参数估计方法及其应用

1、参数估计方法及其应用参数估计方法及其应用数理统计的基本概念数理统计的基本概念 总体总体个体个体样本样本常用统计量的分布常用统计量的分布分位点分位点统计量统计量常用统计量常用统计量t分布分布 F分布分布分分布布2 一、总体与个体一、总体与个体 一个统计问题总有它明确的研究对象一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体研究对象的全体称为总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体然而在统计研究中，人们往往关心每个个体然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项的一项 (或几项

2、或几项)数量指标和该数量指标在总数量指标和该数量指标在总体中的分布情况体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数这时，每个个体具有的数量指标的全体就是量指标的全体就是总体总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体总体就是一个概率分布总体就是一个概率分布. . 由于每个个体的出现带有随机性，即相由于每个个体的出现带有随机性，即相 应的数量指标值的出现带有随机性。从而可应的数量指标值的出现带有随机性。从而可 把此种数量指标看作随机变量，我们用一个

3、把此种数量指标看作随机变量，我们用一个 随机变量或其分布来描述总体。为此常用随随机变量或其分布来描述总体。为此常用随 机变量的符号或分布的符号来表示总体。机变量的符号或分布的符号来表示总体。 如如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.二、随机样本的定义二、随机样本的定义1. 样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.

4、 所抽取的部分个体称为样本样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量样本容量.(X1, X2, , Xn)2. 简单随机样本简单随机样本抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断推断, 这就要求样本能很好的反映总体的特性这就要求样本能很好的反映总体的特性, 且且便于处理便于处理. 为此为此, 需对抽样提出一些要求需对抽样提出一些要求, 通常有通常有两条两条:满足上述两条性质的样本称为简单随机样本简单随机样本. .1. 代表性代表性： X1,X2, Xn中每一个与所考察的总体中每一个与所考察的总体 X有相同的分布有相同的分布.2. 独立性独立

5、性： X1,X2, Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.1212( ),( ),( ) )nn以、设设是是分分布布函函数数的的随随机机变变量量若若是是具具有有同同一一分分布布函函数数相相互互独独立立的的随随机机变变量量, ,则则称称为为从从总总体体或或总总体体中中抽抽取取的的容容量量为为的的简简单单随随机机样样本本, ,简简称称样样本本. .XF xXXXF xXXXXF xn.,21个独立的观察值个独立的观察值的的又称为又称为称为样本值称为样本值它们的观察值它们的观察值nXxxxn3.3.简单随机样本的分布简单随机样本的分布).(),(), 2 , 1)()3().(),(),()

6、2().(),(),()1(.),(121*12112121 niiniiniinniinnxpXXXixpxXPXxpXXXxpXxFXXXxFXXXXX的分布率为的分布率为则样本则样本的分布率为的分布率为若总体若总体的分布密度为的分布密度为则样本则样本的分布密度为的分布密度为若总体若总体的分布函数为的分布函数为则样本则样本的分布函数为的分布函数为若总体若总体的样本的样本为来自总体为来自总体设设例例1 1.),(,),( ,)0(2121的概率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本布布的指数分的指数分服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概

7、率密度为总体总体 X0, 00,)(xxexpx, 21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121niinnxpxxxp 其其它它, 00,1ixnxenii 例例2 2.),(,),(, 10), 1(2121的的分分布布律律求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本其其中中服服从从两两点点分分布布设设总总体体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独立因为因为nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分

8、布律为所以所以),( 21nXXX,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx三、统计量三、统计量1. 统计量的定义统计量的定义12121212,(,), (,).nnnn若若中中不不含含未未知知参参数数设设是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本是是的的函函数数则则称称是是一一个个统统计计量量XXXXf XXXXf XXfXXX 使用样本推断总体特征使用样本推断总体特征,需要对样本值进行需要对样本值进行“加加工工”,“提炼提炼”.这就需要构造一些样本的函数这就需要构造一些样本的函数,它

