第三章 流体运动学

1、 第三章第三章 流体运动学流体运动学流体质点：流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。 流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。3-1 3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法空间点：空间点：表示空间位置的几何点。表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程

2、中，的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中，同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。 因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。几个基本概念：几个基本概念：空间点上的物理量：空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。是指占据该空间点的流体质点的物理量。流流 场：场：充满运动流体的空间。充满运动流体的空间。流体运动的描述方法：流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动

3、是由无数质点构成的连续流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立描述流体运动的方法。常用的方法有两种：描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法拉格朗日法和和欧拉法欧拉法。流体的运动要素（流动参数）：流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量，表征流体运动的各种物理量，如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。3.1.1 3.1.1 拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法和欧拉法（1 1） LagrangeLagrang

4、e法（拉格朗日法）法（拉格朗日法） 拉格朗日法拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总是把流体的运动看作是无数个质点运动的总和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点这一流体质点在不在不同时间的同时间的位置、流速和压力位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点的变化规律。通过对每一个质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也称为称为质点系法。质点系法。 这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的方法是一致的。方法是一致的。 )(

5、)()(tcbazztcbayytcbaxx，)1 . 3( 为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。设在直角坐标系中，起始时刻设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标，质点的起始位置坐标为为 。当赋予。当赋予 为一组确定值时，即表示跟踪这为一组确定值时，即表示跟踪这一质点，因此，一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质此外，质点在空间所处的位置，即坐标点在空间所处的位置，即坐标 ，又与时间，又与时间 t 有关。有关。所以质点在空间的坐标所以质点在空间的坐标 可以表示为起始坐标可

6、以表示为起始坐标 和时间和时间 t 的函数，即：的函数，即：),(cba),(cba),(zyx),(zyx),(cba式中式中a、b、c、t 称为称为拉格朗日变量拉格朗日变量。 在（在（3.1）式中如果设）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质为常数（表示跟踪这一质点），点），t 为变量，则为变量，则 x、y、z只是时间只是时间 t 的函数，就可得到这的函数，就可得到这一质点任意时刻的位置情况。此时式（一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是）所表达的，就是这一流体质点运动迹线，如图这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。所示。 对于某个确定的时刻，对于某个确定的时刻，t

7、 为为常数，常数， a、b、c为变量，为变量，x、y、z只是起始坐标只是起始坐标a、b、c的函数，的函数，则式（则式（3.1）所表达的是同一时）所表达的是同一时刻不同质点组成的整个流体在刻不同质点组成的整个流体在空间的分布情况。空间的分布情况。 若起始坐标若起始坐标a、b、c及时间及时间t为均为变量，为均为变量，x、y、z是两是两者的函数，则式（者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运）所表达的是任意一个流体质点的运动轨迹。动轨迹。 将式（将式（3.1）的起始坐标）的起始坐标a、b、c看作常数，对看作常数，对 t 求一阶求一阶和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度和二

8、阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度和加速度：和加速度：ttcbaxtcbauuxx ),(),(ttcbaytcbauuyy ),(),(ttcbaztcbauuzz ),(),(速度表达式速度表达式（3.2）22),(ttcbaxtuaxx 22),(ttcbaytuayy 22),(ttcbaztuazz 加速度表达式加速度表达式（3.3） 同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写成成a、b、c和和 t 的函数，即的函数，即= （a，b，c，t），p=p (a，b，c，t )，T=T (a，b，c，t )。式（式（3.2）、（

9、）、（3.3）仍为）仍为a、b、c、t 的函数。的函数。 拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般

10、用欧所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧拉法。拉法。（2 2） 欧拉法欧拉法 欧拉法欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场，动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场，所以欧拉法又称所以欧拉法又称空间点法或流场法空间点法或流场法。 欧拉法把流场中各欧拉法把流场中各运动要素表示成空间坐运动要素表示成空间坐标（标（x，y，z）和时间）和时间 t 的连续函数。的连续函数。如图如图3.2

11、，取空间任一固，取空间任一固定点定点M，其位置坐标（，其位置坐标（x, y, z）确定。）确定。 M为流场中为流场中的点，其运动情况是的点，其运动情况是M点点坐标（坐标（x, y, z）的函数，）的函数，也是时间也是时间 t 的函数。如速的函数。如速度度 可表示为：可表示为：u)4 . 3(),(),(),( tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx表示成各分量形式：表示成各分量形式：),(tzyxuu 同理，在欧拉法中，密度同理，在欧拉法中，密度、压强、压强 p也可以表示为欧拉变也可以表示为欧拉变量的函数量的函数：)6 . 3(),(tzyx )7 . 3(),(tzyxpp 式中式

