用差分法和变分法解平面问题

1、土木工程与力学学院 蒋一萱12022-5-28第五章第五章 用差分法和变分法解用差分法和变分法解平面问题平面问题土木工程与力学学院 蒋一萱22022-5-28主要内容主要内容土木工程与力学学院 蒋一萱32022-5-28 弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受力情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。工程中常用的数值解法： 有限差分法和有限单元法。土木工程与力学学院 蒋一萱42022-5-28有限单元法 是以有限个单元的集合体来代替连续弹性体，利用变分原理中的虚功方程建立相应的求解代数方程组。 这种近似方法属于物理上的

2、近似。土木工程与力学学院 蒋一萱52022-5-28 差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解弹性力学问题的一种有效的方法。土木工程与力学学院 蒋一萱62022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导0 xy0312456789101112A1314Bhh,ff x yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxx土木工程与力学学院 蒋一萱72022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导0,0 x h0,0 x hh22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhf

3、hfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fx22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxx土木工程与力学学院 蒋一萱82022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导0fx220fx130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyh土木工程与力学学院 蒋一萱92022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导 75862875631002412222ffffhhhffhffhyfyfyfxyxf1302fffxh2402fffyh土木工程与力学学

4、院 蒋一萱102022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导 12104204044876543210402241193104044461241461fffffhyffffffffffhyxffffffhxf课课 堂堂 练练 习！习！土木工程与力学学院 蒋一萱112022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导fxy土木工程与力学学院 蒋一萱122022-5-285.1 差分公式的推导差分公式的推导130(51)2fffxh21302202(52)ffffxh240224020(53)22(54)2fffyhffffyh226857040139114404012345678224

5、0402410124401() ()(5 5)4164() ()(5 6)142() ()(5 7)164() ()(5 8)fffffx yhffffffxhffffffffffx yhffffffyh 注意：用周围点的函数表示0点的偏导数，有规律可循。土木工程与力学学院 蒋一萱132022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解 当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。土木工程与力学学院 蒋一萱142022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解;22222yxx

6、yxyyxyx,04yxxyxyyx22222;求解一个应力函数 ，使其满足相容方程：同时要满足用应力函数表示的应力边界条件;YlmXmlSxySySxySx求出应力函数后，可以利用应力分量和应力函数之间的关系求出相应的应力分量。土木工程与力学学院 蒋一萱152022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解1 1、应力分量（不计体力、应力分量（不计体力） 一旦求得弹性体全部节点的一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对值后，就可按应力分量差分公式（对节点节点0 0）算得弹性体各节点的应力。）算得弹性体各节点的应力。0 xy0312456789101112A1314B

7、hh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各结点的如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。值，就可以求得各结点的应力分量。土木工程与力学学院 蒋一萱162022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解双调和方程双调和方程 对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。应力函数在域内应该满足上式。444422420 xxyy整理即得整理即得2 2、差分方程（相容方程）、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式

8、相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 土木工程与力学学院 蒋一萱172022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解 联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的数值。联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的数值。 为了求得边界上各结点处的为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即：值，须要应用应力边界条件，即： 一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的（距边界为对于边界内一行的

9、（距边界为h h的）结点，建立的差分方程还将涉及边的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的界上各结点处的值，并包含边界外一行的虚结点处的值，并包含边界外一行的虚结点处的值。值。xyxxxyyylmflmf3 3、边界条件、边界条件 在 上s代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）土木工程与力学学院 蒋一萱182022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解由图（由图（52）可见）可见cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx图5-2因此，式

10、（因此，式（b）可以改写成）可以改写成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx 222222;xylmflmfyx yx yx （b）土木工程与力学学院 蒋一萱192022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解约去约去 dydy、dxdx 得：得： xyddffdsydsx ； （c）关于边界上任一点处关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点的值，可将上式从基点 A A 到到 任意点任意点B B ，对对 s s 积分得到：积分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）土木工程与力学学院 蒋一萱

