函数极限连续题学习教案

1、会计学1函数极限函数极限(jxin)连续题连续题第一页，共59页。例1 已知 ，求 的定义域xxf 11)()(xfff解由 ，则xxf 11)(由 ，得 x 满足111 )(, )(, xffxfx111111111 xxx,解得2321 xxx,定义域：),(),(),(),( 11232321第1页/共58页第二页，共59页。2函数的一些(yxi)几何特性(1) 有界函数(hnsh):如果存在 M 0 使得Dx , Mxf)(则称函数 f(x) 在D上有界 , 否则称函数 f(x) 在D上无界 (2) 单调(dndio)函数:21xx 若对任意的 只要 ,有,Dx , x21)()(21

2、xfxf(或 ) )()(21xfxf则称 f (x) 在 D 上单调增加 (单调减少)21xx 若对任意的 只要 ,有,Dx x21)()(21xfxf(或 ) )()(21xfxf则称 f (x) 在 D 上严格单调增加 (严格单调减少)第2页/共58页第三页，共59页。(3) 函数(hnsh)的奇偶性:)()()()(xfxf xfxf),(llx若对任一 总有设函数 f (x) 在区间 上有定义,),(ll则称 f (x) 在 上是偶函数 (奇函数),(ll(4) 周期函数(zhu q hn sh):设函数 f (x) 定义域为D ,如果存在 )()(xfTxf则称 f (x) 为以T

3、为周期的周期函数 , T 称为 f (x) 的 任意的 总有 ,并且,DxDTx常数T 0 , 使对周期 ( 这里是指最小正周期)第3页/共58页第四页，共59页。例2 下列函数是不是周期函数21xxxftansin)( )( 22 xxxgcossin)( )( xxhsin)( )( 3解两个周期函数的和或乘积是不是周期函数，取决这两个周期函数的周期是否有公倍数(即两周期之比是否为有理数)（1）xsin的周期 1T2xtan的周期 22 T)(xf是 为周期的周期函数 2第4页/共58页第五页，共59页。xsin的周期 ， 21 T2 xcos的周期42 T（2）所以 g (x) 不是(b

4、 shi)周期函数（3）周期函数的定义域 D 应具有以下特性：若 , 所以 D 必定DnTxDTxDx 既无上界又无下界xxhsin)( 的定义域 0 , +) , 有下界所以 h(x) 不是(b shi)周期函数 第5页/共58页第六页，共59页。例3 设f (x) 与 g(x) 为奇函数或偶函数，试讨论复合函数 f (g(x) 的奇偶性 解（1）如果 g(x) 为偶函数，即 )()( )()(xgfxgfxgxg （2）如果 g(x) 为奇函数，即 )()( )()(xgfxgfxgxg f (g(x) 恒为偶函数1）若f (x) 为偶函数 f (g(x) 为偶函数 f (g(x) 为奇函

5、数2）若f (x) 为奇函数第6页/共58页第七页，共59页。3反函数、复合函数、初等函数、分段函数隐函数、变上限积分函数（1）反函数 设函数 y=f (x) 的定义域为D，值域为W. 如果对于W 中任意的 y 值，都可以通过 y=f(x) 确定 D 中唯一的 x 值与其对应 , 即把 y 看作自变量 , x 看作因变量而得到一个新的函数，我们把这个新的函数称为y=f(x)的 反函数，记作 , yfx)(1习惯上常将 y=f(x) 的反函数记为)(xfy1( y = f(x) 与 的图象关于)(xfy1直线 y = x 对称 )第7页/共58页第八页，共59页。定理(dngl)(反函数存在定理

6、(dngl)若 y=f (x) 在 D上严格单调 ,则在 f (D) 上 y=f(x) 存在严格单调 (具有相同单调性)的反函数 （2）复合(fh)函数设函数(hnsh) y=f (x) , uU ; u=g(x) , x X ,若 g(X)U , 则称函数 )()(UxgxDx , xgfy是由函数 y = f (u) 和 u=g(x) 复合而成的复合函数 ,变量 u 称为中间变量 第8页/共58页第九页，共59页。（3）初等(chdng)函数1) 基本初等函数: 常数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数2）初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所得到的函数