12、中x，y，z及及 t 称为称为欧拉变量欧拉变量。 分别是速度分别是速度 在在x，y，z上的分量。上的分量。zyxuuu,u)5 . 3(kujuiuuzyx 写成矢量形式：写成矢量形式： 在式（在式（3.4）中，当）中，当 t 为常数，为常数，x，y，z 为变数，式（为变数，式（3.4）表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即流体运动的流体运动的流速场流速场。 当当 x，y，z 为常数，为常数， t 为变数，式（为变数，式（3.4）表示某一固定空）表示某一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。间点上流体质点在不同时

13、刻通过该点的流速变化情况。 欧拉法加速度的表示方法：欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理加速度是个物理量，其物理意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过该空间点时所具有的加速度。该空间点时所具有的加速度。 设已知速度场为设已知速度场为 ，在研究，在研究 t 时刻某一流时刻某一流体质点通过空间点体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将的加速度时，不能将x，y，z视为视为常数，因为在微分时段常数，因为在微分时段

14、dt中，这一流体质点将从中，这一流体质点将从M点运动点运动到新位置到新位置M点，即运动着的流体质点本身的位置坐标点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x，y，z也是时间也是时间 t 的函数，因此有：的函数，因此有：),(tzyxuu dtdzzudtdyyudtdxxutudtuda 又因为又因为zyxudtdzudtdyudtdx ,所以所以)8 . 3(zuuyuuxuutudtudazyx 根据矢量的点积公式，上式可写为根据矢量的点积公式，上式可写为uutudtuda)( )9 . 3()(uut kzjyix 式中式中 为哈密尔顿算子。为哈密尔顿算子。uutudtuda)( 当地加速度当

15、地加速度质点加速度：质点加速度：迁移加速度迁移加速度第一部分：第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为变化而产生的，称为当地加速度当地加速度（或称局部加速度）（或称局部加速度），或称，或称为为时变加速度时变加速度（定位加速度）（定位加速度）。它表示在固定空间点处，流。它表示在固定空间点处，流体质点由于速度随时间变化而引起的加速度，这是由流场的体质点由于速度随时间变化而引起的加速度，这是由流场的非恒定性引起的，也就是非恒定性所给予流体质点的速度变非恒定性引起的，也就是非恒定性所给予流体质点的速度变化率；化率；第二部分：第二部

16、分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为化而产生的，称为迁移加速度迁移加速度（对流加速度），或称为（对流加速度），或称为位位变加速度变加速度（变位加速度）。它表示在同一时刻，因空间不（变位加速度）。它表示在同一时刻，因空间不同点处流体质点由于速度不同而引起的加速度，即由流场同点处流体质点由于速度不同而引起的加速度，即由流场的不均匀性引起的，也就是流场非均匀时给予流体质点的的不均匀性引起的，也就是流场非均匀时给予流体质点的速度变化率。速度变化率。当地加速度和迁移加速度之和称为当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度总加速度。流体质点加速度

17、流体质点加速度 在坐标轴上的分量，即式（在坐标轴上的分量，即式（3.9）可写为：）可写为：azuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx zuuyuuxuutudtduayzyyyxyyy zuuyuuxuutudtduazzzyzxzzz （3.10）（3）拉格朗日变数和欧拉变数的相互转换）拉格朗日变数和欧拉变数的相互转换 （略）（略）。3.1.2 3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念欧拉法中流体运动的基本概念 在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的性质和特点，将流体的运动区分为各种类型。性质和特点，将流体的运动区分为各种类型

18、。（1 1） 流体的恒定流与非恒定流流体的恒定流与非恒定流恒定流恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、压强、密度等等）均不随时间变化压强、密度等等）均不随时间变化 ，即，即),(zyxuu ),(zyxpp ),(zyx 0 tu0 tp0 t 非恒定流：非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均随时间变流场中所有空间点上一切运动要素均随时间变化化 ，即，即),(tzyxuu ),(tzyxpp ),(tzyx 0 tu0 tp0 t 对于恒定流，对于恒定流，当地加速度等于零，当地加速度等于零，只存在迁移加速度。只存在迁移加速度。等于