11、202022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解由高等数学可知，ddd.dddxysxsys 将此式亦从 A 点到 B 点沿 s 进行积分，就得到边界上任一点 B 处的 值。为此利用分部积分法，得： dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx图5-2土木工程与力学学院 蒋一萱212022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解xyddffdsydsx ； （c）将式(c),(d)代入，整理得：ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）

12、dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy()()() d() dBBBABABABxByAAAAxxyyyy f sx x f sxy （e）土木工程与力学学院 蒋一萱222022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设 已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点B的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()() d() dBBBABABABxByAAAAxxyyyy f sx x f sxy （e）土木

13、工程与力学学院 蒋一萱232022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解于是式(d)，式(e) 简化为：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 讨论：（1）（511）右边积分式表示AB之间， 方向的面力之和；x（2）（512）右边积分式表示AB之间， 方向的面力之和改号；y（3）（513）右边积分式表示AB之间， 面力对B的力矩之和；y（4）以上结果不能用于多连体的情况。土木工程与力学学院 蒋一萱242022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解 至此，我们解决了怎样计算边界上各结点边界外一行的虚

14、节点的 值139141022ABhxhy（514）0 xy0312456789101112A1314Bhh1392Axh14102Byh土木工程与力学学院 蒋一萱252022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（2）应用公式（514），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相 应结点处的 值来表示。0AAAxy取 （1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于边界方向的导数值。xy139141022ABhxhy（514）土木工程与力学学院 蒋一萱26202

15、2-5-28（3）对边界内的各结点建立差分方程（510），联立求解这些结点处的 值。5.2 应力函数的差分解应力函数的差分解用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行（续）：0123456789101112208() 2() () 0 （4）按照公式（514），算出边界外一行的各虚结点处的 值。139141022yABhxh（514）土木工程与力学学院 蒋一萱272022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解（5 5）按照公式（）按照公式（5 59 9）计算应力的分量。）计算应力的分量。 说明：说明： 如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则如果一部分边界是曲线的，或是不与坐

16、标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（方程（5 51010）必须加以修正。）必须加以修正。用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行（续）：2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 土木工程与力学学院 蒋一萱282022-5-285.2 应力函数的差分解应力函数的差分解222)(! 21)(BBBBBxxxxxxh;)1 (21)1 (22229BBBxhxh;2122221BBBxhxh;)1 (21)1 (22220BBBxhxh;)1 (1121;)

17、1 ()1 (1)1 (2140222102229BBBBxhxh土木工程与力学学院 蒋一萱292022-5-285.3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例 现以如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载q，并由下角点处的反力维持平衡。土木工程与力学学院 蒋一萱302022-5-285.3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例(1）计算边界上各结点的 、 和 值。取A为基点，且xy0AAAyx由上面公式所得的计算结果见下表。土木工程与力学学院 蒋一萱312022-5-285.3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例1521

18、14201319318217116,215,12, 9 , 6, 326,25,24,23,226qh（2）计算边界外一行各虚结点处的值。上下两边0y139141022yABhxh（514）土木工程与力学学院 蒋一萱322022-5-285.3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例(3）边界内各结点的差分方程,由式（5-10）可知215141312119151413121110815141311107215141211109861514131211109875141312111087421512119876531412111098765421311109875412129865432219

19、876543212108765421296532128654321275432162288208228282021621486822188202828218282048282048682218820282821828204821620485 . 38221882428282182825 . 44821620481882228182828228204821621qhqhqhqhqhqhqhqhqh0123456789101112208() 2() () 0 土木工程与力学学院 蒋一萱332022-5-285.3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例联立求解上式，可得（以qh2为单位 )88.