9、把样它把样本中所含的信息集中起来本中所含的信息集中起来.例例1 1?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是统统计计量量判判断断下下列列各各式式哪哪为为未未知知为为已已知知其其中中样样本本的的一一个个是是来来自自总总体体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是2. 2. 几个常用统计量几个常用统计量( (样本矩样本矩) )的定义的定义.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平

10、均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差niinXXnS122)(1.1122niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息其观察值其观察值niinxxns122)(1.1122niixnxn(3)样本标准差样本标准差;1122niinnXXnSS其观察值其观察值.)(112niinxxns(4)修正修正样本方差样本方差niinXXnS122*)(11.11122niiXnXn其观察值其观察值(5) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值.,21

11、11kxnanikik(6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikikniinxxns122*)(11.11122niixnxn样本矩具有下列性质样本矩具有下列性质:.)()4(;)()3(;)()2(;)() 1 (:,),(,)(,)(22*21221212nnnnnnSESEXDXEXXXXXDXEX则有的样本为来自总体方差的期望设总体3. 3. 经验分布函数经验分布函数, 的的一一个个样样本本是是总总体体设设XXXXn21),()()2()1(nXXX.),(的的次次序序统统计计量量的的样样

12、本本为为总总体体nXXXX21称称函函数数是是任任一一实实数数设设为为其其观观测测值值,),()()()(xxxxn21 ., 1, 0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF四、常见分布四、常见分布12222212222,(0, 1)( ).nnnnnn设设相相互互独独立立，同同服服从从分分布布, ,则则称称统统计计量量服服从从自自由由度度为为的的分分布布, ,记记为为XXXNXXX 分布分布2 常用统计量的分布常用统计量的分布(一一)常用统计量的分布常用统计量的分布( (二二) )分布分布t).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服

13、从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 常用统计量的分布常用统计量的分布( (三三) )分布分布F).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点1分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn 常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点2.)()(d)()(,

14、 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttPnt 分布的分位点分布的分位点 t关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体的样本和方差的定理定理一定理一)./,(, ,),(,2221nNXXNXXXn 则有则有是样本均值是样本均值的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设定理二定理二.SX(2)nSn(1),SX,NXXXnnnn独立独立与与则有则有样本方差样本方差分别是样本均值和修正分别是样本均值和修正的样本的样本是总体是总体设设2*222*2*221);1() 1(,),(,关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体

15、的样本和方差的定理).1(/,),(,*2*221ntnSX,SX,NXXXnnn则则有有样样本本方方差差分分别别是是样样本本均均值值和和修修正正样样本本的的是是总总体体设设定理三定理三关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体的样本和方差的定理则有则有正方差正方差分别是这两个样本的修分别是这两个样本的修值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本总体总体具有相同方差的两正态具有相同方差的两正态分别是分别是与与设设,YYnSXXnS,YnYXnX,N,NYYYXXXniiniiniinii21nn2121211222*21212*1121

16、1222121)(11,)(111,1),(),(,定理四定理四, (2);1, 1(/(1)222212122212*22*1时时当当nnFSS.,2) 1() 1(),2(11)()(2212*222*112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX其中其中参数估计参数估计方法矩估计量矩估计量估计量的评选估计量的评选最大似然最大似然估计量估计量似然函数似然函数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间与上间与上下限下限有效性有效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间求置信区间的步骤的步骤相合性相合性一、参数的点估计一、参数的点估计 参数估计问题是利用从

17、总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率估计废品率估计新生儿的平均体重估计新生儿的平均体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计平均降雨量估计平均降雨量参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数为为 F(x，)，其中，其中为未知参数。为未知参数。在参数估计问题中，假定总体分布形在参数估计问题中，假定总体分布形式已，未知的仅仅是一个或几个参数式已，未知的仅仅是一个或几个参数.现从该总体中抽取样本( ).gX1, X2, , Xn要依据该