19、零等于零uutua)( 加速度加速度恒定流恒定流非恒定流非恒定流（2 2） 迹线与迹线与流线流线1 1、迹线、迹线定义：定义：流场中某一流体质点的运动轨迹。流场中某一流体质点的运动轨迹。它是单个质点在运它是单个质点在运动过程中所占据的空间位置随时间连续变化的轨迹动过程中所占据的空间位置随时间连续变化的轨迹。 tzutyutxuzyxdddddd（t 为自变量为自变量， x, y, z 为为t 的函数的函数 ）属拉格朗日法的研究内容属拉格朗日法的研究内容dtudzudyudxzyx 迹迹线线微微分分方方程程2 2、流线、流线定义：定义：表示流速场内某瞬时流速方向的曲线。在同一时刻，流表示流速场内

20、某瞬时流速方向的曲线。在同一时刻，流线上各线上各空间空间点的流体质点的流速方向均与该曲线相切。点的流体质点的流速方向均与该曲线相切。l 强调的是空间连续质点强调的是空间连续质点而不是某单个质点而不是某单个质点l 形成是在某一瞬间而不形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内是一段连续时间内l 表示的是质点的速度方表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线向而不是空间位置连线属欧拉法的研究内容属欧拉法的研究内容流线的几个性质：流线的几个性质： 流线是一条光滑的连续曲线，流线是一条光滑的连续曲线，不能是折线不能是折线 。 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，流线

21、不能相交流线不能相交和分支和分支。由此还可推断出，流体在不可能穿透的固体边界上沿。由此还可推断出，流体在不可能穿透的固体边界上沿边界法向方向的流速分量为零，流向与边界方向重合。边界法向方向的流速分量为零，流向与边界方向重合。 在恒定流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹在恒定流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非恒定流动中，由于各空间点上速度随时间变化，线重合。在非恒定流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。流线的形状和位置是在不停地变化的。流线微分方程流线微分方程 速度矢量速度矢量通过该点流线上的微元线段通过该点流线上的微元线段速度

22、与流线相切速度与流线相切dd0dd0dd0 xyyzzxuyuxuzuyuxuzkujuiuuzyx kdzjdyidxsd dddxyzxyzuuu（3.21）0 dzdydxuuukjisduzyx【例例3.13.1】速度场速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数）为常数） 求求:（1）流线方程及）流线方程及t=0、1、2时流线图；时流线图； （2）迹线方程及）迹线方程及t=0时过（时过（0，0）点的迹线。）点的迹线。btdyadx cxabty oyxc=0c=2c=1t=1时流线时流线xt=0时流线时流线oyc=0c=2c=1oyxc=0c=2c=1t=2时流线时流线流线方程

23、流线方程积分：积分：【解解】（1）流线：）流线：yxudyudx （2）迹线）迹线dtbtdyadx dtadx dtbtdy 222xaby 迹线方程（抛物线）迹线方程（抛物线）oyx注意：流线与迹线不重合注意：流线与迹线不重合 txatxadtdx00 tytbybtdtdy0202 即即流线方程（双曲线流线方程（双曲线）【例例3.23.2】 已知速度已知速度ux=x+t，uy=y+t 求：在求：在t=0时过（时过（1，1）点的流线和迹线方程。）点的流线和迹线方程。1 xytydytxdx 【解解】（1）流线：）流线：t=0时，时，x=1，y=1c=0ctytx )(ln(积分：积分：（2

24、）迹线：）迹线：dttydydttxdx tydtdytxdtdx 1121 tecytecxtt由由t=0时，时，x=1，y=1得得c1=c2=011 tytx迹线方程（直线）迹线方程（直线）2 yx（3 3）若恒定流：）若恒定流： ux=x，uy=y注意：恒定流中流线与迹线重合注意：恒定流中流线与迹线重合1 xy流线方程流线方程1 xy迹线方程迹线方程（3 3） 流管、元流、总流和流量流管、元流、总流和流量1 1流管：流管：在流场中取任一封闭曲线（不是流线），在同一时在流场中取任一封闭曲线（不是流线），在同一时刻由通过该曲线上每一点的流线所围成的管状面，称为刻由通过该曲线上每一点的流线所围

