普通高等学校招生全国统一考试数学理科试卷及答案

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 TOC o 1-5 h z 橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第I卷一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的一项。.已知集合 A=x| x2 2x 3 0 , B=x | 2w x

2、 O,则a的取值范围为A. (2, +8)B. (-00, -2) C. (1, +0)D.(-巴-1).如图，网格纸上小正方形的边长为最长的棱的长度为1 ,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,A.62 B. 4.2 C.6 D.4第II卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共四小题，每小题5分。. (x y)(x y)8的展开式中x2y2的系数为.(用数字填写答案).甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但

3、没去过B城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.uuur 1 uuur uuur uuu uuur.已知A, B, C是圆。上的三点，若 AO -(AB AC),则AB与AC的夹角为一.2.已知a,b,c分别为 ABC的三个内角 A,B,C的对边，a =2,且(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ,则 ABC面积的最大值为三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,a=1,a0。，aanSn1,其中 为常数.(I )证明：an 2 an;(n)是否存在 ，使得 an为

4、等差数列？并说明理由.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：0.03342 .O力 OO(I )求这500件产品质量指标值的样本平均数X和样本方差s2 (同一组数据用该区间的中点值作代表)；本文来自有途高考网 HYPERLINK (n)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 N( , 2),其中 近似为样本平均数X,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2)；(ii )某用户从该企业购买了100件这种产品，记 X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187

5、.8,212.2 )的产品件数，利用(i)的结果，求 EX .若ZN( , 2),则P(附：田50 12.2.Z )=0.6826, P( 2 Z 2 )=0.9544.(本小题满分12分)如图三棱锥 ABC AB1C1中，侧面BBiCiC为菱形，AB BQ .(I )证明：AC AB1 ；(n )若 AC AB1 , CBB1 60, ab=Bg求二面角A AB1cl的余弦值. TOC o 1-5 h z .(本小题满分12分)已知点 A (0,-2), 22椭圆E：二与 1(a b 0)的离心率为 a2 b2叵,F是椭圆的焦点，直线 AF的斜率为也,。为坐标原点 HYPERLINK l b

6、ookmark40 o Current Document 23(1)求的方程；有图高考网(n)设过点 A的直线l与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求l的方程.x be一一.(本小题满分12分)设函数f(x0 ae In x ,曲线y f(x)在点(1, f(1)处的切线为xy e(x 1) 2. ( 1)求2巾；(n)证明：f(x) 1.请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图，四边形 ABCD。的内接四

7、边形，AB的延长线与 DC的延长线交于点E,且CB=CE.(I )证明：/ D=Z E;(n)设 AD不是O。的直径，AD的中点为M,且MB=MC证明： ADE为等边三角形.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C :y 2 2tt (t为参数).(i )写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;(n)过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A,求| PA|的最大值与最小值.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲若 a 0,b 0,且1 1 Tab. a b(i)求a3 b3的最小值；(n)是否存在a,b,使得2a 3b 6?并说明理由2014年普通高等学校招生全国

8、统一考试理科数学试题答案(B卷)一选择题1. A2.D7 .D8. C3.C4,A9. B 10.B5.D6.C11.C12.B15.90度 16. 一二填空题13.-2014.A三解答题17.解：(I)由题*, 函U=bSn-1 、+ i? + d=bSn-1两式，目减的氏+1:；I %)=b7+i由于底国,所以氏十对三j(，)由题设，由(I解得b=4爪；一%CEZI,由此可得位3是首项为1,公差为4的等差数列，.1二4”是首项为3,公差为4的等差数列，矶=4n-1所以也三至习册=2因此存在b=4,使得数列为等差数列(18)解(I)收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是a=20

9、0b=150(也)由上诉可此，ZN(200, 165),从而P (187.8Z212.2) =P(200-12.20,即 k23 时，x12=8k 2*4k 34.4k2 1从而 |PQ|= k2 1 | x1x21=4、k2 1*，4k2 34k2 1又点O到直线PQ的距离d=-r= o所以 OPQ的面积.k 11 ，Svopq2dPQ|4%4k2 34 k2 1.9分设“k2 3 t ,则 t 0,Sopq4t 4t2 4 . 4t - t因为t+ 4 4.当且仅当t=2,即k= 近 时等号成立，且满足 0. t2所以，opa勺面积最大时，i的方程为.12 分(21)解:(I)函数 f(X

10、)的定义域为 0, f (x) =aexin x - ex 2 ex1x X由题意可得f (1) =2 , f (1) =e故 a=1, b=2 5 分(II )由(I)知，f (x) =exlnx -ex1,从而 f (x) 1 等价于 xlnx设函数 g (x) =xlnx，则 g (x)=1+lnx所以当 x (0, 1)时，g (x) 0. eexexe故g (x)在(0, 1)单调递减，在(1, 十 ee值为g (1) =- 18分)单调递增，从而g (x)在(0,)的最小设函数h (x) = xe2,则 h (x) exe (1 x).所以当x (0,1)时,h (x) 0;当 x

11、 (1,)时，h (x) 0 时，g (x) h (x),即 f (X) 1 .12分(22)解：(I)由题设知A,B,C,D四点共圆，所以 D= CBE由已知得 CBE= E,故 D= E5(II )设BC的中点为N,连结MN WJ由MB=MC MNL BG 故O在直线MN。又AD不是e。的直径，M为AD的中点，故 OMLAD,即MNLAD所以 AD/BC,故 A= CBE又 CBE= E,故 A= E。由(I)知， D= E,所以 AD助等边三角形。(23)解：(I)曲线C的参数方程为x 2cos , y 3sin ,(为参数)直线l的普通方程为2x+y-6=0(II )曲线C上任意一点P (2cos , 3sin )到l的距离为当 4cos3sin则PA当sin3 2 Ainsin 3056 ,其中为锐角，且tan当sin=-1时