D101二重积分概念82527学习教案

1、会计学1D101二重积分概念二重积分概念(ginin)82527第一页，共48页。柱体体积柱体体积= =底面积底面积高高特点特点(tdin)(tdin)：平顶平顶. .柱体体积柱体体积(tj)=？特点特点(tdin)(tdin)：曲顶曲顶. .),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第1页/共48页第二页，共48页。解法解法: 类似定积分类似定积分(jfn)解决问题的思想解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(tj) 给定曲顶柱体:底：底： xOy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小大化小, 常代变常

2、代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” D),(yxfz 第2页/共48页第三页，共48页。1)“大化(d hu)小”用任意曲线(qxin)网分D为 n 个区域以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体k),(kk第3页/共48页第四页，共48页。4)“取极限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),(kk第4页/共48页第五页，共48页。有一个平面(pngmin)薄片, 在 xOy 平面(pngmin)上占有区域 D ,计算该薄片(bo pin)的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常

3、代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块 .yxO第5页/共48页第六页，共48页。yx2)“常代变”中任取一点(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取极限(jxin)”k),(kk则第 k 小块的质量第6页/共48页第七页，共48页。两个(lin )问题的共性：(1) 解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 第7页/共48页第八页，共48页。定义定义(dngy):将

4、区域(qy) D 任意分成 n 个小区域(qy)任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第8页/共48页第九页，共48页。对二重积分定义对二重积分定义(dngy)的说明：的说明：二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义当被积函数当被积函数(hnsh)大于零时，二重积分是柱体的体积大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第9页/共48页第十页，共48页。引例(yn l)1中曲顶柱体体积:引例2中平

5、面薄板(bo bn)的质量:如果(rgu) 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 yxO第10页/共48页第十一页，共48页。若函数(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, 在 D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . y1x1DO第11页/共48页第十二页，共48页。( k 为常数(chngsh) 为D 的面积(min j), 则 第12页/共48页第十三页，共48页

6、。特别(tbi), 由于则5. 若在D上),(yxf6. 设D 的面积(min j)为 ,则有第13页/共48页第十四页，共48页。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理)证证: 由性质由性质(xngzh)6 可知可知,由连续函数介值定理, 至少(zhsho)有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此第14页/共48页第十五页，共48页。解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab第15页/共48页第十六页，共48页。解解: D 的面积的面积(min j)为为由于(yuy)积分性质5即: 1.96 I 210101010DxyO第16页

7、/共48页第十七页，共48页。其中(qzhng)解解: 积分积分(jfn)域域 D 的边界为圆周的边界为圆周它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上y2x1OD第17页/共48页第十八页，共48页。解解oxy121D第18页/共48页第十九页，共48页。的正负号.解解: 分积分分积分(jfn)域为域为则原式 =3D311D猜想结果(ji gu)为负 但不好估计 .舍去此项yxO第19页/共48页第二十页，共48页。xyO),(yxfD 位于(wiy) x 轴上方的部分为D1 , 当区域(qy)关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1

8、D在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第20页/共48页第二十一页，共48页。如果积分如果积分(jfn)区域为：区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,baX X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 四、曲顶柱体体积四、曲顶柱体体积(tj)的的计算计算第21页/共48页第二十二页，共48页。设曲顶柱的底为任取平面(pngmin)故曲顶柱体体积(tj)为截面积为截柱体的)(2xy)(1xy0 xzxyabDO记作记作 第22页/共48页第二十三页，共48页。如果如果(rgu)积分区

9、域为：积分区域为：Y Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第23页/共48页第二十四页，共48页。同样(tngyng), 曲顶柱的底为则其体积(tj)可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy记作记作 第24页/共48页第二十五页，共48页。 X X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴轴的直线与区域边界相交不多于两个的直线与区域边界相交不多于两个(lin (lin )交点交点. . Y Y型区域的特点：穿过型区域的特点：穿过(chun u)(chun u)区域且平区域且平

10、行于行于x x轴的直线与区域边界相交不多于两个交轴的直线与区域边界相交不多于两个交点点. .若区域若区域(qy)如图，如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割则必须分割. .第25页/共48页第二十六页，共48页。xy 1解解积分积分(jfn)区域如图区域如图第26页/共48页第二十七页，共48页。xy 222xxy 解解积分积分(jfn)区域如图区域如图第27页/共48页第二十八页，共48页。解解原式原式a2aa2a第28页/共48页第二十九页，共48页。第29页/共48页第三十页，共48页。811第30页/共48页第三十一页，共48页。第31

11、页/共48页第三十二页，共48页。第32页/共48页第三十三页，共48页。所围成的闭区域直线及是由抛物线其中计算例2,62xyxyDxydD第33页/共48页第三十四页，共48页。解解: 设两个设两个(lin )直圆柱方程为直圆柱方程为利用对称性, 考虑(kol)第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为222RzxDxyzRRO第34页/共48页第三十五页，共48页。解解2xy 2yx 2xy 2yx 第35页/共48页第三十六页，共48页。解解第36页/共48页第三十七页，共48页。解解2xy xy 第37页/共48页第三十八页，共48页。解解曲面曲面(qmin)围成的立体如图围成的立体如

12、图.第38页/共48页第三十九页，共48页。第39页/共48页第四十页，共48页。1. 二重积分的定义(dngy)2. 二重积分的性质(xngzh)(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法X X型型.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y Y型型（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）第40页/共48页第四十一页，共48页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, 解解: 由它们(t men)的积分域范围可知11xyO1. 比较下列积分值的大小关系:第41页/共48页第四十二页，共48页。的大小(dxio)顺序为 ( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yOx1D第42页/共48页第四十三页，共48页。解解:02第43页/共48页第四十四页，共48页。其中(qzhng)D 为解解: 利用利用(lyng)题中题中 x , y 位置的对称性位置的对称性, 有有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yOx1D