25、成的管状面，称为流管流管。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。1u2u另外，在非恒定另外，在非恒定流中，流速是变流中，流速是变化的，所以流管化的，所以流管一般也随时间而一般也随时间而变，只具有瞬时变，只具有瞬时的意义。的意义。 由流线的定义知，流体不可能穿过流管表面流出或流入。由流线的定义知，流体不可能穿过流管表面流出或流入。图图3.4 流管和流束流管和流束1u2u2 2元流元流（或称为（或称为流束流束） ：充满于微小流管内的流体称为充满于微小流管内的流体称为元流元流。（或：（或：过流管横截面上各点作流线，得到的充满流管的一束流过流管横截面上

26、各点作流线，得到的充满流管的一束流线簇，称为流束，即元流。）线簇，称为流束，即元流。）当元流的断面面积趋近于零时，当元流的断面面积趋近于零时，元流将达到它的极限：流线。元流将达到它的极限：流线。 垂直于元流流垂直于元流流向的横断面称为向的横断面称为元元流的过流断面流的过流断面，其，其面积用面积用dA表示。因表示。因dA是微小面积，故是微小面积，故其上各点的流速和其上各点的流速和压强都可认为是均压强都可认为是均匀分布的。匀分布的。3 3总流总流: : 由无数元流组成的整股水流由无数元流组成的整股水流称为称为总流总流。 与总流中所有元流流线相垂直的横断面称为与总流中所有元流流线相垂直的横断面称为总

27、流的过流总流的过流断面断面，其面积以，其面积以A表示。过流断面一般为曲面，只有在流线表示。过流断面一般为曲面，只有在流线平行的情况下，过流断面才是平面。平行的情况下，过流断面才是平面。 自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：流的边界情况，可以把总流流动分为三类：（1 1）有压流动）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即流总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。体充满流道，如压力水管中的流动。（2 2）无压流动）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另一总流边界的

28、一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。（3 3）射流）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。口的流动。流量：流量：单位时间内通过过流断面的流体体积称为单位时间内通过过流断面的流体体积称为体积流量体积流量，简称简称流量流量，以，以Q表示。其单位为表示。其单位为m3/s、L/s等。等。 单位时间内通过过流断面的流体质量称为单位时间内通过过流断面的流体质量称为质量流量质量流量，以以Qm表示，其单位为表示，其单位为kg/s等。等。 在工程计算中为了便于应用，引入平均

29、流速的概念。在工程计算中为了便于应用，引入平均流速的概念。平平均流速均流速是一个假想的流速，即假定在过流断面上各点都以相是一个假想的流速，即假定在过流断面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该过流断面上的体积流量仍与同的平均流速流过，这时通过该过流断面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的流量相同。各点以真实流速流动时所得到的流量相同。 （4 4） 一元流、二元流和三元流一元流、二元流和三元流一元流（一维流动）：一元流（一维流动）：如果流动要素（流速、压强等）只是如果流动要素（流速、压强等）只是时间时间t 和一个空间坐标的函数，那么这种流动称之为和一个空间坐标的函数，那么这种流动称之为

30、一元流一元流。 如果元流的运动只与流程坐标如果元流的运动只与流程坐标 s 有关，该元流为一元有关，该元流为一元流。但总流往往不是一元流，例如河道、渠道、管道中，流。但总流往往不是一元流，例如河道、渠道、管道中，流动要素是三个坐标的函数。有时为了简化分析，忽略断流动要素是三个坐标的函数。有时为了简化分析，忽略断面上其它因素的影响，把断面流速看作是分布均匀的，即面上其它因素的影响，把断面流速看作是分布均匀的，即用平均流速代替实际流速，通过这样处理以后，总流的运用平均流速代替实际流速，通过这样处理以后，总流的运动要素就仅仅是时间动要素就仅仅是时间 t 和流程和流程 s 的函数，可以作为一元流的函数，

31、可以作为一元流动来处理。动来处理。 二元流（二维流动）：二元流（二维流动）：若流动要素是时间若流动要素是时间 t 和两个空间坐标和两个空间坐标的函数，这种流动称为的函数，这种流动称为二元流二元流。二元流或近似二元流是实际。二元流或近似二元流是实际流动中常见的流动。流动中常见的流动。例如，水在宽浅矩形渠道中的流例如，水在宽浅矩形渠道中的流动动 。水渠宽度很大，两侧边壁对。水渠宽度很大，两侧边壁对流速分布的影响可忽略不计，流流速分布的影响可忽略不计，流速可看作是水流方向坐标速可看作是水流方向坐标x和水深和水深方向坐标方向坐标y的函数，可作为二元流。的函数，可作为二元流。二元流动也称为二元流动也称为

