常微分方程第一到四章知识

1、常微分方程主讲人：袁小平教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第三版）（07年精品教材）， 王高雄等（中山大学), 高教出版社 参考书目： 1 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 2 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 3 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 4 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。课程的教学目的与任务 通过该课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握其基本理论和主要方法，具备良好的解题能力，为学习本学科近代发展理论和后继课程打下基础。同时通过一些成功利用微分方程解释实际现象问题的著名范例，培养学生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的

2、能力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。该课程又是数学分析的继续和进一步学习泛函分析、数理方程等必不可少的基础，对提高学生的素质，使之更好地适应当前经济建设的需要提供必备的知识基础。课程的基本要求 1、正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法。 2、熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程（组）的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程（组）的解法。 3、掌握常微分方程（组）解的基本理论，包括一阶微分方程解的存在唯一性定理和线性微分方程（组）解的性质。第一章 绪论 教学目的与要求 了解常微分方程如何根据实际问题建立数学模型；正确理

3、解微分方程的有关基本概念。 教学重点与难点 微分方程中的基本概念，微分方程数学模型的建立 授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅 授 课 内 容 第一节第一节常微分方程模型 第二节第二节基本概念1.1 常微分方程模型 RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程RL电路基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零RLC电路数学摆人口模型 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r人口模型的改进 Verhulst：引入常数Nm（

4、环境最大容纳量），假设：净相对增长率为)(1 (mNtNrlogistic模型传染病模型 假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t) 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数为kSI模型易感染者：Susceptible已感染者：InfectiveSIS模型 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感染，设单位时间治愈率为muSIR模型（R：移出者（Removed） 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者，而治愈率l为常数两生物种群生态

5、模型 意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t) 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比Volterra被捕食-捕食模型两种群竞争模型Lorenz方程Lorenz吸引子，蝴蝶效应对初值的敏感性分形（fractal）吸引盆总结 微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结

6、构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质1.2 基本概念定义（微分方程）定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数未知函数导数导数（或微分）的关系式称为微分方程（或微分）的关系式称为微分方程; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程1.2.1 常微分方程基本概念 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常

7、微分方程;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程常微分方程常微分方程如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程定义定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的分的阶阶数称为微分方程的阶数数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdx

8、dy是一阶微分方程 0 (2) ydxxdy是二阶微分方程 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程 sin35 )4(2244txdtxddtxd微分方程的阶微分方程的阶如:) 1 (0),dxdyy,F(x,nndxydn阶微分方程的一般形式为.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里xydxyddxyddxydnnnnnn 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd线性和非线性0),dxdyy,F(x,nndxyd如如.,dxdyy阶线性方程则称其为的一次

9、有理式及的左端为ndxydnn如果方程 是非线性微分方程 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxdn阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程微分方程的解定义:,),(满足条件如果函数Ixxy;)() 1 (阶的连续导数上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有对.0),dxdyy,F(x,(x)y上的一个解在为方程则称Idxydnn)(xy称为方程的显示解例.),(0ycosxysinx,y上的一个解在都是微分方程验证

10、y证明:由于对sinx,y xsinycosx,y(,),x 故对有 yyxsin0 xsin.),(0ysinxy上的一个解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一个解在是微分方程同理y显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn隐式解注:显式解与隐式解统称为微分方程的解例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解2211.yxyx 和和隐式解:. 122 yx通解与特解定义 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解例如:为任

11、常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 注:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例.62y2y3cy2321的通解是微分方程验证yyececexxxxxxecece23212cy证明: 由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321

12、xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx类似可定义方程的隐式通解 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程

13、的通解隐式通解也称为“通积分” 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解例如.0ycosxysinx,y的特解都是方程y中分别取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定义定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy时当.1,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始

14、条件时,相应的定解问题称为初值问题注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例（P19）.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyycexyy45y-4x

15、21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc0.045yecy-4x21的通解是方程故yycex有由初始条件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程组得1, 321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3yxe积分曲线和方向场 积分曲线一阶微分方程),(dxdyyxf,(x)y平面上的一条曲线所表示的解xy称为微分方程的积分曲线.,c)(x,y族称这族曲线为积分曲线平面上的一族

