《计数原理》复习课件(人教A版选修2-3)

1、考点搜索排列数、组合数基本公式，阶乘的计算公式组合数的两个基本性质高考猜想以函数、方程、不等式及实际问题为背景，考查排列数、组合数公式的应用.1. n的阶乘n!=_.2. =n(n-1)(n-2)(n-m+1)=_.3. = =_.4.组合数的两个性质是:_;_.5.规定0!_； =_.6.n(n-1)!=_. n(n-1)(n-2)2111n!mnAmnCmnmmAA!(-)!nnm!( -)!nmn m-mn mnnCC-11mmmnnnCCC0mC1.若nN*，且n10，则(10-n)(11-n)(100-n)等于( ) 解：积的个数为(100-n)-(10-n)+1=91.故选C.C1

2、0-90100- 100-9192100-100-A. B. C. D. nnnnnAAAA2.若 ，则S的个位数字是( ) A. 8 B. 5 C. 3 D. 0解： =1， =2， =6， =24，而 ， ， 的个位数字均为0，从而S的个位数字是3.C12341001234100SAAAAA11A22A33A44A55A66A100100A3.组合数 (nr1，n、rZ)恒等于( ) 解：由组合数的变形公式得 . DrnC-1-1-1-1-1-1-1-11A. B. (1)(1)1C. D. rrnnrrnnrCnrCnnnrCCr-1-1rrnnnCCr1. 计算下列各式的值： (1)

3、;(2) . 解：(1)原式= . (2)原式 .点评：排列数、组合数公式的化简与运 算，就是公式的顺用、逆用和变用的结合.题型题型1 排列数、组合数的四则运算排列数、组合数的四则运算54886599-AAAA98971001003101CCA444488885554999845554-33 927AAAAAAAA233100100101331011011133!6CCCAC计算： . 解：据题意， ，所以 .又nN*，故n=6.所以原式33 -13 -217-1312112nnnnnnnnCCCC31317-2 nnnn171332n1817161119181712111119181712

4、19 18 1712124.CCCCCCCC2. 解下列方程： (1) ； (2) . 解：(1)方程可化为 ，即 ，所以(x-3)(x-6)=40，即x2-9x-22=0，所以x=11或x=-2(舍去).经检验，x=11是原方程的解. 题型题型2 解排列数、组合数方程解排列数、组合数方程-72-3-435xxxCA1-1-2311nnnnnnnnCCCC( -3)!( -4)!35( -7)!4!( -6)!xxxx 3( -3)54!-6xx(2)方程可化为 ，即 ，所以 ，即 ，所以n2-3n-4=0.所以n=4或n=-1(舍去).故n=4是原方程的解.点评：解排列数、组合数方程时，一般

5、先把排列式、组合式化成全排式(阶乘式)，然后约去一些公共因式，得到基本方程，最后求得的解需符合排列式、组合式的意义.2221311(2)nnnnCCCCn2122222nnnnCCCC122nnCC( -1)22n nn 某参观团共18人，从中选出2人担任联络工作，要求选出的2人中至少要有一个男人，而其中有2个老年男人不能入选，已知符合要求的选法共有92种，求该参观团男女成员各多少人？ 解：设参观团有女人n个，则男人有18-n个，且0n15，nN*.由已知 ，所以n(16-n)+ (16-n)(15-n)=92， 即n2-n-56=0，所以n=8或n=-7(舍去).故参观团有男人10人，女人8

6、人.11216-16-92nnnC CC123. 解下列不等式: (1) ; (2) .解： (1)原不等式可化为 ，即 ，得-75x9.又1x-26，故3x8，xN*.所以原不等式的解集是3，4，5，6，7，8.题型题型3 解排列数、组合数不等式解排列数、组合数不等式-2966xxAA-4-2-1212121xxxCCC9!66(9- )!(8- )xx！9 8 769- x (2)原不等式可化为 ，即 ， 即 ， 21!21!21(25- )( -4) (23- )!( -2)! (22- )( -1)xxxxxx！11(25- )(24- ) ( -2)( -3)1123-1xxxxx

7、x(25- )(24- ) ( -2)( -3)23-1422xxxxx xx由此解得，4x12(xN*).所以原不等式的解集是x|4x12，xN*.点评：解排列式、组合式型的不等式有两个关键之处：一是先转化为常规的不等式，二是符合公式意义的自然数解. 设集合设集合 ，求集合求集合M共有多少个子集？共有多少个子集？ 解：解：不等式可化为不等式可化为 ， 即即 ，345112 |-,*nnnMnnNCCC624-( -1)( -2)( -1)( -2)( -3)240 (5)( -1)( -2)( -3)( -4)n nnn nnnnn nnnn4401-3( -3)( -4)nnn化简得n2-

8、11n-120，解得-1n12.因为n5，且nN*，所以M=5，6，7，8，9，10，11，从而其子集的个数为 =27=128(个).017777 CCC1. 证明下列等式： (1) ； (2) 题型题型 证明排列数、组合数恒等式证明排列数、组合数恒等式-11mmmnnnAmAA1-11-1-mmnnmn mCCn mm-11!( -)!( -1)!( -1)! ( -1)!( -1)! ( -1)( -1)!(1)(1)! ( -1)!(1-)! mmnnmnnnAmAmn mn mn n mnmn mn mnn mmn mn nnn mnmA证明：证明：(1)证法证法1：证法2：从a1，a

9、2，an+1这n+1个不同元素中任取m个元素作排列，共有 个排列.其中含有元素a1的排列数为 ；不含有元素a1的排列数为 .由分类计数原理，得 .1mnA1-1-1mmmnnAAmAmnA-11mmmnnnAmAA(2)因为 ， ，所以 .111!-(1)!( -1)! !( -)!mnmnmmnCn mn mmn mnCm n m-1-1-1!(-1)!( -1)! !( -)!mnmnn mn mnCmmmn mnCm n m1-11-1-mmnnmn mCCn mm2. 化简下列各式： (1) ; (2) .解： (1)因为 ，所以原式 . 题型题型 化简、求和问题化简、求和问题12+2

10、3!(1)!nn！!(1)!(2)!()!0!1!2!mmmmnn(1)-111-(1)!(1)! (1)!kkkkkk11111(1-)(-)-223! (1)!11-(1)!nnn！(2)原式0121121221111(1)! (2)!()! 1!2! !()!()!()!.nmmmm nmmnmmm nmmm nm nmnm nm nmmm nmmmm nm CCCCm CCCm CCm Cm C 3. 规定 ，其中xR，m是正整数，且 =1，这是组合数 (n、m是正整数，且mn)的一种推广. (1)求 的值； (2)组合数的两个性质： ； 是否都能推广到 (xR，m是正整数)的情形？若

11、能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.( -1)( -1)!mxx xx mCmmnC0 xC38C-mn mnnCC-11mmmnnnCCCmxC解：(1) . (2)性质 不能推广.例如取x= 时， 有定义，但 无意义.性质能推广，其推广形式是 (xR，m是正整数).3-8-8 (-9) (-10)-1203!C212C2-12C-11mmmxxxCCC证明：当m=1时， .当m2时， 故能推广.10111xxxCCxC -11( -1)( -2)( -1)!( -1)( -2)( -2) (-1)!( -1)( -2)( -2) ( -11)(-1)!(1) ( -1)( -2) ! .mmxxmxx xxx mCCmx xxx mmx xxx mx mmmxx xx mmC1. 公式的应用体现为三种形式，即正向应用、逆向应用和变式应用，其中变式应用是较难掌握的，它要根据实际问题的需要进行变式，如利用组合数性质的变式