32、平面流动平面流动，它表，它表明若沿某一方向截取各个剖面，明若沿某一方向截取各个剖面，流动情况都是一样的。流动情况都是一样的。三元流（三维流动）：三元流（三维流动）：若流动要素是时间若流动要素是时间 t 和三个空间坐标和三个空间坐标的函数，则这种流动称为的函数，则这种流动称为三元流三元流。例如，空气绕地面建筑物。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然河道中的流动等等。三元流动分析很复杂，的流动、水在自然河道中的流动等等。三元流动分析很复杂，所以通常根据具体情况将其简化为二元流或一元流来研究，所以通常根据具体情况将其简化为二元流或一元流来研究，在简化过程中引进修正系数，系数可通过实验确定。在简化过

33、程中引进修正系数，系数可通过实验确定。 均匀流均匀流（5 5） 均匀流和非均匀流均匀流和非均匀流均匀流：均匀流：是指流线为直线且相互平行的流动。是指流线为直线且相互平行的流动。 均匀流中，过流断面是平面，过流断面上的流速分布图均匀流中，过流断面是平面，过流断面上的流速分布图沿程不变。沿程不变。非均匀流非均匀流非均匀流：非均匀流：流线或者是不平行的直线，或者是曲线的流动。流线或者是不平行的直线，或者是曲线的流动。 非均匀流中，过流断面是曲面，各过流断面面积及其流非均匀流中，过流断面是曲面，各过流断面面积及其流速分布图沿程是变化的。速分布图沿程是变化的。1-2 1-2 非均匀流非均匀流2-3 2-

34、3 非均匀流非均匀流3-4 3-4 均匀流均匀流4-5 4-5 非均匀流非均匀流（6 6） 渐变流（渐变流（缓变流缓变流）和急变流）和急变流渐变流和急变流：渐变流和急变流：非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓急程度又可分为渐（缓）变流和急变流两种。的缓急程度又可分为渐（缓）变流和急变流两种。 在非均匀流中，流线之间的夹角在非均匀流中，流线之间的夹角较小、流线曲率较小较小、流线曲率较小（或曲率半径（或曲率半径 r 较大）的流动称为较大）的流动称为渐变流渐变流。渐变流是一种流。渐变流是一种流线几乎平行又近似直线的流动，其极限情况就是均匀流。渐线几乎平行又近似

35、直线的流动，其极限情况就是均匀流。渐变流的过流断面可看作平面，但是渐变流各个过水断面的形变流的过流断面可看作平面，但是渐变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布也状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布也是沿程逐渐改变的。而流线之间的夹角是沿程逐渐改变的。而流线之间的夹角较大，流线曲率较大较大，流线曲率较大（或流线曲率半径（或流线曲率半径 r 较小），或两者兼而有之的流动称为较小），或两者兼而有之的流动称为急急变流变流。1-2 1-2 渐变流渐变流2-3 2-3 急变流急变流3-4 3-4 均匀流均匀流4-5 4-5 急变流急变流c-cc-c 渐变流渐变

36、流急变流急变流渐变流渐变流渐变流渐变流渐变流渐变流渐变流渐变流渐变流渐变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流渐变流和急变流渐变流和急变流应该指出：应该指出：以上这些流动的分类并没有明显的界限，没有具以上这些流动的分类并没有明显的界限，没有具体的定量指标，所以分类只有相对的意义。在判别实际流体体的定量指标，所以分类只有相对的意义。在判别实际流体属于何种类型时，应根据具体情况作出判断。属于何种类型时，应根据具体情况作出判断。【解解】 (1) 由式（由式（3.10），），x方向加速度方向加速度在（在（2，4）点，）点，得得ax=4m/s2 ， 类似地可求得类似地可求得ay=6m/s22

37、22/21. 7smaaayx 【例例3.33.3】已知速度场为已知速度场为 （1）t=2s时在（时在（2，4）点上的加速度是多少？（）点上的加速度是多少？（2）恒）恒定流还是非恒定流？（定流还是非恒定流？（3）均匀流还是非均匀流？）均匀流还是非均匀流？j txyi txyu)96()64( yuuxuutuaxyxxxx )4()96()6()64()64(ttxyttxyxy xyttxy64)661)(64(22 （2） 时变加速度时变加速度时变加速度不等于零，速度场随时间变化，所以是非恒流。时变加速度不等于零，速度场随时间变化，所以是非恒流。（3）迁移加速度迁移加速度0)()()( j