16、曲线对应而其通解xy方向场),(dxdy,),(,),(,),(,),(yxfDyxyxfyxDDyxf为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.,),(,),(dxdy为参数其中的等斜线为方程kkyxfyxf例 研究下列方程的方向场和积分曲线微分方程组驻定与非驻定，动力系统 驻定（自治） 非驻定（非自治）相空间、奇点和轨线 不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间 积分曲线在相空间中的投影称为轨线 称为平衡解（驻定解、常数解），奇点、平衡点例0)0(, 1)0(),( ,11v

17、uvugudtdvvfvdtduu),sin,(cos)(),( |),()sin,(cos)(),(111122ttttvtutvutttvtuvu垂直等倾线、水平等倾线第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目的与要求 1. 熟练掌握一阶微分方程的初等解法； 2.掌握特殊的一阶隐式微分方程的解法。 教学重点与难点 一阶微分方程的初等解法 授 课 方 法 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅 授 课 内 容 第一节第一节变量分离方程与变量变换 第二节第二节线性方程与常数变易法 第第三节 恰当方程与积分因子 第四节第四节一阶隐方程与参数表示2.1变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换yxy

18、edxdy122yxdxdyxyeye定义1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,称为变量分离方程.,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFdxdy一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解,10分离变量,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.)2 . 2()()(cdxxfydy的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf.) 1 . 2(),()2 . 2(的解就为所确定的函数由cxy) 1 . 2()()(yxfdxdy两边积分得02写成将时当) 1 . 2(,0)(y例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分离变

19、量:两边积分:.,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必须予以补上的通解中它不包含在方程可能的解也是则使若存在yyyy注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:再积分方程两边同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy积分得:110lncxyy得再将常数记为从上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100, 0)101 (yyyy和求出方程的所有解为由故方程的所有解为:,110为任常数cceyx. 0y和110lncxyy解:分离变量后得dxxdyy123两边积分得:121ln2cxy整理后得通解为:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231无

20、意义在由于函数其中xxyecc.00之一中有意义或故此解只在xx., 0应补上这个解未包含在通解中此外还有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的连续函数是其中的通解xxp解:将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得:1)(lncdxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外ycy.,)(为任常数cceydxxp故方程的通解为1)(cdxxpey例4.1)0(cos2的特解求初值问题yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得将变量分

21、离时当,0yxdxydycos2两边积分得:,sin1cxy因而通解为:,sin1cxy.为任意常数其中c.,0得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外cy 再求初值问题的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解为:.sin111sin1xxy二、可化为变量分离方程类型二、可化为变量分离方程类型（I）齐次方程）齐次方程.,)(222111222111为任意常数其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引入新变量作变量代换,)(10 xyu ,)(xuugdxd

22、u)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为,0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2例6求下面初值问题的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux将变量分离后得xdxudu

23、21两边积分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1. 1, 0) 1 (cy可定出最后由初始条件故初值问题的解为) 1(212xyxdxudu21(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.的情形022121bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy则方程化为令,22ybxaudxdu)(

24、22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22这就是变量分离方程不同时为零的情形与且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa则).0 , 0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解方程化为作变换,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu 求解04变量还原05例7求微分方程3

25、1yxyxdxdy的通解.解:解方程组0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11将变量分离后得XdXuduu21)1 (两边积分得:cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxy

26、u 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令ydxxdydu则代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分离变量后得xdxduuu212两边积分得cxuu2lnln1变量还原得通解为.ln1cyxxy三、应用举例三、应用举例例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小

27、时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。解:则表面积为雪球的体积为设在时刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根据球体的体积和表面积的关系得)(3)4()(323231tvts再利用题中条件得引入新常数,3)4(3231k3232313)4(vkdtdv36)2(,288)0(vv,32v分离变量并积分得方程的通解为.)(271)(3tctv由初始条件得3369,636c代入得雪球的体积随时间的变化关系为.)312(6)(3ttv.4 , 0:t实际问题要求注2.2 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可

28、写成在0)(xa) 1 ()()(xQyxPdxdy的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(变为则若) 1 (, 0)(xQ)2()(yxPdxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若) 1 (, 0)(xQ一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法解对应的齐次方程01( )(2)dyp x ydx得对应齐次方程解常数变易法求解02) 1 (),(的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(则的解为令,) 1 ()()(dxxpexcy) 1 ()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1

