第13章 组合变形

1、第二篇第二篇 材料力学材料力学 第第13章章 组合变形组合变形第第13章章 组合变形组合变形13.1 组合变形的概念组合变形的概念v 在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩压缩)、剪切、扭转、弯、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力主要的，其余变形所引起的应力(或变形或变形)很小，则构件可按主要的基很小，则构

2、件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形或变形)属于同一数量级属于同一数量级则构件的变形为组合变形。例如，如图则构件的变形为组合变形。例如，如图13.1(a)所示吊钩的所示吊钩的AB段，段，在力在力P作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴传动轴(如图如图13.1(b)所示所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图如图1

3、3.2(a)所示所示)，可以作为简支梁来计算，可以作为简支梁来计算(如图如图13.2(b)所示所示)，因为，因为q的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图如图13.2(c)所所示示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。 图图13.1 吊钩及传动轴吊钩及传动轴 (a) (b) (c)图图13.2 斜屋架上的工字钢檀条斜屋架上的工字钢檀条屋架屋面檀条qzyqyqqxO(a)(b)(c)v 求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组

4、合变形分解为几个基本变形，然后分别考虑构件在每一种变形分解为几个基本变形，然后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、

5、大变形的构件，必须要考虑各的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。原理就不能适用。v 下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。13.2 斜斜 弯弯 曲曲v 前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外

6、力作用面内。在，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图如图13.2所示所示)。在这种。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。内，这种弯曲称为斜弯曲。v 现在以矩形截面悬

7、臂梁为例现在以矩形截面悬臂梁为例(如图如图13.3(a)所示所示)，分析斜弯曲时，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在应力和变形的计算。这时梁在F1和和F2作用下，分别在水平纵向对称作用下，分别在水平纵向对称面面(Oxz平面平面)和铅垂纵向对称面和铅垂纵向对称面(Oxy平面平面)内发生对称弯曲。在内发生对称弯曲。在梁的任意横截面梁的任意横截面mm上，由上，由F1和和F2引起的弯矩值依次为引起的弯矩值依次为v v 在横截面在横截面mm上的某点上的某点 处由弯矩处由弯矩My和和Mz引起的正应力分引起的正应力分别为别为1yMF x2()zMF xa()C yz，v v 根据叠加原理，根据叠加原理，

8、 和和 的代数和即为的代数和即为C点的正应力，即点的正应力，即v (13-1)yyMzI zzMyI yzyzMMzyIIv 式中，式中，Iy和和Iz分别为横截面对分别为横截面对y轴和轴和z轴的惯性矩；轴的惯性矩；My和和Mz分别是分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y轴和轴和z轴的正向一致轴的正向一致(如图如图13.3(b)所示所示)。在具体计算中，也可以。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩先不考虑弯矩My、Mz和坐标和坐标y、z的正负号，以其绝对值代入，然的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在后根据梁在F1和和

9、F2分别作用下的变形情况，来判断式分别作用下的变形情况，来判断式(13-1)右边右边两项的正负号。两项的正负号。v (a) (b) 图图13.3 斜弯曲斜弯曲 v 为了进行强度计算，必须先确定梁内的最大正应力。最大正应力为了进行强度计算，必须先确定梁内的最大正应力。最大正应力发生在弯矩最大的截面发生在弯矩最大的截面(危险截面危险截面)上，但要确定截面上哪一点的正上，但要确定截面上哪一点的正应力最大应力最大(就是要找出危险点的位置就是要找出危险点的位置)，应先确定截面上中性轴的位，应先确定截面上中性轴的位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令 代表中性轴

10、上代表中性轴上的任一点，将它的坐标值代入式的任一点，将它的坐标值代入式(13-1)v 即可得中性方程即可得中性方程 (13-2)v 从上式可知，中性轴是一条通过横截面形心的直线，令中性轴与从上式可知，中性轴是一条通过横截面形心的直线，令中性轴与y轴的夹角为轴的夹角为 ，则，则000yzyzMMzyII00()y z ,00tantanyyZyzzIIzMyMIIv 式中，角度式中，角度 是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩 的矢量与的矢量与y轴的夹角轴的夹角(如图如图13.3(b)所示所示)。一般情况下，由于截面的。一般情况下，由于截面的 ，因而中性轴与合成弯矩，因而中性轴与合成弯矩M所在的平

