D9_3可降阶高阶微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 ( ,)yf x y可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程 第三节第三节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 ( )( )nyf x( ,)yf y y三、三、 型的微分方程型的微分方程 第九章第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、( )( )nyf x对两边积分对两边积分(1)1( )dnyf xxC同理可得同理可得(2)2 dnyxC1( )df xxC dx( )df xx依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .12C xC型的微分方程型的微分方程 目录 上页 下页

2、返回 结束 例例. 2ecos .xyx 求求解解解解: 21ecosdxyxxC 211esin2xxC21e4xy 21e8xy sin x212Cx23C xCcos x12C xC目录 上页 下页 返回 结束 例例. .yy求求解解解解: ,yz 令 zz ddzzx1xyC e2C x3C0ln | zxC1xzC eyz得 方程化为方程化为积分得积分得1xyC e 所以所以12xyC eC 目录 上页 下页 返回 结束 ( ,)yf x y型的微分方程（不含型的微分方程（不含 y） 设设( ),yp x ,yp则则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程( ,)pf x p 设其通解为

3、设其通解为1( ,)px C则得则得1( ,)yx C 再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解12( ,)dyx CxC二、二、目录 上页 下页 返回 结束 例例. 求解求解2(1)2xyxy01,xy0 3xy解解: ( ),yp x 设设,yp则则代入方程得代入方程得2(1)2xpxp分离变量分离变量2d2 d(1)px xpx积分得积分得20lnln(1),pxC21(1)pCx即即0 3 ,xy利用利用13,C 得得于是有于是有23(1)yx 两端再积分得两端再积分得323yxxC利用利用01,xy21,C 得得331yxx因此所求特解为因此所求特解为目录 上页 下页 返

4、回 结束 例例. 求解求解20 xyyx解解: ( ),yp x 设设,yp则则代入方程得代入方程得2xppx(线性方程）线性方程）1ppxx代入公式得代入公式得11dd1(d)xxxxpexexC211(d)pxxCx即两端再积分得特解为两端再积分得特解为312ln |9xyCxC311()3xCx213Cxx目录 上页 下页 返回 结束 三、三、( ,)yf y y型的微分方程型的微分方程（不含（不含 x） 令令( ),yp y ddpyx 则则ddddpyyxddppy故方程化为故方程化为d( , )dppf y py设其通解为设其通解为1( ,),py C即得即得1( ,)yy C分离

5、变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解21d( ,)yxCy C目录 上页 下页 返回 结束 例例. 求解求解20.yyy代入方程得代入方程得2d0,dpy ppyddpypy即即两端积分得两端积分得0lnln,pyC1,pC y即即1yC y故所求通解为故所求通解为12eC xyC解解:( ),yp y 设设ddpyx 则则ddddpyyxddppy分离变量分离变量1ddyC xy积分得积分得10ln,yC xC目录 上页 下页 返回 结束 例例. 解初值问题解初值问题解解: 令令2e0yy00,xy01xy( ),yp y d,dpypy 则则代入方程得代入方程得2de

6、dyp py积分得积分得2211122eypC利用初始条件利用初始条件,0010,yxpy 10,C 得得根据根据dedyypx积分得积分得2e,yxC00,xy再再由由21C 得得故所求特解为故所求特解为1 eyx得得目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法( )1.( )nyf x逐次积分逐次积分2.( ,)yf x y令令( ) ,yp x ddpyx 则则3.( ,)yf y y令令( ) ,yp y ddpypy 则则目录 上页 下页 返回 结束 1. 方程方程()yf y如何代换求解（如何代换求解（等式右端既不含等式右端既

7、不含答答: 令令( )yp x 或或( )yp y 均可均可. 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时遇到开平方时, 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.x 也不含也不含 y ）?先按照类型二求解，先按照类型二求解，如果比较复杂或者解不出，再考虑类型三。如果比较复杂或者解不出，再考虑类型三。目录 上页 下页 返回 结束 1.1. 求解求解21 ()yy 2.2. 求解求解3()yyy思考与练习思考与练习3.3. P226.8.9. P

8、226.8.9.目录 上页 下页 返回 结束 1. 求解求解21 ()yy 解解: ( ),yp x 设设,yp则则代入方程得代入方程得21pp 2dd1pxp两边积分得两边积分得1arctan pxC12ln |cos()|yxCC 1tan()yxC两端再积分得两端再积分得目录 上页 下页 返回 结束 2. 求解求解3() .yyy解解: ( ),yp x 设设,yp则则代入方程得代入方程得3ppp 2dd(1)pxpp两边积分得两边积分得201ln |ln |1|2ppxC121xpC ep222(1)dd(1)pppxpp221211xxC epC e目录 上页 下页 返回 结束 2. 求解求解3() .yyy代入方程得代入方程得3d,dppppy2dd1pyp即即两端积分得两端积分得1arctan,pyC1dtan()dyyCx故所求通解为故所求通解为12s