38、yuuxuuiyuuxuuuuyyyxxyxx无迁移加速度，所以是均匀流。无迁移加速度，所以是均匀流。jtuitutuyx 0)96()64( jxyixy3-2 3-2 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 流体运动是一种连续介质的连续运动，所以遵循物理流体运动是一种连续介质的连续运动，所以遵循物理学中的学中的质量守恒定律。质量守恒定律。3.2.1 3.2.1 流体的连续性微分方程流体的连续性微分方程oyxzdmxdxdydzxdm 在流场中任取一个在流场中任取一个微小正交六面体。六面微小正交六面体。六面体的各边分别与直角坐体的各边分别与直角坐标系各轴平行。标系各轴平行。dt 时间内时间

39、内x方向：方向：dydzdtdxxuudmxxx )( dxdydzdtxudmdmMxxxx )( oyxzdmxdxdydzxdmdydzdtudmxx 流入质量流入质量流出质量流出质量净流入质量净流入质量同理：同理：dxdydzdtyuMyy )( dxdydzdtzuMzz )( dt 时间内，时间内，微小六面微小六面体总净流入质量：体总净流入质量：zyxMMMM dxdydzdtu dxdydzdtzuyuxuzyx )()()( 由由质量守恒质量守恒定律定律：微小六面微小六面体总净流入质量，必体总净流入质量，必等于等于dt 时段时段内六面内六面体内体内流体质量的变化量（增加或减少量

40、），而流体质量的变化量（增加或减少量），而流体质流体质量的变化量是量的变化量是由于由于六面体内流体六面体内流体密度变化密度变化引起的引起的，即，即dtdxdydzt dxdydzdtzuyuxuzyx )()()( )32. 3(0)()()( zuyuxutzyx 可压缩流体欧拉可压缩流体欧拉连续性微分连续性微分方程方程。 0 ut 不可压缩流体不可压缩流体0 uc )23. 3(0 zuyuxuzyx不可压缩流体不可压缩流体（三维流动的三维流动的）欧拉）欧拉连续性微分连续性微分方程方程，对恒对恒定流和非恒定流均适用。定流和非恒定流均适用。不可压缩流体二维流动的连续性方程不可压缩流体二维流动

41、的连续性方程0 yuxuyx物理意义：物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。的体积流量相等。 连续性方程表明，流场中流速连续性方程表明，流场中流速u的空间变化是彼此关联、相的空间变化是彼此关联、相互制约的，不可独立地任意进行。它必须受连续性方程的约束，互制约的，不可独立地任意进行。它必须受连续性方程的约束，否则流体运动的连续性将遭到破坏，而不能维持正常运动。否则流体运动的连续性将遭到破坏，而不能维持正常运动。【例例3.3

42、3.3】已知速度场已知速度场 221xyux xyuy21 tzuz21 2t 此流动是否可能出现？此流动是否可能出现？【解解】由连续性方程：由连续性方程：zuyuxutzyx )()()( 0)2(2)2(2 txxt满足连续性方程，此流动可能出现。满足连续性方程，此流动可能出现。【例例3.43.4】在三元不可压缩流中，已知在三元不可压缩流中，已知3,52222 zyuzxuyx求满足连续性方程的求满足连续性方程的 uz 表达式。表达式。【解解】由连续性方程，得由连续性方程，得)(yuxuzuyxz )(2yx dzyxdzzuuzz)(2Czyx )(2上式上式C可以是常数，也可以是与可以

43、是常数，也可以是与z无关的一函数无关的一函数f(x,y)，故：，故：),()(2yxfzyxuz （1）恒定流动，该段流管的形状、位置不随时间发生变）恒定流动，该段流管的形状、位置不随时间发生变化；化；（2）没有流体穿过流管，即从侧面流入和流出；）没有流体穿过流管，即从侧面流入和流出；（3）流体只能由两端的过流断面流入和流出。）流体只能由两端的过流断面流入和流出。3.2.2 3.2.2 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程 在总流中取一流管，设该流管满足：在总流中取一流管，设该流管满足：根据质量守恒定律，在根据质量守恒定律，在 时间内时间内 dt)24. 3(222111dAudAu 若为