18、样本对参数要依据该样本对参数作出估计，或估计作出估计，或估计的某个已知函数的某个已知函数这类问题称为参数估计这类问题称为参数估计.1、点估计问题的提法、点估计问题的提法 设总体设总体X 的分布函数形式已知的分布函数形式已知, 但它的一个或但它的一个或多个参数为未知多个参数为未知, 借助于总体借助于总体X的一个样本来估计的一个样本来估计总体未知参数的问题称为总体未知参数的问题称为点估计问题点估计问题.1212(,),( ,).nnXXXx xx点估计问题就是要构造一个适当的统计量用它的观察值来估计未知参数.),(21的估计量的估计量称为称为 nXXX.),(21的估计值的估计值称为称为 nxxx

19、., 简记为简记为通称估计通称估计 例例1 1,0,150,.X在某纺织厂细纱机上的断头次数是一个随机变量 假设它服从以为参数的泊松分布参数 为未知 现检查了只纱锭在某一时间段内断头的次数 数据如下 试估计参数15011293260456543210knkk次的纱锭数次的纱锭数断头断头断头次数断头次数.,的的估估计计值值作作为为参参数数把把的的观观察察值值再再计计算算出出先先确确定定一一个个统统计计量量 xxXX解解.133. 1 x.133. 1的的估估计计值值为为 2 2、估计量的求法、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数, 是随机变量是随机变量, 故故对不同的样本值

20、对不同的样本值, 得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同, 求估求估计量的问题是关键问题计量的问题是关键问题.估计量的求法估计量的求法: (两种两种)矩估计法和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法.矩估计法矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方法思想建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的 .记总体记总体k阶矩为阶矩为)(kkXE 样本样本k阶矩为阶矩为;, 2, 1,11 kXnAnikik 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体

21、矩,用样本矩的连续函数用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法这种估计法称为矩估计法.12, ,XnX XX设是来自总体 的样本矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤: :klXnAAnililll, 2 , 1;1,).2(1 令令.,21的的方方程程组组个个未未知知参参数数这这是是一一个个包包含含kk ,).3(21k 解出其中解出其中klXEkll, 2 , 1),()().1(21 求出求出.,表示表示用用k21.,量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量的的分别作为分别作为用方程组的解用方

22、程组的解kk ,).4(2121)(P设总体设总体X服从泊松分布服从泊松分布求参数求参数的估计量的估计量.nXXX,21)(XEXXniin 11 解：解：设设是总体是总体 X 的一个的一个样本样本,由于由于,可得可得例 2例例 3 3.,),( ,21的矩估计量的矩估计量求求的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体baXXXXbabaXn解解)(XE1 ,2ba )(22XE ,41222baba 2)()(XEXD ,1211 niiXnAba令令2224)(12)(Ababa ,112 niiXn例例3 3续续 )(1222121AAa

23、bAba即即解方程组得到解方程组得到a, b的矩估计量分别为的矩估计量分别为)(32121AAAa ,)(312 niiXXnX)(32121AAAb ,)(312 niiXXnX例例4 4.,),( ,)10(), 2 , 1()1(,211的矩估计量的矩估计量求求的样本的样本体体是来自总是来自总未知未知其中其中即有分布律即有分布律服从几何分布服从几何分布设总体设总体pXXXXppkppkXPXnk 解解)(XE 11)1( kkppk,1p ,11XAp 令令.1的矩估计量的矩估计量为所求为所求pXp 总体均值与方差的矩估计量的表达式，总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而

24、异不因不同的总体分布而异. .的矩估计量的矩估计量即得即得未知未知例例222, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn一般地一般地:,的的均均值值的的矩矩估估计计作作为为总总体体用用样样本本均均值值XXnXnii 11.)(1212的的方方差差的的矩矩估估计计作作为为总总体体用用样样本本二二阶阶中中心心矩矩XXXnBnii 矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行, 缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性 .最大（极大）似然估计法最大（极大）似然估

25、计法最大似然法是在总体类型已知条件下使用最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯在高斯在1821年提出的年提出的 .GaussFisher 英国统计学家费歇在英国统计学家费歇在1922年年重新发现了这一方法，并首先重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质研究了这种方法的一些性质 .1.1.似然函数似然函数（或分（或分设总体设总体X的分布律为的分布律为; xpxXP，其中，其中 m ,.,21 是未知参数，是未知参数， nXXX,.,21是总体是总体X的一个样的一个样nXXX., 21 或或分分布布密密度