11、面并不垂直。而截面的挠度垂所在的平面并不垂直。而截面的挠度垂直于中性轴直于中性轴(如图如图13.4(a)所示所示)，所以挠曲线将不在合成弯矩所，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，这与平面弯曲不同。对于正方形、圆形等截面以及某在的平面内，这与平面弯曲不同。对于正方形、圆形等截面以及某些特殊组合截面，其中些特殊组合截面，其中 ，就是所有形心轴都是主惯性轴，故，就是所有形心轴都是主惯性轴，故 ， ，因而，正应力可用合成弯矩，因而，正应力可用合成弯矩M进行计算。但是，梁各横进行计算。但是，梁各横截面上的合成弯矩截面上的合成弯矩M所在平面的方位一般并不相同，所以，虽然每所在平面的方位一般并不相同，所

12、以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内，梁的挠曲线一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内，梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。可是，梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直一般仍是一条空间曲线。可是，梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。22yzMMMyzIIyzII图图13.4 斜弯曲时横截面上的应力情况斜弯曲时横截面上的应力情况v 确定中性轴的位置后，就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力确定中性轴的位置后，就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力 值值最大的点。一般只要作与中性轴平行且与横截

13、面周边相切的线，切点就最大的点。一般只要作与中性轴平行且与横截面周边相切的线，切点就是最大正应力的点。如图是最大正应力的点。如图13.4(b)所示的矩形截面梁，显然右上角所示的矩形截面梁，显然右上角 与左下角与左下角 有最大正应力值，将这些点的坐标有最大正应力值，将这些点的坐标(y1, z1)或或(y2, z2)代代入式入式(13-1)，可得最大拉应力，可得最大拉应力 和最大压应力和最大压应力 。v 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处于单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许后，由于危

14、险点处于单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。1D2Dt,maxc,maxv 【例题例题13.1】 一长一长 的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量 ，梁上作用有两个集中荷载，梁上作用有两个集中荷载 和和 ，如图，如图13.5(a)所示，设截面所示，设截面 ， 。试选择梁的截面尺寸，并计算。试选择梁的截面尺寸，并计算自由端的挠度。自由端的挠度。2m41.0 10 MPaE 11.3kNF 22.5kNF 0.6bh 10MPa图图13.5v 解：解：v (1) 选择梁的截面尺寸。

15、选择梁的截面尺寸。v 将自由端的作用荷载将自由端的作用荷载 分解分解v 此梁的斜弯曲可分解为在此梁的斜弯曲可分解为在xy平面内及平面内及xz平面内的两个平面弯曲，平面内的两个平面弯曲，如图如图13.5(c)所示。由图所示。由图13.5可知可知Mz 和和My在固定端的截面上达在固定端的截面上达到最大值，故危险截面上的弯矩到最大值，故危险截面上的弯矩v v v v 2232232.5 10.33623.172(kN m)1.25622.215(kN m)110.60.16611(0.6)0.0666zyzyMMwbhh hhwhbhhh v 上式中上式中Mz与与My只取绝对值，且截只取绝对值，且截

16、面上的最大拉压应力相等，故面上的最大拉压应力相等，故v 即即 v 可取可取h=200mm，b=120mm66max333.172 102.512 100.10.06yzzyMMWWhh6373.587 10 h6373.587 10194.5(mm)10h(2) 计算自由端的挠度。分别计算计算自由端的挠度。分别计算 与与 ，如图，如图13.5(c)所示，则所示，则232123362yyzzlFF llwlEIEI 333346310.336 1022.5 101(321)2(m)13 1.0 10100.120.212 33.72 10 m3.72(mm) -33314631.256 102(

17、m)133 1.0 10100.20.1212zzyF lwEI0.0116m11.6(mm)2222( 3.72)(11.6)12.18(mm)zywww11.6arctan72.453.713.3 拉拉 (压压)与弯曲与弯曲v 拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。如图拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。如图13.6(a)所示的起重机横梁所示的起重机横梁AB，其受力简图如图，其受力简图如图13.6(b)所示。所示。轴向力轴向力 和和 引起压缩，横向力引起压缩，横向力 ， ， 引起弯曲，所以杆件引起弯曲，所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度产生压缩与弯曲的组合变形

18、。对于弯曲刚度 较大的杆，由于横较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆弯矩可以略去不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横截面上的正应横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横截面上的正应力。下面我们举一简单例子来说明。力。下面我们举一简单例子来说明。v 悬臂梁悬臂梁AB(如图如图13.7(a)所示所示)，在它的自由端，在它的自由端A作用一与铅作用一与铅直方向成直方向成 角的力角的力F(在