44、不可压缩均质流体，若为不可压缩均质流体， ，所以有，所以有21 )25. 3(2211dAudAu 又又 ，得不可压缩流体元流连续性方程：，得不可压缩流体元流连续性方程：udAdQ )26. 3(2211dAudAudQ 恒定总流连续性方程：恒定总流连续性方程：)27. 3(221121dAudAudQQAAQ 引入引入断面平均流速断面平均流速AQdAudAvAA 则有：则有： AAvAdAvudAQ)28. 3()29. 3(2211AvAvQ 上式为上式为恒定总流连续性方程式恒定总流连续性方程式，适用于理想流体，也适用，适用于理想流体，也适用于粘性（实际）流体，同时也是用于非恒定流中任一瞬

45、时于粘性（实际）流体，同时也是用于非恒定流中任一瞬时的流动情况。的流动情况。 若沿途有流量流进或流出，总流的连续性方程仍然适用，若沿途有流量流进或流出，总流的连续性方程仍然适用，如图如图3.8所示：所示：)30. 3(,221133213AvAvAvQQQ )31. 3(,221155442154AvAvAvAvQQQQ 【例例3.53.5】如图如图3.83.8所示汇流分叉管路，已知流量所示汇流分叉管路，已知流量smQsmQ/5 . 1,/6 . 23233 过流断面过流断面1-1的面积的面积 求断面求断面1-1的平均流速。的平均流速。,2 . 021mA 【解解】根据分叉管流动根据分叉管流动

46、的连续性，有的连续性，有231QQQ smAQv/5 . 52 . 01 . 1111 sm /1 . 15 . 16 . 23 作业：作业： 习题三习题三 P 433.93-3 3-3 流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团：流体微团：指由大量流体质点组成的微小流体团。指由大量流体质点组成的微小流体团。刚体刚体平移、旋转平移、旋转流体流体平移、平移、变形（线变形、角变形）、变形（线变形、角变形）、旋转旋转具有流动性，极易变形具有流动性，极易变形如图：在流场中，时刻如图：在流场中，时刻 t 任取一正交六面体流体微团，在微任取一正交六面体流体微团，在微小时段小时段t 之后，该微团将运动到新

47、位置，一般其形状和大之后，该微团将运动到新位置，一般其形状和大小将发生变化，变成斜平行六面体。小将发生变化，变成斜平行六面体。平移平移线变形线变形旋转旋转角变形角变形平平 移移平移平移+线变形线变形平移平移+角变形角变形平移平移+旋转运动旋转运动如图如图3.10 ，以平面流体，以平面流体ABCD为例，边长为微小量。设为例，边长为微小量。设A点的点的流速分量为流速分量为ux和和uy ，B，C，D点的流速分量如图所示：点的流速分量如图所示：yyuudyyyyyuuudydxyxxxuudxxyyuudxxxxuudyyuxuyxxxuuudxdyxyACDB流体微元的速度：流体微元的速度：3.3.

48、2 3.3.2 线变形速率（线变率）线变形速率（线变率）3.3.1 3.3.1 平移平移 平移不改变六面体流体微团的形状、大小和方向，平移不改变六面体流体微团的形状、大小和方向，平移平移速度：速度：ux，uy，uzx方向线变形方向线变形txtxxututxxuuxxxxx AB，CD，速度变化量速度变化量xxux t 内内线变形线变形x方向线变形速率方向线变形速率xutxtxxuxxxx )/()( 是单位时间微团沿是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）。方向相对线变形量（线变形速度）。同理：同理：yuyyy zuzzz 由连续性方程可知，不可压缩流体由连续性方程可知，不可压缩流体存

49、在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因。存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因。)35. 3(0 zuyuxuzyxzzyyxx 这表明对于不可压缩流体，三个方向的线变形率之和（也这表明对于不可压缩流体，三个方向的线变形率之和（也就是体积变形率）为零。就是体积变形率）为零。AA BCB C DD txxuxx txxuy tuy tyyuyx tyyux t 11 t 22 xyO3.3.3 3.3.3 角变形速率（角变率）角变形速率（角变率）逆时针方向的转角为正逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负顺时针方向的转角为负 AB与与AC两正交边长夹角的变化与该两边的转动有关。

50、两正交边长夹角的变化与该两边的转动有关。由于由于B在在y方向上的分速比方向上的分速比A点在点在y方向的分速有增量方向的分速有增量xxuy 所以所以AB边将产生逆时针方向转动。边将产生逆时针方向转动。设在设在t 时段内转到时段内转到 的位置，则的位置，则AB的转角为：的转角为：BA txuxtxxutyy 11式中，式中， 称为称为AB边的边的旋转角速度旋转角速度（简称（简称角转速角转速）。）。xuy 1 同时，同时，AC边也作逆时针转动，设在边也作逆时针转动，设在t 时段内转到时段内转到 的位的位置，则置，则AC的旋转角速度为：的旋转角速度为：CA yux 2 转角为转角为tyutx 22从图