7、.（4）分段(fn dun)函数在定义域的不同区域上用不同表达式表出的函数称为分段函数 符号函数：,01000,1sgnx , x , x x第9页/共58页第十页，共59页。（5）隐函数(hnsh)如果在区间 I 上存在函数 y = y(x) 满足方程0),(yxF则称 y=y(x) 为 在区间 I 上确定的隐函数 0),(yxF例如(lr)：（6）变上限(shngxin)积分函数说明：用极限、导数、无穷级数也可表示函数 第10页/共58页第十一页，共59页。例4 设 ， 64240 xxxxxf , , )( 422202xxxxxg , , )(求 f (g (x) , g( f (x)

8、 解404220 xxxxxxxgf , , , )(所以第11页/共58页第十二页，共59页。例5求函数 的反函数 )sgn()(xxy21 解当 x 0 时，112 xy反函数11 yyx,当 x N 时 , 有 Axn(1)(2) M Axfx,)(lim00当 x M 时 , 有 Axf)( M Axfx,)(lim00当 x 0 , 满足 的只有有限项 aan(B) 对于任给的 0 , 总有相应的项 ,naaan(C) 存在某个正数 , 除有限项外 , 都有00aan(D) 存在某个正数 , 有无限多项满足0aan0解选 ( D )第16页/共58页第十七页，共59页。2重要(zhn

9、gyo)的关系与结论(1) 极限(jxin)存在与有界性的关系函数(hnsh)极限:若 , 则存在 使 f(x) 在 Axfxx)(lim0)(0 xN)(0 xN上有界 ( 局部有界性)数列极限: 若 , 则 是有界数列aannlimna( 整体有界性)(2) 极限的几个等价关系(证明题、计算极限）)()()(limxAxf Axfxx0)(lim( xxx001)第17页/共58页第十八页，共59页。（常被用来讨论分段函数(hnsh)在分段点处的极限）(3) 局部(jb)保号性(a) 若 ),()(lim000A Axfxx ,0当 时, 00 xx有 , xf0)(（或 f(x) 0 )

10、( 常用(chn yn)证明题）Axfxf )()(0000 Axfxx)(lim02)()()(limxAxf Axfx)(lim( xx0Axfxf xx)(lim)(lim3)aaa aannnnnn122limlimlim4)第18页/共58页第十九页，共59页。(b) 若 , 且 A 0 , 当 时, 有 f (x) g(x),(0 xNx说明(shumng): 结论 (a) 、(b) 反过来不成立 (4) 极限(jxin)的四则运算法则如果 ， 则有Bxg , Axf)(lim)(lim1）)(lim)(lim)()(limxgxf xgxf2）)(lim)(lim)()(limx

11、gxf xgxf3）)()(lim)(lim)()(lim0B xgxf xgxf第19页/共58页第二十页，共59页。例7已知,lim012baxxxx求 a , b .解 122xbxbaaxxx)(lim原式 解得 11 ba, 此时01112 xbaxxxxxlimlim第20页/共58页第二十一页，共59页。例8 若 计算 ,)(sinlim0630 xxxfxx206xxfx)(lim解第21页/共58页第二十二页，共59页。(5) 极限存在的判定(pndng)准则数列(shli)极限：(a) 收敛(shulin)准则：na若 单调增有上界 存在 nnalimna若 单调减有下界

12、存在 nnalim(b) 夹逼定理：如果 且 ，则, cabnnnabcnnnnlimlim第22页/共58页第二十三页，共59页。函数(hnsh)极限：夹逼定理(dngl)：如果 , xNx , xgxfxh),()()()(0且, Axgxhxxxx)(lim)(lim00则第23页/共58页第二十四页，共59页。例9设 ),(,21111111n xxx xnnn证明:数列 有极限 , 并求nxnnxlim解从定义式可知 ，且1 nx设 ，则对 k = n+11 nnxx021121112 xx由 第24页/共58页第二十五页，共59页。由归纳法可知数列 单调增有上界，所以收敛nx设 ,

13、 在递推式两边取极限得axnn limaaa 11解得251 a所以251 nnxlim第25页/共58页第二十六页，共59页。例10 求 nnnnnnnnn2222211lim解nnnnnnnnxn 2222211设 ，则由 及夹逼定理得2112122122 )()(lim)()(lim nnnnnnnnnn原极限21 第26页/共58页第二十七页，共59页。(6) 重要(zhngyo)极限1)10 xxxsinlim2)exxxxxx10111limlim例11 已知 , 求常数 a 9xxaxaxlim解第27页/共58页第二十八页，共59页。例12 求)sin(limxxeexxx 4