19、纵向对称面在纵向对称面 平面内平面内)。将。将F力分别沿力分别沿 轴轴 轴分解，可得轴分解，可得 为轴向力，对梁引起拉伸变形为轴向力，对梁引起拉伸变形(如图如图13.7(b)所示所示)； 为横向力为横向力，引起梁的平面弯曲，引起梁的平面弯曲(如图如图13.7(c)所示所示)。xFAxFAyFWyFEIxyxysincosxyFFFFxFyFv 距距A端端x的截面上的内力为的截面上的内力为v 轴力轴力 v 弯矩弯矩 图图13.6 起重机起重机NsinxFFFcoszyMF xFx v 在轴向力在轴向力 作用下，杆各个横截面上有相同的轴力作用下，杆各个横截面上有相同的轴力 。而在。而在横向力作用下

20、，固定端横截面上的弯矩最大，横向力作用下，固定端横截面上的弯矩最大， ，故，故危险截面是在固定端。危险截面是在固定端。xFNxFFNxFFmaxcosMFl 图图13.7 拉弯组合变形拉弯组合变形v 与轴力与轴力 对应的拉伸正应力对应的拉伸正应力 在该截面上各点处均相等，其值为在该截面上各点处均相等，其值为v v 而与而与 对应的最大弯曲正应力对应的最大弯曲正应力 ，出现在该截面的上、下边缘处，其绝对，出现在该截面的上、下边缘处，其绝对值为值为v v 在危险截面上与在危险截面上与 ， 对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图13.8(a)和和 图图13.

21、8(b)所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化情况如沿截面高度的变化情况如 图图13.8(c)所示。所示。v 若若 ，则，则 为拉应力；若为拉应力；若 ，则，则 为压应力。为压应力。v 所以所以 之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。如图之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。如图13.7(c)所示所示的应力分布图是在的应力分布图是在 的情况下作出的。显然，杆件的最大正应力是危的情况下作出的。显然，杆件的最大正应力是危险截面上边缘各点处的拉应力，其值为险截面上边缘各点处的拉应力，其值为v (13-3) NFtNtsinxF

22、FFAAAmaxMbmaxbcoszzMFlWWNFm axMtbmintbminmintbmaxsincoszFFlAWv 由于危险点处的应力状态为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材由于危险点处的应力状态为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。料的许用应力相比较，以进行强度计算。v 应该注意，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最应该注意，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。 v 若杆件的抗弯刚度很小，则由横向力所引起的挠度与横截面

23、尺寸相若杆件的抗弯刚度很小，则由横向力所引起的挠度与横截面尺寸相比不能略去，此时就应考虑轴向力引起的弯矩。比不能略去，此时就应考虑轴向力引起的弯矩。图图13.8 拉、弯组合变形的应力叠加拉、弯组合变形的应力叠加 v 【例题例题13.2】 最大吊重最大吊重 的起重机如图的起重机如图13.9(a)所示。若所示。若AB杆为杆为工字钢，材料为工字钢，材料为Q235钢，钢， ，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。v 解：解：v (1) 先求出先求出CD杆的长度为杆的长度为v (2) 以以AB为研究对象，其受力如图为研究对象，其受力如图13.9(b)所示，由平衡方程所示，由平衡方程 ，得得8kNW 10

24、0MPa2(m)l 0AM0.82.58 (2.51.5)02.62F 42kNF 图图13.9 把把F分解为沿分解为沿AB杆轴线的分量杆轴线的分量 和垂直于和垂直于AB杆轴线的分量杆轴线的分量 ，可见可见AB杆在杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。段内产生压缩与弯曲的组合变形。 作作AB杆的弯矩图和杆的弯矩图和AC段的轴力图如图段的轴力图如图13.9(c)所示。从图中看所示。从图中看出，在出，在C点左侧的截面上弯矩为最大值，而轴力与其他截面相同，点左侧的截面上弯矩为最大值，而轴力与其他截面相同，故为危险截面。故为危险截面。v 开始试算时，可以先不考虑轴力开始试算时，可

25、以先不考虑轴力 的影响，只根据弯曲强度条件的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。这时选取工字钢。这时v 查型钢表，选取查型钢表，选取16号工字钢，号工字钢， ， 。选定工字钢。选定工字钢后，同时考虑轴力后，同时考虑轴力 及弯矩及弯矩M的影响，再进行强度校核。在危险的影响，再进行强度校核。在危险截面截面C的上边缘各点有最大压应力，且为的上边缘各点有最大压应力，且为xFyF2.540(kN)2.62xFF0.812.8(kN)2.62yFFNF3333max612 1012 10 (m )120(cm ) 100 10MW3cm141W2cm126.A NF 结果表明，最大压应力与许用应力接近相等

