier曲面的一阶几何连续的

6、拼接条件：该条件仅要求位于和所在的同一个平面内。 Bezier表达方法的不足：l Bezier表达方法是一种整体表达方法，不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响，工程设计中非常不便。l 特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；l 为实现Bezier曲线和曲面的拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。而且为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶Bezier曲面需通过升阶方法提高曲面的阶次。l 1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。 7.3.1 均匀双三次B样条曲面定

7、义：定义：给定给定（m+1）x（n+1）个网格点Pi j（i=0,1,m，j=0,1,n)，可构造（m-2）x (n2)片双三次（四阶）均匀B样条曲面（如左图）。其中任意相邻一组4 x 4网格点构造一张双三次均匀B样条曲面，如右图所示。Pi , jPi , j+1Pi , j+2Pi , j+3Pi+1 , jPi+1 , j+1Pi+1 , j+2Pi+1 , j+3Pi+2 , j+3Pi+3 , j+3Pi+2 , jPi +3, jPi+3 , j+1Pi+3 , j+2Pi+2 , j+1Pi+2 , j+2为了理解方便，以双三次均匀B样条曲面为例介绍。7.3 B样条曲面 该均匀双三

8、次B样条曲面片的方程表示为：依次顺序递推各组4 x 4个网格控制顶点Pi j（i=0,1,m，j=0,1,n）即可构造完整的（m-2）x (n2) 双三次均匀B样条曲面。 三次均匀三次均匀B B样条曲面参数空间到欧式空间的映射关系样条曲面参数空间到欧式空间的映射关系xyzovu1010 0.60.7P(0.7,0.6)思考问题：思考问题：参数空间为一圆，在三维空间映射为什么曲线 ? ? 均匀三次B样条曲面的计算与绘制根据前述定义，任意给定（u，v）值，即可按下式进行计算： 三次均匀B样条曲面演示 7.3.2 均匀双三次B样条曲面性质及特点Pi , jPi , j+1Pi , j+2Pi , j

9、+3Pi+1 , jPi+1 , j+3Pi+2 , j+3Pi+3 , j+3Pi+2 , jPi +3, jPi+3 , j+1Pi+3 , j+2Pi+2 , j+1Pi+2 , j+2xyzoPi+1 , j+1Pi+1 , j+2vu1010 （4）函数连续性；）函数连续性； （5）几何不变性；）几何不变性； （6）对称性；）对称性； （7）凸包性等。）凸包性等。 7.3.3 均匀B样条曲面反算借鉴B样条曲线的反算思想： 先对给定型值点进行u向反算，反算得到一组控制点； 再以此控制点为型值点进行v向反算（如下图所示）具体步骤如下：n,j;m,i ,.10210jida）以U向截面数据

10、点（型值点）及端点u向切矢，应用B样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控制顶点： b）仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“数据点”，又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”，应用曲线反算，求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。 c）然后固定指标i，以第一步求出的n1条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即： 为“数据点”，以上一步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在V向上应用曲线反算，分别求出m3条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点： n,0,1,j,dji,2n,0,1,j2;m,0,1,i ,di.j最后所求即为双三次B样条插值

11、曲面的控制顶点。 7.3.4 非均匀B样条曲面定义 类似于Bezier曲面的定义方法，将B样条曲线的定义推广到B样条曲面。给定（m1）（n1）个控制点P i , j（ i=0, 1, , m ； j = 0, 1, , n ）构成特征多边形控制网格顶点，并给定参数u和v的次数 k 和 l 以及对应的节点向量Uu0,u1, , um+k+1与Vv0,v1, , vn+l+1，则可定义一张kl 次B样条曲面p(u,v)，其表达为：110,0,)()(),(p nlmkmiljkinjjivvvuuuvNuNPvu式中 Ni , k(u) ( i=0,1, m ) 和Nj , l(v) ( j=0,

12、1,n )均为B样条基函数。与均匀三次B样条曲线类似，均匀三次B样条曲面是B样条曲面的特例。只要所有U向节点向量和V向节点向量均匀分布即可。因此均匀B样条曲面的特性也是B样条曲面的特性。此外Bezier曲面也是B样条曲面的特例。 由此可知，均匀双三次B样条曲面及Bezier曲面都是非均匀B样条曲面的特例。因此，与双三次均匀B样条曲面及Bezier曲面一样，B样条曲面的几何特性如下：非均匀B样条曲面性质对称性凸包性几何不变性局部性可分割性升降阶特性函数连续性 正是B样条表达方法这些优越的几何特性，因此B样条在当前CAD系统中得到广泛应用。 蒙皮（蒙皮（SkinSkin）：）：放样（放样（Loft