14、1012解10000 )()(ff由第28页/共58页第二十九页，共59页。 例13若 ，问a为何值时， 0012xxaxxxxf,sin)()(limxfx0存在且极限值为多少？解为使极限 存在)(limxfx0)()(0000 ff即 0 a此时00 )(limxfx第29页/共58页第三十页，共59页。3无穷小与无穷大(1) 无穷小(量):若 , 则称在此趋限过程中,0)(limxf f (x) 是一无穷小(量) 无穷小量一定(ydng)是和某自变量的趋限过程相联系的 说明(shumng):(2) 无穷大(量):若 , 则称在此趋限过程 lim 中, f(x) 是一无穷大(量) )()(

15、limxf无穷(wqing)大量一定是和某自变量的趋限过程相联系的 说明:第30页/共58页第三十一页，共59页。(3) 无穷小的运算(yn sun)性质1) 有限(yuxin)个无穷小的和是无穷小2) 常数(chngsh)与无穷小的乘积是无穷小3) 有限个无穷小的乘积是无穷小第31页/共58页第三十二页，共59页。(4) 无穷大的运算(yn sun)性质(a) 若 则, xg , Axf )(lim)(lim xgxf)()(lim(b) 若 (可为) , 则 0 Axf)(lim, xg )(lim xgxf)()(lim(5) 无穷小与无穷大的关系(gun x) 若 则 , xf)(li

16、m01)(limxf( 无穷大的倒数(do sh)是无穷小 )第32页/共58页第三十三页，共59页。例14 设数列 和 满足 则 nxny, yxnnn0lim下列断言正确的是(A) 若 发散 , 则 必发散 nxny(B) 若 无界 , 则 必有界 nxny(C) 若 有界 , 则 必为无穷小 nxny(D) 若 为无穷小 , 则 必为无穷小 nx1ny解(A) 反例 ，而21nynxnn ,01 nyxnnnnlimlim(B) 反例, ,0020102010nynxnn 第33页/共58页第三十四页，共59页。(C) 反例11 nnynx,(D) 正确(zhngqu)令 ，则nnnyx

17、w 0 nnwlim所以(suy)选 (D)第34页/共58页第三十五页，共59页。(6) 无穷小的阶设,)(lim0 x 0 )(lim x 1) 若,)()(lim0 xx 则称(x) 是(x) 高阶无穷小 ,记为)()(xox 2) 若,)()(lim0 lxx 则称 (x) , (x)在该趋限过程).()(xOx 中是同阶无穷小 , 记为3) 若,)()(lim1 xx 则称 (x) , (x)在该趋限过程),()(xx中是等价无穷小 , 记为 并称 (x) ,(x) 互为其主部 第35页/共58页第三十六页，共59页。4) 若, k xxOxk)()()(00则称 (x)为 k 阶无

18、穷小 常用(chn yn)的等价无穷小:当 x 0 时 ,(7) 利用等价无穷小代换(di hun)求积、商的极限)( )( limxx若 且 存在 ，则, xx , xx)( )()( )()( )( lim)()(limxxxx第36页/共58页第三十七页，共59页。例15计算极限111220 xxxcoslim解原式)cos)(coslimxxxx 1211120第37页/共58页第三十八页，共59页。例16 计算极限xxxxxeexxx21310sin)ln()(tan)cos)(limtan 解原式xxxxxeexxxx213110sin)ln()(tan)cos)(limtan 第

19、38页/共58页第三十九页，共59页。(8) 确定(qudng)无穷小阶的方法1) 利用(lyng)等价关系 , 恒等变形2) 利用泰勒(ti l)公式3) 利用洛比塔法则第39页/共58页第四十页，共59页。例17 设 f(x) , g(x) 在 x = 0 某邻域内连续且 x 0 时 ,f (x) 是 (x) 的高阶无穷小 , 则 x 0 时, xtdttf0sin)(是 的 ( ) 无穷小 xdttt0)( (A) 低阶 (B) 高阶 (C) 同阶非等价 (D) 等价解所以(suy)选 (B)第40页/共58页第四十一页，共59页。例18当 x 0 时, 下列无穷小中: xxxxxxxx

20、ln ; cos ; tan ; sin ; )sinln(61112 哪个阶最高 ? 哪个阶最小 ? 解（关于(guny) x 是1 阶的）（关于(guny) x 是 2 阶的）（关于(guny) x 是 3 阶的）第41页/共58页第四十二页，共59页。（关于(guny) x 是 2 阶的）同理有0100 )ln(limlnlimxxxxxxxln1关于 x 是 低阶的所以 阶数最高，xx sinxln1阶数最低第42页/共58页第四十三页，共59页。4洛比塔法则(fz), )( )( lim , )( Axgxfxgax 0设 f(x) , g(x) 在, )( )(lim 0 xf),