26、，故无需重新选择截结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选择截面的型号。面的型号。33Nmaxmax4640 1012 1026.1 10141 10FMAW 6100.5 10 (Pa)100.5(MPa)13.4 偏心拉偏心拉 (压压) 作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩。钻床的立柱偏心拉伸或偏心压缩。钻床的立柱(如图如图13.10(a)所示所示)和厂房中支承吊车和厂房中支承吊车梁的柱子梁的柱子(如图如图13.10(b)所示所示)即为偏心拉伸和偏心压缩。即为偏心拉伸和偏心

27、压缩。 图图8.10 偏心拉偏心拉(压压)实例实例13.4.1 偏心拉偏心拉(压压)的应力计算的应力计算v 现以实心截面的等直杆承受距离截面形心为现以实心截面的等直杆承受距离截面形心为 (称为偏心距称为偏心距)的的偏心拉力偏心拉力 (如图如图13.11(a)所示所示)为例，来说明偏心拉杆的强度计为例，来说明偏心拉杆的强度计算。设偏心力算。设偏心力 作用在端面上的作用在端面上的 点，其坐标为点，其坐标为( )。将力。将力 向截面形心向截面形心 点简化，把原来的偏心力点简化，把原来的偏心力 转化为轴向拉力转化为轴向拉力F；作用；作用在在 平面内的弯曲力偶矩平面内的弯曲力偶矩 ；作用在；作用在 平面

28、内的弯曲力偶矩平面内的弯曲力偶矩 在这些荷载作用下在这些荷载作用下(如图如图13.11(b)所示所示)，杆件的变形是轴向拉伸，杆件的变形是轴向拉伸和两个纯弯曲的组合。所有横截面上的内力和两个纯弯曲的组合。所有横截面上的内力轴力和弯矩均保持轴力和弯矩均保持不变，即不变，即v ， ， v 叠加上述三内力所引起的正应力，即得任意横截面叠加上述三内力所引起的正应力，即得任意横截面mm上某点上某点 的应力计算式的应力计算式 （a）eFKzyee ,FOFxzxyyezeFMFFNzeyyeFMMyezzeFMMzyyzzzyyIyFeIzFeAFIyMIzMAFv 式中，式中， 为横截面面积；为横截面面

29、积； 和和 分别为横截面对分别为横截面对 轴和轴和 轴轴的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径的关系的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径的关系(参见附录参见附录A)，有，有v ， v 于是式于是式(a)可改写为可改写为v (b)AyIzIyz2yyiAI2zziAI221zyyziyeizeAF 图图13.11 偏心拉伸的应力分析偏心拉伸的应力分析v 式式(b)是一个平面方程，这表明正应力在横截面上按线性规律变是一个平面方程，这表明正应力在横截面上按线性规律变化，而应力平面与横截面相交的直线化，而应力平面与横截面相交的直线(沿该直线沿该直线 )就是中性轴就是中性轴(如图如图13.12所示所示)。将中性轴上任

30、一点。将中性轴上任一点 代入式代入式(b)，即得，即得中性轴方程为中性轴方程为 (13-4)0),(00yzC002210yzyze ye zii+-KzeeyD21D中性轴azyayz图图13.12 中性轴及应力分布中性轴及应力分布v 显然，中性轴是一条不通过截面形心的直线，它在显然，中性轴是一条不通过截面形心的直线，它在 、 轴上的截轴上的截距距 和和 分别可以从式分别可以从式(13-4)计算出来。在上式中，令计算出来。在上式中，令 ，相应的，相应的 即为即为 ，而令，而令 ，相应的，相应的 即为即为 。由此求。由此求得得v (13-5)v 式式(13-5)表明，中性轴截距表明，中性轴截距

31、 ， 和偏心距和偏心距 ， 符号相反，所符号相反，所以中性轴与外力作用点以中性轴与外力作用点 位于截面形心位于截面形心 的两侧，如图的两侧，如图13.12所所示。中性轴把截面分为两部分，一部分受拉应力，另一部分受压应示。中性轴把截面分为两部分，一部分受拉应力，另一部分受压应力。力。v 确定了中性轴的位置后，可作两条平行于中性轴且与截面周边相切确定了中性轴的位置后，可作两条平行于中性轴且与截面周边相切的直线，切点的直线，切点 与与 分别是截面上最大拉应力与最大压应力的分别是截面上最大拉应力与最大压应力的点，分别将点，分别将 与与 的坐标代入式的坐标代入式(a)，即可求得最大，即可求得最大拉应力和