20、 0,94. 0,92. 0,63. 1,13. 223. 2,10. 2,03. 3,29. 3,35. 259. 3,98. 3,47. 2,89. 3,36. 415141312111098765432188. 0,94. 0,92. 0,47. 2,89. 3,36. 421201918171612. 5,37. 4,90. 3,65. 3,53. 32625242322 （4）计算结点外一行各结点处的值。由前两式（5）计算应力。对于结点MqhMMx28. 0211612152114201319318217116,215,12, 9 , 6, 326,25,24,23,226qh土木工

21、程与力学学院 蒋一萱342022-5-285.3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例同理可得 qqqqqAx84. 1 ,39. 0 ,25. 0,37. 0,31. 0,24. 0,13,10,7 , 4, 1沿着梁的中线MA，的变化如下图和右图所示。 土木工程与力学学院 蒋一萱352022-5-285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能 真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。 基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基

22、础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。土木工程与力学学院 蒋一萱362022-5-285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能土木工程与力学学院 蒋一萱372022-5-285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为为u,v,wu,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力

23、后，发生变形，外力作功，外力功转化为形变势能，储存在弹性体内，单元体内的全部作功，外力功转化为形变势能，储存在弹性体内，单元体内的全部形变势能密度为形变势能密度为1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 11d d dd dd2ijijUU x y zxyz 22xyxyxx或土木工程与力学学院 蒋一萱382022-5-285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111

24、,xyxyxyxyUUU（515） 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。就等于相应的应力分量。土木工程与力学学院 蒋一萱392022-5-285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能222121222 1EuvuvvuUxyxyxy 21EE1平面应力 平面应变222212221AEuvu vvuUdxdyxyx yxy （516）土木工程与力学学院 蒋一萱402022-5-285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能土木工程与力学学院 蒋一萱412022-5-

25、285.4 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能,xyffs,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAswf uf v dxdyf uf v ds（517）土木工程与力学学院 蒋一萱422022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程 设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态。命设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态。命 为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。方程，并满足位移边界条

26、件及用位移分量表示的应力边界条件。, ,u v w 假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移虚位移，或或位移变分位移变分, uv,uuuvvv对于三维时：对于三维时：,uuuuuuwww注：变分和微分都是微量，运算方法相同。注：变分和微分都是微量，运算方法相同。一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）土木工程与力学学院 蒋一萱432022-5-28xyxyAsWfufv dxdyfufv dsxyxyAsVfufv dxdyfufv ds WU5.5 位移变分方程位移变分方程外力虚功外力虚功外

27、力势能外力势能土木工程与力学学院 蒋一萱442022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程给出弹性体的限制条件：给出弹性体的限制条件：（1）没有温度改变（热能没变）；（2）没有速度改变（动能没变）。根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功）三维：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程）位移变分方程（拉格朗日变分方程）表示：表示：在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。外力功的变分。xyxyAsUfufv dxdyfufv d

28、s体力的虚功面力的虚功（522）土木工程与力学学院 蒋一萱452022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程二、推论二、推论-虚功方程虚功方程按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入位移变分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）土木工程与力学学院 蒋一萱462022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程对应于二维情况s

29、xyxyAxxyyxyxyAf uf v dxdyf uf v dsdxdy （524） （524）就是虚功方程虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功虚功。土木工程与力学学院 蒋一萱472022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程三、推论三、推论-极小势能原理极小势能原理令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds将变分与定积分交换次序，移项

30、0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 极小势能原理极小势能原理： （523） 0UV在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。对于稳定平衡状态，这个极值是极小值一组位移应使总势能成为极值。对于稳定平衡状态，这个极值是极小值土木工程与力学学院 蒋一萱482022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程最小势能原理的意义 弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形。位移

31、可以是各种各样的，但必须满足位移的边界条件。满足位移边界条件的位移称为容许位移，容许位移也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。土木工程与力学学院 蒋一萱492022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程 土木工程与力学学院 蒋一萱502022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程 例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小。最小势能原理的简单例子最小势能原理的简单例子 再以最简单的轴向受压的杆件为例，总势能包括外力势能和弹性体的变形势能，这两个势能都以杆件顶部