29、)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得)()()(cdxexQxcdxxp的通解为故 ) 1 (30)3()()()(cdxexQeydxxpdxxp注 求(1)的通解可直接用公式(3)例1 求方程1) 1() 1(nxxenydxdyx通解,这里为n常数解: 将方程改写为nxxeyxndxdy) 1(1首先,求齐次方程yxndxdy1的通解从yxndxdy1分离变量得dxxnydy111lnlncxny两边积分得故对应齐次方程通解为nxcy) 1( 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,代入得为原方程的通解令,) 1)(nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc) 1()

30、 1)() 1)() 1()(11即xedxxdc)(积分得)(cexcx故通解为为任意常数),() 1(ccexyxnndxxndxxpxccecey) 1(1)(例2 求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22 即yxydydx2，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(22cdyeyedyydyy。ccyy为任意常数),ln(2例3 求值问题1) 1 (, 1432yxyxdxdy的解.解:先求原方程的通解)()()(cdxexQeydxxpdxxp) 14(323cdxexe

31、dxxdxx)1) 14(323cdxxxx)21ln4(23cxxx3432lnxcxxx代入后得将初始条件1) 1 (y23c故所给初值问题的通解为223ln343xxxxy)1) 14(323cdxxxx方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03例4 求方程yxxydxdy222的通解.解:, 1,nBernoulli方程这是代入方程得令,2yz 21xzxdxdz解以上线性方程得

32、)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解将yz 3221xcxy例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 二 线性微分方程的应用举例电路的电路的Kirchhoff第二定律第二定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零. 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 ,RIdtdIL.ERIdtdIL解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律, 得到 设当开关K合上后, 电路中在时刻

33、t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,. 0)0(I即.LEILRdtdI得通解为:REcetItLR)(故当开关K合上后,电路中电流强度为)1 ()(tLReREtI,0)0(得由初始条件IREcREcetItLR)(作业P481: 22.3 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuu dyyudxxudu如果恰好碰见方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu定义1使得若有函数),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程)

34、 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程.),() 1 (cyxu的通解为此时如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxfd1 恰当方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为恰当方程?(2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,

35、),(),(xyxNyyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM证明“必要性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu从而2,Muyy x 2.Nuxx y 从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,)5(y满足则需构造函数),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即应满足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydx

36、yxMyxu,)(的任意可微函数是这里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(无关的右端与下面证明x的偏导数常等于零即对x事实上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同时满足使下面选择),6(),(uydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu),(dxyxMxyxNyMxN. 0积分之得右端的确只含有于是,)7( ,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu为恰当方程从而存在即) 1 (,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)为恰当方程,

37、则其通解为为任常数ccdydxyxMyNdxyxM,),(),(二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1 不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1 验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy这里( , )1M x yy所以故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu, yexux,sin2yxyu积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义xyeyx,)()(),(ydxyeyx

38、ux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把剩余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxy

39、xd例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,( , )64,M x yxxyN x yx yy这里( , )12M x yxyy所以故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故通解为:。ccyxyx为任常数,32243,),(xyxN例3 验证方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1 (),(,sincos),(22xyyxNxyxxy

40、xM这里yyxM),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件, 2)0(y, 4c故所求的初值问题的解为:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3 线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分为某函数),(),(),(使即有函数),(yx

41、u,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。为恰当方程从而 ) 1 (则取这时,),(,00Ryx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN从而(1)的通解为。ccdyyxNdxyxMyyxx为任常数,),(),(000例4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:, 2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.,),(),(全平面上连续在由于yxNyxM则故取),0 , 0(),(00yxyx

42、dyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2sin2为任常数ccyexxyy故通解为:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10)(对一阶线性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(dxx

43、Pe, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则或左边( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.( )( )( )P x dxP x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy1 定义使得如果存在连续可微函数, 0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.) 1 (),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdxxyyyxyx解:对方程有),()

44、,(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后为恰当方程故所给方程乘于yx.),(是其积分因子所以yx后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:。ccyxyx为任常数,34232 积分因子的确定:0),(),(),(充要条件是的

45、积分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx尽管如此,方程)(xNyMyMxN还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.则的积分因子有关存在仅与如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM这时方程, 0y)(xNyMyMxN变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有关由于上式左侧仅与 x,的函数的微分所以上式右侧只能是x是的积分因子的必要条件赖于有一个仅依从

46、而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM.),()10(无关而与的函数只是若yxx,)()(dxxex则。dyyxNdxyxM一个积分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(这里dxxd)( )( , )x N x yx( )( , )( , )( )dxN x yN x yxdxx( )( , )( )x dxN x y ex( , )( )N x yxx( , )( , )() ( )M x yN x yxyx( , )( )N x yxx( , )( )M x yxy( )( , )x M x yy)( , )( , )0 xM x y dxN x y dy