26、度为为 布密度为布密度为 ）);( xp本，则样本本，则样本 niixp1; ，当给定样本值，当给定样本值 nxxx,.,21后，它只是参数后，它只是参数的函数，记为的函数，记为 L即即 niixpL1; 的分布律的分布律2.2.最大似然估计法最大似然估计法定义定义X设总体设总体 的分布密度（或分布律）为的分布密度（或分布律）为 ，其中，其中 为未知参为未知参数。又设数。又设 是总体是总体 的一个样的一个样本值，如果似然函数本值，如果似然函数）（nxxx,.,21).,21m ，（);(xpX niixpL1; 替换成样本替换成样本处处达达到到最最大大值值，则则称称分别为分别为m,.,21似然

27、估计值。似然估计值。 m ,.,21 在在m .,21，需要注意的是，最大似然估计值需要注意的是，最大似然估计值i 依赖于样本值，即依赖于样本值，即 niixxx,.,21mi.,2 , 1若将上式中样本值若将上式中样本值nxxx,.,21nXXX,.,2, 1则则所得的所得的 niiXXX.,21 的最大的最大称为参数称为参数i 的最大似然估计量。的最大似然估计量。 由于由于 niixpL1,lnln而而 Lln与与 L在同一在同一 处达到处达到最大值，最大值，为最大似然估计的必要条件为为最大似然估计的必要条件为 ln01, 2 , .,iiiLim，称它为似然方程，其中称它为似然方程，其中

28、 m ,.,21 因此，因此， 例例6 6.,), 1(21的最大似然估计量的最大似然估计量求求个样本个样本的一的一是来自是来自设设pXXXXpBXn,2121一个样本值一个样本值的的为相应于样本为相应于样本设设nnXXXxxx解解1 , 0,)1(1 xppxXPXxx的分布律为的分布律为似然函数似然函数iixnixpppL 11)1()(,)1(11 niiniixnxpp),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii , 01)(lndd11 pxnpxpLpniinii令令的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 p.11xxnpnii 的最大似然估计量为的最大似然估计量为p.

29、11XXnpnii 这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.例例6 6续续二、估计量的评价标准二、估计量的评价标准 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那那么那一个估计量好？好坏的标准是什么一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.无偏性、有效性无偏性、有效性 、相合性相合性无偏估计无偏估计的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的的分分布布中中的的待待估估参参数数是是包包含含在在总总体体 X )(的的取取值值范

30、范围围是是 . ,)(的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量定义,)()(,. EEXXXn2126无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.例例7 7.1 , ,)1()(121的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩总总体体服服从从什什么么分分布布论论的的一一个个样样本本，试试证证明明不不是是又又设设存存在在阶阶矩矩的的设设总总体体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证证同分布，同分布，与与因为因为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k . 的无偏估计的

31、无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩故故kkkAk 例例8 8).()(1 , , , 0 , 122222即不是无偏估计即不是无偏估计有偏的有偏的是是的估计量的估计量则则均为未知均为未知若若都存在的总体都存在的总体方差方差对于均值对于均值 niiXXn 证证 niiXXn12221 ,22XA 22)( AE因为因为,22 22)()()( XEXDXE 又因为又因为,22 n)()( 222XAEE 所以所以)()(22XEAE 例例8 8续续,122 nn. 2是有偏的是有偏的所以所以 . , 1 2偏偏的的所所得得到到的的估估计计量量就就是是无无乘乘若若以以 nn(这种方法称为

32、这种方法称为无偏化无偏化).)(11222 EnnnnE221*nSnn 因为, )(1112 niiXXn, 2的无偏估计是即2*nS.2的估计量作故通常取2*nS最小方差无偏估计 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.111222121212(,)(,), ()(),.nnXXXXXXDD定义设与都是的无偏估计量若有则称较有效设总体设总体X的期望的期望E(X)与方差与方差D(X)均存在，均存在， 例例9 9是是X的一个样本，试证明下列统的一个样本，试证明下列统nXXX,21计量都是计