32、最大压应力的值拉应力和最大压应力的值yzyaza00z0yya00y0zzayzyeia2zyzeia2yazayezeyeKO1D2D),(111yzD),(222yzDv v (13-6)v 由于危险点处于单轴应力状态，因此，在求得最大正应力后，就可由于危险点处于单轴应力状态，因此，在求得最大正应力后，就可根据材料的许用应力根据材料的许用应力 来建立强度条件。来建立强度条件。v 应该注意，对于周边具有棱角的截面，如矩形、箱形、工字形等，应该注意，对于周边具有棱角的截面，如矩形、箱形、工字形等，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定，无需其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件

33、的变形来确定，无需确定中性轴的位置。确定中性轴的位置。v 【例题例题13.3】 试求如图试求如图13.13(a)所示杆内的最大正应力。力所示杆内的最大正应力。力 与与杆的轴线平行。杆的轴线平行。zyyzDzyyzDIyFeIzFeAFIyFeIzFeAF221121 (a) (b)v图图13.13 例题例题13.3图图v 解：横截面如图解：横截面如图13.13(b)所示，其面积为所示，其面积为v v 形心形心 的坐标为的坐标为v 形心主惯性矩形心主惯性矩v 力力 对主惯性轴对主惯性轴 和和 之矩之矩v ， 212424aaaaaAaaaaaaaaaaayC224424440Cz42323324

34、212)2(4)2(412)4(aaaaaaaaaaaICz33412(4 )41112CyIaaaaaFCyCzFaaFMCy22 FaaFMCz22 v 比较如图比较如图13.13(b)所示截面所示截面4个角点上的正应力可知，角点个角点上的正应力可知，角点4上上的正应力最大，即的正应力最大，即24424572. 0112232221222aFaaFaaaFaaFIaMIaMAFCCCCyyzz13.4.2 截面核心截面核心v 式式(13-6)中的中的 、 均为负值。因此当外力的偏心距均为负值。因此当外力的偏心距(即即 , )较小时，横截面上就可能不出现压应力，即中性轴不与横截面相较小时，横

35、截面上就可能不出现压应力，即中性轴不与横截面相交。同理，当偏心压力交。同理，当偏心压力 的偏心距较小时，杆的横截面上也可能的偏心距较小时，杆的横截面上也可能不出现拉应力。在工程中，有不少材料抗拉性能差，但抗压性能好不出现拉应力。在工程中，有不少材料抗拉性能差，但抗压性能好且价格比较便宜，如砖、石、混凝土、铸铁等。在这类构件的设计且价格比较便宜，如砖、石、混凝土、铸铁等。在这类构件的设计计算中，往往认为其拉伸强度为零。这就要求构件在偏心压力作用计算中，往往认为其拉伸强度为零。这就要求构件在偏心压力作用下，其横截面上不出现拉应力，由公式下，其横截面上不出现拉应力，由公式(13-5)可知，对于给定的

36、可知，对于给定的截面，截面， 、 值越小，值越小， 、 值就越大，即外力作用点离形心越近，值就越大，即外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远。因此，当外力作用点位于截面形心附近的一中性轴距形心就越远。因此，当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可保证中性轴不与横截面相交，这个区域称为截面个区域内时，就可保证中性轴不与横截面相交，这个区域称为截面核心。当外力作用在截面核心的边界上时，与此相对应的中性轴就核心。当外力作用在截面核心的边界上时，与此相对应的中性轴就正好与截面的周边相切正好与截面的周边相切(如图如图13.14所示所示)。利用这一关系就可确定。利用这一关系就可确定截面核心的截面

37、核心的 边界。边界。2y2zyezeFyezeyazav 为确定任意形状截面为确定任意形状截面(如图如图13.14所示所示)的截面核心边界，可将与截的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线看作是中性轴，其在面周边相切的任一直线看作是中性轴，其在 、 两个形心主两个形心主惯性轴上的截距分别为惯性轴上的截距分别为 和和 。由式。由式(13-5)确定与该中性轴对确定与该中性轴对应的外力作用点应的外力作用点1，即截面核心边界上一个点的坐标，即截面核心边界上一个点的坐标( )： v ， yz1ya1za11,yzee121yzyaie121zyzaieO51423ay1az115432zyv图图13

38、.14 截面核心截面核心 同样，分别将与截面周边相切的直线，同样，分别将与截面周边相切的直线，等等看作是中性轴，并按上述方法求得与其对应的截面核心看作是中性轴，并按上述方法求得与其对应的截面核心边界上点边界上点2，3，的坐标。连接这些点所得到的一条的坐标。连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界，而该边界曲线所封闭曲线，即为所求截面核心的边界，而该边界曲线所包围的带阴影线的面积，即为截面核心包围的带阴影线的面积，即为截面核心(如如 图图13.14所示所示)，下面举例说明截面核心的具体作法。，下面举例说明截面核心的具体作法。v 【例题例题13.4】 一矩形截面如图一矩形截面如图13