47、故 ( 是方程一个积分因子.3 定理微分方程是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x,)(NxNyM的积分因子为这时有关仅与) 1 (,x,)()(dxxexNxNyMx)()(这里充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理y) 1 (,)(MxNyM的积分因子为这时有关仅与) 1 (,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy这里例6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与xy,

48、)(xdxxex)()(dxe1xe后得对方程两边同乘以xex )(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为.,222为任意常数ccyeeyxx1)()(NxNyMx 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法 绝大多数方程求解都可以通过寻找到一 个合适的积分因子来解决 但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改写为:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有积分因子,1),(22yxyx:),(乘改写后的方程两边得以yx,2)(2222d

49、xyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解为:.,22为任常数ccxyx例8 求解方程. 0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM这里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰当方程,方法1:MxNyM)(因为y2,有关仅与y的积分因子故方程有一个仅依赖于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程两边得以y. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解为:.lncyyx)(y方法2:方程改写为:,ydyxdyydx容易看出方程左侧有积分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有关但方程右侧仅与y由此得

50、为方程的积分因子故取,12y.2ydyyxdyydx故方程的通解为:.lncyyx方法3:方程改写为:dxdy yxyxyxy1这是齐次方程,代入方程得令xyu duxudx即,112dxxduuu,1 uu故通解为:,lnln1cxuu变量还原得原方程的通解为:.lncyyx方法4:方程改写为:, 11xydydx分方程为自变量的一阶线性微为未知函数它是以yx,故方程的通解为:)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(11cdyeedyydyy)1(cdyyy),ln(cyy即方程的通解为:.lncyyx2.4 一阶隐方程与参数表示一阶隐方程与参数表示 )(未能解出或相当复杂y一阶隐式

51、方程) 1 (, 0),(yyxF求解采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型),() 1 (yxfy ),()2(yyfx , 0),()3(yxF, 0),()4(yyF定义有时使当与上的函数如果存在定义在对于微分方程,),(),()(),(, 0),(ttytxdxdyyxF, 0)()(),(),(ttttF.0),(),(,)()(的参数形式解为方程则称dxdyyxFttytx的参数形式通解为同样可定义方程0),(dxdyyxF).,(,),(),(tctyctx的方程或可解出一)(xy、1 形如)2(),(dxdyxfy 方程的解法,。yxf有连续的偏导

52、数这里假设),(变为则方程引进参数)2(,10yp )3(),(pxfy 得代入并以求导两边对将,)3(20pdxdyx)4(,dxdppfxfp。px的一阶微分方程这是关于变量 ,fpdpxfdxp),(cxp(I) 若求得(4)的通解形式为)4(,dxdppfxfp将它代入(3),即得原方程(2)的通解。ccxxfy为任常数),(,(II) 若求得(4)的通解形式为),(cpx则得(2)的参数形式的通解为),(cpx),),(pcpfy., 是任意常数是参数其中cp)3(),(pxfy (III) 若求得(4)的通解形式为0),(cpx则得(2)的参数形式的通解为0),(cpx),(pxf

53、y ., 是任意常数是参数其中cp附注1:.,了而不再表示只起参数作用这也表明在通解中的另方面一方面这是习惯所至来替代通常用数在参数形式通解中的参ydxdyptp附注2:.,),(,),(,.),(,),(,),(,111这显然是不对的与数常中有两个相互独立的任而常数通解中只有一个任意是一阶微分方程因为我们可这样去理解得到分积并进而两边关于即看成中的不应把能解比如在求得通解后cccdxcxyyxfycdxcxyxcxdxdydxdypcxp解:则原方程变为令, pdxdy)6(,2)(22xxppy求导得两边对x,2xpdxdpxdxdppp整理化简后得方程)7(, 0)2)(1(xpdxdp

54、例1 求解方程.2)(22xdxdyxdxdyy解得(7)的通解为:. cxp将它代入(6)得原方程的通解:)8(,222为任常数cxcxcy)6(,2)(22xxppy)7(, 0)2)(1(xpdxdp又从02 xp解得(7)的一个解为:,2xp 01dxdp从将它代入(6)得原方程的一个解:.42xy 故原方程的解为:通解:)8(,222为任常数cxcxcy及一个解:.42xy .)8(,4,4)8(22该点与之相切中的某一条积分曲线在都有积分曲线族处上的每一点且在积分曲线不包含这里通解xyxy的包络为曲线在几何中称曲线)8(42xy 。xy为原方程的奇解在微分方程中称解42例2.求在第