21、( )(lim 0 xg),( aN上可导 , 且 则 )( )( lim)()(lim Axgxfxgxfaxax 第43页/共58页第四十四页，共59页。说明(shumng):(1) 将 xa 换成 x , x , ax ax,结论继续成立 (2) 若 不存在 , 对原极限无明确结论 . xgxf ax)( )( lim(3) 其余的五种不定型:0010,0 , , , 可化为 或 的不定型来处理 00第44页/共58页第四十五页，共59页。例19计算下列极限 tan)(lim )(2111xxx xxxtanarcsinlim )( 02解2122111xxxxxxx coslimcos

22、sin)(lim (1) 原式 (2) 原式 )ln(arcsintanlimxxxe0 第45页/共58页第四十六页，共59页。)ln(arcsinlim)ln(arcsintanlimxxxxxx00 所以 10 xxxtanarcsinlim 第46页/共58页第四十七页，共59页。3 连 续1连续(linx)的概念(1) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处连续 )()(lim00 xfxf xx(2) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处右连续 )()0(00 xfxf (3) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处左连续 )()0(00 xfxf (4) 若 f (x) 在 (

23、 a , b )中的每一点连续 , 则称 f (x) 在 开区间 ( a , b ) 上连续 (5) 若 f(x) 在 ( a , b )上连续 , 在 x = a 右连续 , 在 x = b 左连续 , 则称 f (x) 在闭区间 a , b 上连续 第47页/共58页第四十八页，共59页。2连续性的重要(zhngyo)结论 f (x) 在 x0 处连续(linx) f (x) 在 x0 处左连续(linx)且右连续(linx)(2) 连续性的四则运算(s z yn sun)法则如果 f (x)、g(x) 在 x0 处连续 ,则在 x0 处也连续 (1) 连续的充要条件第48页/共58页第四

24、十九页，共59页。(3) 复合(fh)函数的连续性:如果 u= (x) 在 x0 处连续 , y = f (u) 在 u0 ( u0= (x0)处连续 , 则 y = f (x) 在 x0 处连续 ,即连续函数的复合在其定义区间上连续 (4) 反函数的连续性:如果 y=f (x) 在区间 Ix 上单调且连续 , 则其反函数在其定义区间上也连续且有相同的单调性 )(1yfx(5) 初等(chdng)函数的连续性:一切(yqi)初等函数在其定义区间上连续第49页/共58页第五十页，共59页。例20 下列函数中, 在定义域上连续的函数是 ( ) , , sin)( )(000 xxxxxfA , ,

25、 sin)( )(0001xxxxxfB , , )( )(00011xxxxxfC , , )( )(0001xxxexfDx解在 处， 为初等函数，所以连续0 x)(xf所以(suy)选 (B) 第50页/共58页第五十一页，共59页。例21 设 , , , arccos)(211111xxxbxxaxf, 试确定 a , b使 f (x) 在 x = -1 处连续解当 时，即 时0 ba 0 ba, f (x) 在 处连续 1 x第51页/共58页第五十二页，共59页。3函数(hnsh)的间断点(1) 间断点: f(x) 的不连续(linx)点称为间断点(2) 间断(jindun)点的分

26、类: 设 x0 是 f(x) 的间断(jindun)点 ,(a) 若 都存在 , 则称 x0 为 f(x) 的 ) 0(, ) 0(00 xf xf 第一类间断点当 时 , x0 称为可去间断点 ) 0() 0(00 xfxf 当 时 , x0 称为跳跃间断点 ) 0() 0(00 xfxf (b) 若 与 中至少有一不存在 , ) 0(0 xf 则称 x0 为 f(x) 的第二类间断点) 0(0 xf第52页/共58页第五十三页，共59页。例22 讨论函数 的连续性xxexf 111)(解及使 的 为两个间断点1 x01 xx0 x因为 f (x) 是初等函数，所以 f (x) 在除10 xx,的点处连续 )(lim)(xffx000可知 是第二类间断点0 x可知 是跳跃间断点1 x第53页/共58页第五十四页，共59页。4闭区间(q jin)上的连续函数性质(1) 最值定理(dngl) 设 f (x) 在 a , b 上连续 , 则 f (x) 必能取得其在 a , b 上的最大值和最小值 第54页/共58页第五十五页，共59页。(2) 介值定理(dngl) 设 f(x) 在 a , b 上连续 , 则对介于 f(a) , f(b) 之间的任一值 c ,