39、.15所示，已知两边长度分别为所示，已知两边长度分别为 和和 ，求作截面核心。，求作截面核心。v 解：先作与矩形四边重合的中性轴、和，利用式解：先作与矩形四边重合的中性轴、和，利用式(13-5)得得v ， v 式中式中 , ， 和和 为中性轴的截为中性轴的截v 距，距， 和和 为相应的外力作用点的坐标。为相应的外力作用点的坐标。v 对中性轴，有对中性轴，有 ， ，代入式，代入式(13-5)，得，得 v v 即相应的外力作用点为图即相应的外力作用点为图13.15上的点上的点1。bhyzyaie2zyzaie21212232hbhbhAIiyy1212232bbhhbAIizzyazaze2bay

40、za 6212221bbbaieyzy221120yzzhiea yev 对中性轴，有对中性轴，有 ， ，代入式，代入式(13-5)，得，得v v ， v 即相应的外力作用点为图即相应的外力作用点为图13.15上的点上的点2。ya 2haz222120zyybiea 6212222hhhaiezyzv 同理，可得相应于中性轴和的外力作用点的位置如图上的点同理，可得相应于中性轴和的外力作用点的位置如图上的点3和点和点4。v 图图13.15 O143214326bb6h6 6hhbABCDyzv 至于由点至于由点1到点到点2，外力作用点的移动规律如何，我们可以从中性，外力作用点的移动规律如何，我们

41、可以从中性轴开始，绕截面点轴开始，绕截面点 作一系列中性轴作一系列中性轴(图中虚线图中虚线)，一直转到中性，一直转到中性轴，求出这些中性轴所对应的外力作用点的位置，就可得到外力轴，求出这些中性轴所对应的外力作用点的位置，就可得到外力作用点从点作用点从点1到点到点2的移动轨迹。根据中性轴方程式的移动轨迹。根据中性轴方程式(13-4)，设，设 和和 为常数，为常数， 和和 为流动坐标，中性轴的轨迹是一条直线为流动坐标，中性轴的轨迹是一条直线。反之，若设。反之，若设 和和 为常数，为常数， 和和 为流动坐标，则力作为流动坐标，则力作用点的轨迹也是一条直线。现在，过角点用点的轨迹也是一条直线。现在，过

42、角点 的所有中性轴有一个的所有中性轴有一个v 公共点，其坐标公共点，其坐标 为常数，相当于中性轴方程为常数，相当于中性轴方程(13-4)中的中的v v 和和 ，而需求的外力作用点的轨迹，则相当于流动坐标，而需求的外力作用点的轨迹，则相当于流动坐标 和和 。于是可知，截面上从点。于是可知，截面上从点1到点到点2的轨迹是一条直线。同理可知，的轨迹是一条直线。同理可知，当中性轴由绕角点当中性轴由绕角点 转到，由绕角点转到，由绕角点 转到时，外力作用点转到时，外力作用点由点由点2到点到点3，由点，由点3到点到点4的轨迹，都是直线。最后得到一个菱形的轨迹，都是直线。最后得到一个菱形(图中的阴影区图中的阴

43、影区)。即矩形截面的截面核心为一菱形，其对角线的长。即矩形截面的截面核心为一菱形，其对角线的长度为截面边长的三分之一。度为截面边长的三分之一。yeze0y0zyeze0y0zA22bh,yezev 对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。对于周边有对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。对于周边有凹进部分的截面凹进部分的截面(例如槽形或工字形截面等例如槽形或工字形截面等)，在确定截面核心的边，在确定截面核心的边界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然与横截面相交。因为这种直线显然与横截面

44、相交。v 【例题例题13.5】 一圆形截面如图一圆形截面如图13.16所示，直径为所示，直径为 ，试作截面，试作截面核心。核心。v 图图13.16 dO11Azyd8 8ddv 解：由于圆截面对于圆心解：由于圆截面对于圆心 是极对称的，因而是极对称的，因而,截面核心的边界对截面核心的边界对于圆心也是极对称的，即为一圆心为于圆心也是极对称的，即为一圆心为 的圆。在截面周边上任取的圆。在截面周边上任取一点一点 ，过该点作切线作为中性轴，该中性轴在，过该点作切线作为中性轴，该中性轴在y、z两轴上的两轴上的截距分别为截距分别为 v ， v 而圆形截面的而圆形截面的 ，将以上各值代入式，将以上各值代入式