33、量都是E(X)的无偏估计，并说明哪个有效。的无偏估计，并说明哪个有效。 1121213(,)44XXXX2121212(,)33XXXX例例9 9解解1 111212121313(,)()()444413()()()44EXXEXXE XE XE XE XE X2121212(,)3312()()()33EXXEXXE XE XE X可见上统计量都是可见上统计量都是E(X)的无偏估计的无偏估计例例9 9解解2 21121212222131(,)()444319()()()0.625 ()41616DXXDXXD XD XD XE X21214(,)() ()0.556 ()99DXXE XE

34、X由于方差更小，所以第二个比第一个更有效。由于方差更小，所以第二个比第一个更有效。三、参数的区间估计三、参数的区间估计前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计. 它是用它是用样本算得的一个值去估计未知参数样本算得的一个值去估计未知参数. 但是但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷估计的这个缺陷 .1. 1. 置信区间的定义置信区间的定义121112221212( ; ),(01),(,

35、)(,) 1nnnXP 设设总总体体的的分分布布函函数数含含有有一一个个未未知知参参数数对对于于给给定定值值若若由由样样本本确确定定的的两两个个统统计计量量和和满满足足F xXXXXXXXXX 1212, 1, 1, 1.则则称称随随机机区区间间是是 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间和和分分别别称称为为置置信信度度为为的的双双侧侧置置信信区区间间的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限为为置置信信度度关于定义的说明关于定义的说明. , , , , 21是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 : 1的本质是的本

36、质是因此定义中以下表达式因此定义中以下表达式 21P. , , ,2121 11的的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间区间估计的两个要求区间估计的两个要求2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间12 长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 21 P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对

37、矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.2. 2. 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3 3步步) ). )( ,);,(:, )1(2121 包包括括数数且且不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参的的分分布布已已知知并并且且其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数的的函函数数寻寻求求一一个个样样本本ZXXXZZXXXnn .1);,(,)2(21 bXXXZaPban使使决决定定出出两两个个常常数数对对于于给给定定的的置置信信度度 ,1 .,1,区间估计精度降低区间估计精度降低可信程度增大可信程度增大长度增大长

38、度增大置信区间置信区间增大增大置信度置信度固定固定样本容量样本容量 n.,1区区间间估估计计精精度度提提高高可可信信程程度度不不变变长长度度减减小小置置信信区区间间增增大大样样本本容容量量固固定定置置信信度度n . , ,),(, ),( , );,( )(11的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中不等式不等式得到等价的得到等价的若能从若能从 13212122211221nnnXXXXXXbXXXZa一般有一般有四、正态总体均值与方差的区间估计四、正态总体均值与方差的区间估计., ,12221修正样本方差分别是样本均值和的样本总体为并设设给

39、定置信度为*,),(,nnSXNXXX （1）单个正态总体）单个正态总体的情况的情况1. ,)1(2为为已已知知 的置信区间的置信区间均值均值 , 的无偏估计的无偏估计是是因为因为 X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,/ 12unXP, / 122unXunXP即即 分分位位点点的的定定义义知知由由标标准准正正态态分分布布的的上上 期望的置信区间期望的置信区间., / 221unXunX的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2 /unX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22/un 例例1010 包糖机某日开工包了包糖机某

40、日开工包了1212包糖包糖, ,称得重量称得重量( (单单位位: :克克) )分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x计算得计算得,10. 0)1(时时当当 0502 ./uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均重量试求糖包的平均重量且标准差为且标准差为,95. 021 ,645. 1例例1010解解 2/unx645. 1121092.502 ,67.507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 .,.6750717498例例1010解解2 2 02502./uu 95% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为同理可得同理可得 .,.5850826497.,1 ;,1 ,置置信信区区间间也也较较小小较较小小时时当当置置信信度度置置信信区区