13、Loft） ：7.3.5 B样条曲面造型举例 7.4、NURBS曲面将B样条曲面的定义推广到NURBS曲面。定义：给定（m1）（n1）个控制点P i , j（ i=0, 1, , m ； j = 0, 1, , n ）构成特征多边形控制网格顶点及其各点对应的权值 w i , j ，并给定参数u和v的次数 k 和 l 以及对应的节点向量U u0 , u1 , , um+k+1 与V v0 ,v1 , , vm+l+1 ，则可定义一张 kl 次B样条曲面 P( u, v )，其表达为： minjlj,ki,jiminjlj,ki,jijidp00,00,)v(N)u(N)v(N)u(N)vu,(式

14、中 Ni , k(u) (i=0,1,m) 和Nj , l(v) (j=0,1,n)均为B样条基函数，其计算方法与B样条曲线计算方法相同。 为使NURBS曲面具有良好的特性，建议四角顶点处用正权因子，即：w 0, 0、 w 0 , n、w m , 0、 w m , n 0， 其余 w i , j = 0类似于NURBS曲线，NURBS曲面具有和B样条曲面相同的性质。且由于权因子的作用，使NURBS曲面具有更大的灵活性，且表达能力大大增强。除此之外， NURBS曲面能统一表达圆锥曲面（如球面、柱面、圆环面等）、B样条曲面和Bezier曲面等。 追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标

15、之一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。（目前样条表达能力更强，但控制参数更多） 7.5、其它曲面表达方法二次曲面（quadricquadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。1）Quadric surface 2) superquadricsuperquadric toroids1)rz(a)ry()rx(112222/Ez/EE2/Ey2/Ex superquadric ellipsoids1)rz()ry()rx(112222/Ez/EE2/Ey2/Ex superquadr

16、ic曲面在商用CAD系统应用较少，但在动画软件中常用。 3) 三角Bezier曲面目前，曲面造型技术仍以矩形曲面方法为主，但是，采用传统的四边面片构造复杂零件时，有时只能大量使用退化的矩形曲面片逼近三角域，导致许多四边域曲面法算法失效。三角域Bezier曲面因能有效地解决构型复杂、形状和边界不规则产品的几何造型问题，引起不少学者们进行研究，曲面反求工程常用。 三边三边BezierBezier曲面片与四曲面片与四边边BezierBezier曲面片的转化曲面片的转化 使之与使之与CADCAD系统表达兼系统表达兼容容 4） 等距曲面（Offset） F（u，v） S（u，v）+ d N S S（u

17、u，v v） 5) Implicit surface隐式曲面隐式曲面表达在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势，隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。 6） 偏微分方程（PDE）曲面 PDE方法与传统曲面造型方法不同，曲面的形状由所选择的偏微分方程参数和给定的边界条件确定。PDE方法生成的曲面光滑，而且求解偏微分方程也有许多成熟的方法，实现起来相对比较容易。 7） 细分曲面（广泛用于动画）（选学）细分曲线（chaikin算法） 细分曲面（DooSabin算法） 课课 堂堂 练练 习习例1、已知均匀双三次B样条曲面P(u,v)由以下控制点定义：P00(0,0,0), P0

18、1(20,0,20), P02(40,0,20), P03(60,0,0), P04(80,0,-10),P10(0,20,20), P11(20,20,40), P12(40,20,40), P13(60,20,20), P14(80,20,0),P20(0,40,20), P21(20,40,40), P22(40,40,40), P23(60,40,20), P24(80,40,0),P30(0,60,0), P31(20,60,20), P32(40,60,20), P33(60,60,0) , P34(80,60,-10) 。试设计构造一条三次Bezier曲线与曲面上的曲线P（0.5，v）的终点Q( 0.5，1.0）一阶光滑连接。u uv vP P00P P04P P30P P34 u uv vP P00P P04P P30P P34提示：1）均匀双三