45、(8-5)，即可得，即可得v v ， v 从而可知，截面核心边界是一个以从而可知，截面核心边界是一个以 为圆心、以为圆心、以 为半径的圆，为半径的圆，即图中带阴影的即图中带阴影的 区域。区域。OOA21day1za16222diizy82162121dddaieyzy0121zyzaieO8d13.5 弯曲与扭转弯曲与扭转v 机械中的传动轴与皮带轮、齿轮或飞轮等连接时，往往同时受机械中的传动轴与皮带轮、齿轮或飞轮等连接时，往往同时受到扭转与弯曲的联合作用。由于传动轴都是圆截面的，故以圆截面到扭转与弯曲的联合作用。由于传动轴都是圆截面的，故以圆截面杆为例，讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计

46、算。杆为例，讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。v 设有一实心圆轴设有一实心圆轴AB，A端固定，端固定，B端连一手柄端连一手柄BC，在，在C处作处作用一铅直方向力用一铅直方向力 ，如图，如图13.17(a)所示，圆轴所示，圆轴AB承受扭转与弯承受扭转与弯曲的组合变形。略去自重的影响，将力曲的组合变形。略去自重的影响，将力 向向AB轴端截面的形心轴端截面的形心B简化后，即可将外力分为两组，一组是作用在轴上的横向力简化后，即可将外力分为两组，一组是作用在轴上的横向力 ，另一组为在轴端截面内的力偶矩另一组为在轴端截面内的力偶矩 (如图如图13.17(b)所示所示)，前者使轴发生弯曲变形，后者

47、使轴发生扭转变形。分别作出圆轴前者使轴发生弯曲变形，后者使轴发生扭转变形。分别作出圆轴AB的弯矩图和扭矩图的弯矩图和扭矩图(如图如图13.17(c)和图和图13.17(d)所示所示)，可，可见，轴的固定端截面是危险截面，其内力分量分别为见，轴的固定端截面是危险截面，其内力分量分别为FFFaMeFlM FaMTe 在截面在截面A上弯曲正应力上弯曲正应力 和扭转切应力和扭转切应力 均按线性分布均按线性分布(如如图图13.17(e)和图和图13.17(f)所示所示)。危险截面上铅垂直径上下两端。危险截面上铅垂直径上下两端点点 和和 处是截面上的危险点，因在这两点上正应力和切应力处是截面上的危险点，因

48、在这两点上正应力和切应力均达到极大值，故必须校核这两点的强度。对于抗拉强度与抗压强均达到极大值，故必须校核这两点的强度。对于抗拉强度与抗压强度相等的塑性材料，只需取其中的一个点度相等的塑性材料，只需取其中的一个点 来研究即可。来研究即可。 点的点的弯曲正应力和扭转切应力分别为弯曲正应力和扭转切应力分别为v v ， (a)v 对于直径为对于直径为 的实心圆截面，抗弯截面系数与抗扭截面系数分别的实心圆截面，抗弯截面系数与抗扭截面系数分别为为 (b)1C2C1C1CWMPWT332dW3P216dWWdv 围绕围绕 点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截

49、面截取单元体，可得，可得 点处的应力状态点处的应力状态(如图如图13.17(g)所示所示)。显然，。显然， 点点处于平面应力状态，其三个主应力为处于平面应力状态，其三个主应力为v v ， 22214212021C1C1C图图13.17 弯扭组合变形弯扭组合变形v 对于用塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度对于用塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件，即条件，即 。v 若用第三强度理论，则相当应力为若用第三强度理论，则相当应力为v (13-7a)v 若用第四强度理论，则相当应力为若用第四强度理论，则相当应力为v (13-7b)v 将将(a)、(b)两式代入式两式

50、代入式(13-7)，相当应力表达式可改写为，相当应力表达式可改写为r 22r31342222r413133 2222r3P4MTMTWWW2222r4P0.753MTMTWWW(13-8a)(13-8b)v 在求得危险截面的弯矩在求得危险截面的弯矩M和扭矩和扭矩T后，就可直接利用式后，就可直接利用式(13-8)建立强度条件，进行强度计算。式建立强度条件，进行强度计算。式(13-8)同样适用于空心圆杆，同样适用于空心圆杆，而只需将式中的而只需将式中的W改用空心圆截面的弯曲截面系数。改用空心圆截面的弯曲截面系数。v 应该注意的是，式应该注意的是，式(13-7)适用于如图适用于如图13.17(g)所