51、从图3.10可以看出，当可以看出，当AB边按逆时针转动，即边按逆时针转动，即1 1 为正值时，为正值时，夹角夹角/2 减小，反之，夹角增大；而减小，反之，夹角增大；而AC边转动的效果恰与边转动的效果恰与AB边相反。边相反。t 时段内夹角的变形，就是原来夹角与变形后夹时段内夹角的变形，就是原来夹角与变形后夹角之差，因此有角之差，因此有)36. 3()()2(2212121t 存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因。形的原因。单位时间夹角的变形为单位时间夹角的变形为)37. 3(21 t 流体力学中把上式的一半定义为流体力学中把上式的一

52、半定义为流体微团的角变形率流体微团的角变形率（简称（简称角变率角变率），也称），也称xOy平面上的角变率，记为平面上的角变率，记为xy 或或 yx，即即)38. 3()(21)(212121yuxudtdxyyxxy 将上述分析结论推广到将上述分析结论推广到A点的另外两个流体面，得流体微点的另外两个流体面，得流体微团团yOz和和zOx平面的角变形速率：平面的角变形速率：)39. 3()(21zuyuyzzyyz )40. 3()(21xuzuzxxzzx 3.3.4 3.3.4 旋转角速度（角转率）旋转角速度（角转率） 流体力学中把流体面流体力学中把流体面ABCD 相互垂直的两面的角转速的相互

53、垂直的两面的角转速的平均值定义为平均值定义为流体微团的旋转角速度在垂直于该平面方向上流体微团的旋转角速度在垂直于该平面方向上的分量，即绕的分量，即绕z轴的角速度分量轴的角速度分量，即，即)41. 3()(21)(2121yuxuxyz 同理：同理：)42. 3()(21zuyuyzx )43. 3()(21xuzuzxy 3.3.5 3.3.5 流体微团运动的组合表达流体微团运动的组合表达 根据以上的各定义式，可将空间流体微团中任一点的根据以上的各定义式，可将空间流体微团中任一点的运动表示成平移运动、绕轴转动以及变形运动的叠加。运动表示成平移运动、绕轴转动以及变形运动的叠加。 设流场中任一点设

54、流场中任一点o的流速分量为的流速分量为 ，距，距o点点ds（在各轴上的投影为（在各轴上的投影为dx，dy，dz）处某点的流速分量为）处某点的流速分量为zoyoxouuu,xu 。设。设zyuu ,zozozyoyoyxoxoxduuuduuuduuu ,将将 泰勒展开略去二阶以上项，得泰勒展开略去二阶以上项，得 xu)44. 3()()()(dzzudyyudxxuduozoyoxxo 将上式代入将上式代入 ，并进行配项整理，可得：，并进行配项整理，可得：xu(3.45)dz21d21dy21d21d)(ooooo xuzuzxuzuxuyuyxuyuxxuuuzxzxyxyxxxoxdzzu

55、dyyudxxuuduuuozoyoxxoxoxox)()()( )(21dzxudyxuzy dzdzdydydxuuxzyxyzxxxox )46. 3(dzdydxdydzuxzxyxxzyxo )47. 3(dxdzdydzdxuuyxyzyyxzyoy 同理：同理：)48. 3(dydxdzdxdyuuzyzxzzyxzoz 以上三式右边第一项为平移速度，第二、三项为转动以上三式右边第一项为平移速度，第二、三项为转动产生的速度增量，第四、五、六项则为线变形和角变形引起产生的速度增量，第四、五、六项则为线变形和角变形引起的速度增量。所以，除平移外，流体微团的运动状态在一般的速度增量。所以，除平移外，流体微团的运动状态在一般情况下需要情况下需要 九个独立的分九个独立的分量来描述。量来描述。zyxxyzxyzzzyyxx ,3.4 3.4 无旋运动（无涡流）和无旋运动（无涡流）和 有旋运动（有涡流）有旋运动（有涡流）无旋流动：无旋流动：流体在流动中，流体在流动中，如果在整个流场中各处的流体如果在整个流场中各处的流体微团的旋转角速度为零，因而不存在旋转运动的流动称为微团的旋