55、一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.解:),(xyy 设所求的曲线为的切线方程为则过曲线上任一点),(yx)(xXyyY,),(为切线上的动点其中YX因此,切线在坐标轴上的,:yyxaa为横载距,:xyybb为纵载距因所求曲线在第一象限,由题意得2)(21xyyyyx即24)(yxyy:)0(得解以上方程y,2yxyy:得令py ,2pxpy:求导得两边对x,1dxdppdxdpxpp即, 0)1(dxdppx,0时当dxdp, cp 有故得通解为:,2ccxy它是直线族.,01时当 px得另一特解为:01 pxpxpy2:得消去参数p, 1xy这是双曲

56、线,显然这才是我们所要求的一条曲线., 0)1(dxdppx,2pxpy0p)1(ppp22)(p2 形如)9(),(dxdyyfx 方程的解法,。yyf有连续的偏导数这里假设),(变为则方程引进参数)9(,10dxdyp ),(pyfx 得代入并以求导将上式两边对,1,20pdydxy)10(,1dydppfyfp。py的一阶微分方程这是关于变量 ,pfyfpdydp1)10(,1dydppfyfppfyfpdydp1若求得(10)的通解形式为0),(cpy则得(9)的参数形式的通解为., 是任意常数是参数其中cp0),(cpy),(pyfx 例3 求解方程. 02)(3ydxdyxdxdy

57、解:,代入方程得设dxdyp 方程变形为:dxdydxdyyx2)(3).0(,23pppyx得代入并以求导上式两边对,1,pdydxy,2)()31 (1232pdydppydydpppp即, 023dppydppdy解以上微分方程得:,24cpyp因而:,24ppcy故方程的通解参数形式为22434ppcx223ppcy).,0(为任常数为参数 cp . 0,y还有解此外22434ttcx223ttcy习惯通解记成:).,0(为任常数为参数 ct 的方程或不显含二)(xy、1 形如)11(, 0),(dxdyxF方程的解法,。yxF有连续的偏导数这里假设),(,dxdyp 设.),(,或若

58、干条曲线平面上的一条曲线表示从几何上看xoppxF, 0),(:)11(pxF变为则为参数表示若能找到该曲线的参数ttptx),(),(:, 0)(),(ttF即满足:恒满足的任何一条积分曲线上由于沿方程,0),(pxFpdxdxydy代入上式得把)(),(tptxdy)()(tdtdttt)()(两边积分得,)()(cdttty于是得到原方程参数形式的通解为)(tx,)()(cdttty解的步骤:则方程变为设,10dxdyp , 0),(pxF即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,20pxFt,)()(tptx并两边积分得代入把,)(),(30pdxdytptx,)()(cdttty,)

59、()()(40cdtttytx通解为“关键一步也是最困难一步”例4 求解方程,)(12dxdyxdxdy解的隐式方程这是不显含y:,则方程变为设dxdyp ,12pxp把方程表为参数形式引入参数 , t代入方程得令,22,tanttp.sintx 故原方程参数形式的通解为txsinctycos得通解为可以消去参数 , t. 1)(22cyx由于 pdxdytdttcostan,sintdt积分得dttysinct costxtpsin,tan2 形如)12(, 0),(dxdyyF方程的解法,。yyf有连续的偏导数这里假设),(解的步骤:,10则方程变为设dxdyp , 0),(pyF即用参数

60、曲线表示出来将引入参数,0),(,20pyFt)(),(tpty并两边积分得代入把,)(),(30pdydxtpty,)()(cdtttx,)()()(40tyCdtttx通解为“关键一步也是最困难一步”例5 求解微分方程. 1)(1 (22dxdyy解,0),(类型方程属于dxdyyF:,则方程变为设dxdyp . 1)1 (22 py代入方程得令,costp ,sin1ty由于pdydxdttt2sincostcosdtt2sin1故原方程参数形式的通解为,cotctx,sin1ty代入原方程得时当,0y, 12y。y也是原方程的解故知1积分得dttx2sin1,cotct 第三章 一阶微