32、的位移为参数，随位移增大，弹性体的应变能增大，而外力势能减小，其变化曲线如图所示：FuVCuU221其中C为杆的刚度。F土木工程与力学学院 蒋一萱512022-5-285.5 位移变分方程位移变分方程外力势能随位移成直线下降，弹性体势能成抛物线上升，总势能为开始，总势能呈下降趋势，到达某一位置，总势能为最小，过了这一点，弹性体的势能的增加超过了外力势能的减少，总势能又开始增加。在总势能最小点，弹性体在该外力作用下达到平衡。这时的位移是真实的位移。FuCuVU221F土木工程与力学学院 蒋一萱522022-5-285.6 位移变分法位移变分法位移变分法：位移变分法：（1）设定一组包含若干待定系数

33、的位移分量表达式；）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；（2）使它们满足位移边界条件；）使它们满足位移边界条件；（3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程和应力边界条件）并求）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程和应力边界条件）并求 出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。（1）位移分量表达式）位移分量表达式00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐标的函数，是坐标的函数， 为为2m个互不依赖的待定系数个互不依赖的待定系数。00,u v,mmuv,mmAB土木工程与力学学院 蒋一萱532022-5-285.6

34、位移变分法位移变分法（2）考察是否满足边界条件？令 等于给定约束位移值 ；us,u vus在边界 上，令 等于零。,mmuv边界条件满足边界条件满足（3）怎样满足变分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds体力的虚功面力的虚功（522）土木工程与力学学院 蒋一萱542022-5-285.6 位移变分法位移变分法注：位移分量的变分是由系数 的变分来实现的。,mmAB位移分量的变分,mmmmmmuuAvvB（a）形变势能的变分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入变分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uA

35、f vBdsxyxyAsUfufv dxdyfufv ds体力的虚功面力的虚功（522）土木工程与力学学院 蒋一萱552022-5-285.6 位移变分法位移变分法移项，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB变分 是任意的，互不依赖的，所以系数必须为零,mmAB00 xmxmAsmymymAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）mmBA ,土木工程与力学学院 蒋一萱562022-5-28例1：如图（59）所示薄板，不计体力， 约束和外力如图。图：591 111 11uAuAxvBv

36、B y（1）取位移分量表达式如下（2）考察是否满足边界条件？满足22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形变势能（b）5.7 位移变分法的例题位移变分法的例题00 xmxmAsmymymAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）土木工程与力学学院 蒋一萱572022-5-285.7 位移变分法的例题位移变分法的例题形变势能的表达式22111120022 1abEUABAB dxdy 进行积分221111222 1EabUABAB由于不计体力，项数为1，（

37、526）简化为（c）1111xsysUf u dsAUf v dsB（d）（e）代入边界条件积分（d），（e）式就变为1211,UUq abq abAB （f）11,xfq uxa dsdy 1110()bxsf u dsq adyq ab 土木工程与力学学院 蒋一萱582022-5-285.7 位移变分法的例题位移变分法的例题再把形变势能（c）代入上式11121122222 1222 1EabABq abEabBAq ab 解得11,A B122111,qqqqABEE （g）位移分量的解答1221,qqqquxvyEE （h）（4）由几何方程求出应变分量；（5）由物理方程求出应力分量；22

38、1111222 1EabUABAB1211,UUq abq abAB 土木工程与力学学院 蒋一萱592022-5-285.7 位移变分法的例题位移变分法的例题例2xy0aabb图510问题描述：如图510，不计体力，自由边 给定位移：求：薄板位移（1）取位移分量表达式如下220,1xuva （i）2122212211111xx yyuAaa bbxyxyyvBababb （j）（k）土木工程与力学学院 蒋一萱602022-5-285.7 位移变分法的例题位移变分法的例题（2）考察是否满足边界条件？（3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答 02200,0,0,0,0,1,xayy bxayy buuuxvvva 满足满足注：对称性也满足。由于不计体力，也没有面力，式（526）简化为110,0UUAB（l）00 xmxmAsmymymAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）土木工程与力学学院 蒋一萱612022-5-285.7 位移变分法的例题位移变分法的例题22221222 1AE