51、示的平面所示的平面应力状态，而不论正应力应力状态，而不论正应力 是由弯曲还是由其他变形引起的，不论是由弯曲还是由其他变形引起的，不论切应力是由扭转还是由其他变形引起的，也不论正应力和切应力是切应力是由扭转还是由其他变形引起的，也不论正应力和切应力是正值还是负值。工程中有些杆件，如船舶推进轴，有止推轴承的传正值还是负值。工程中有些杆件，如船舶推进轴，有止推轴承的传动轴等除了承受弯曲和扭转变形外，同时还受到轴向压缩动轴等除了承受弯曲和扭转变形外，同时还受到轴向压缩(拉伸拉伸)，其危险点处的正应力其危险点处的正应力 等于弯曲正应力与轴向拉等于弯曲正应力与轴向拉(压压)正应力之和，正应力之和，相当应力

52、表达式相当应力表达式(13-7)仍然适用。但式仍然适用。但式(13-8)仅适用于扭转与仅适用于扭转与弯曲组合变形下的圆截面杆。弯曲组合变形下的圆截面杆。v 通过以上举例，对传动轴等进行静力强度计算时一般可按下列步骤通过以上举例，对传动轴等进行静力强度计算时一般可按下列步骤进行。进行。v (1) 外力分析外力分析(确定杆件组合变形的类型确定杆件组合变形的类型)。v (2) 内力分析内力分析(确定危险截面的位置确定危险截面的位置)。v (3) 应力分析应力分析(确定危险截面上的危险点确定危险截面上的危险点)。v (4) 强度计算强度计算(选择适当的强度理论进行强度计算选择适当的强度理论进行强度计算

53、)。v 【例题例题13.6】 机轴上的两个齿轮机轴上的两个齿轮(如图如图13.18(a)所示所示)，受到切线，受到切线方向的力方向的力 ， 作用，轴承作用，轴承 及及 处均为铰支座，轴处均为铰支座，轴的许用应力的许用应力 ，求轴所需的直径，求轴所需的直径 。v 解：解：v (1) 外力分析。把外力分析。把 及及 向机轴轴心简化成为竖向力向机轴轴心简化成为竖向力 、水平、水平力力 及力偶矩及力偶矩kN51PkN102PAD 100MPa1P2P1P2P321e12150 10100.75(kN m)222ddMPPv 两个力使轴发生弯曲变形，两个力偶矩使轴在两个力使轴发生弯曲变形，两个力偶矩使轴

54、在 段内发生扭转变形段内发生扭转变形。v (2) 内力分析。内力分析。 段内的扭矩为段内的扭矩为 v v 轴在竖向平面内因轴在竖向平面内因 作用而弯曲，弯矩图如图作用而弯曲，弯矩图如图13.18(b)所示，所示，引起引起 、 处的弯矩分别为处的弯矩分别为v ， v 轴在水平面内因轴在水平面内因 作用而弯曲，在作用而弯曲，在 、 处的弯矩分别为处的弯矩分别为v BCe0.75(kN m)TM1PBC11()2BP la aMlaalaPMC22112PCalaPMB222222()2CP la aMlaB,图图13.18 v 、 两个截面上的合成弯矩为两个截面上的合成弯矩为v v 轴内每一截面的

55、弯矩都由两个弯矩分量合成，且合成弯矩的作用平轴内每一截面的弯矩都由两个弯矩分量合成，且合成弯矩的作用平面各不相同，但因为圆轴的任一直径都是形心主轴，抗弯截面系数面各不相同，但因为圆轴的任一直径都是形心主轴，抗弯截面系数 都相同，所以可将各截面的合成弯矩画在同一张图内都相同，所以可将各截面的合成弯矩画在同一张图内(如图如图13.18(c)所示所示)。v (3) 强度计算强度计算v 按第四强度理论建立强度条件按第四强度理论建立强度条件BC2222422121222()0.676(kN m)(2 )(2 )BBBP la aP aMMMlala2422222121222()1.14(kN m)(2

56、)(2 )CCCP aP laaMMMlalaWv v v 解之得解之得v v 22r40.75 MTW323236(1.44 10 )0.75(0.75 10 )32100 10dW51mmm0510 .d13.6 习习 题题v 13-1 矩形截面木制简支梁矩形截面木制简支梁 ，在跨度中点，在跨度中点 处承受一与垂直处承受一与垂直方向成方向成 的集中力的集中力 的作用，如图所示，已知木材的弹性的作用，如图所示，已知木材的弹性模量模量 。试确定：。试确定：v 截面上中性轴的位置。截面上中性轴的位置。v 危险截面上的最大正应力。危险截面上的最大正应力。v 点总挠度的大小和方向。点总挠度的大小和方向。ABC15kN10F