人教A版（2019）选择性必修一2.3直线的交点坐标与距离公式：距离公式（中下）学案（Word版含答案）

1、直线方程专题8-1 距离公式（中下）（4套，5页，含答案）知识点：距离公式中下：（1）不能够直接算出来的设X；（2）一般已知一点求方程，设点斜式；已知斜率求方程，设斜截式；（3）有些最值问题可以通过图像分析，把它转化为距离问题；（4）平行线截线段的长度，用图像分析，并且要考虑两种情况，结合正切和差公式计算；典型例题1：直线L与两条直线y1，xy70分别交于P，Q两点，线段PQ的中点为（1，1）那么直线L的斜率为（ 答案：C； ）（A） （B） （C） （D）点M到x轴和到点N(4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为_ 答案：(2，10)或(10，10)；解析设M(x，y)，则|y|eq r(

2、x42y22)10解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y10)或eq blcrc (avs4alco1(x10，,y10)_已知正方形的中心为直线2xy20，xy10的交点，正方形一边所在的直线方程为x3y50，求正方形其他三边的方程 答案：3xy90，x3y70，3xy30；解设与直线l：x3y50平行的边的直线方程为l1：x3yc0由eq blcrc (avs4alco1(2xy20,xy10)得正方形的中心坐标P(1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，则eq f(|15|,r(1232)eq f(|1c|,r(1232)，得c7或c5(舍去)l1：x3y70又正方形

3、另两边所在直线与l垂直，设另两边方程为3xya0，3xyb0正方形中心到四条边的距离相等，eq f(|3a|,r(3212)eq f(|15|,r(1232)，得a9或3，另两条边所在的直线方程为3xy90，3xy30另三边所在的直线方程分别为3xy90，x3y70，3xy30过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( 答案：D；参考答案与解析:解析：解法一 kAB4，线段AB中点C(3，1)， 过P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y24(x1)，即4xy60.此直线符合题意.过P(1，2)与线段AB中点C(3，1)的直线方程为y2 (x1)，

4、即3x2y70.此直线也是所求. 故所求直线方程为4xy60或3x2y70.即4xy60或3x2y70.解法二 显然这条直线斜率存在设直线方程为ykxb，据条件有化简得或k4，b6或k，b直线方程为y4x6或y.即4xy60或3x2y70. ) A.4xy60 B.x4y60 C.2x3y70或x4y60 D.3x2y70或4xy60随堂练习1：ABC的两顶点A（3，7），B（2，5），若AC的中点在Y轴上，BC的中点在x轴上。（1）求点C的坐标；（2）求AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率 。（ 答案：，；）过点P（0，1）作直线L，使它被两条已知直线所截得的线段AB被点P平分，求直线L的

5、方程。 （ 答案：；）已知直线L的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为eq r(37)，求直线L的方程 答案：y6x6；解方法一设所求直线l的方程为ykxbk6，方程为y6xb令x0，yb，与y轴的交点为(0，b)；令y0，xeq f(b,6)，与x轴的交点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,6)，0)根据勾股定理得eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,6)2b237，b6因此直线l的方程为y6x6方法二设所求直线为eq f(x,a)eq f(y,b)1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)、(0，b)由勾股定理知a2b237又keq f(b,a)6，eq blc

6、rc (avs4alco1(a2b237，,f(b,a)6.)解此方程组可得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b6)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b6.)因此所求直线l的方程为xeq f(y,6)1或xeq f(y,6)1已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x4y70的距离相等，则实数m等于( 答案D；解析由题意得eq f(|9167|,5)eq f(|184m7|,5)，解得meq f(7,4)或meq f(29,4).)A.eq f(7,4) Beq f(29,4) C1 D.eq f(7,4)或eq f(29,4)典型例题2：过点（1，4）作直线L使

7、点M（1，2）到直线L距离最大，则直线L的方程为（ 答案：；）点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是( 答案A；解析x2y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，原点到直线xy40的距离为eq f(|4|,r(2)2eq r(2)，x2y2最小值为8.故选A.)A8 B2eq r(2) C.eq r(2) D16两条平行线分别经过点(1，0)和(0，5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是_ 答案y5和y0或者5x12y600和5x12y50.；解析设l1：ykx5，l2：xmy1，在l1上取点A(0，5)由题意A到l2距离为5，eq f(|05m1|,r(1m2)5，解得

8、meq f(12,5)，l2：5x12y50.在l2上取点B(1，0)则B到l1的距离为5，eq f(|k05|,r(1k2)5，k0或keq f(5,12)，l1：y5或5x12y600，结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：l1：y5，l2：y0；或l1：5x12y600，l2：5x12y50._已知直线L被两平行直线3xy60和 3xy30所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线L的方程. 答案：y0或3x4y30；随堂练习2：已知A(5，2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( 答案C；解析|AB|eq r(a42a32)eq r(2a22a25)

9、eq r(2af(1,2)2f(49,2)，当aeq f(1,2)时，|AB|取最小值)Aeq f(7,2) Beq f(1,2) C.eq f(1,2) D.eq f(7,2)点P(x，y)在直线xy40上，O是原点，则|OP|的最小值是( 答案：B；|OP|最小值即为O到直线xy40的距离，deq f(|4|,r(2)2eq r(2)Aeq r(10) B2eq r(2) Ceq r(6) D2已知实数x，y满足5x12y60，则eq r(x2y22x4y5)的最小值是( 答案：A；eq r(x2y22x4y5)eq r(x12y22)，它表示点(x，y)与(1，2)之间的距离，两点距离的

10、最小值即为点(1，2)到直线5x12y60的距离，deq f(|1521260|,13)eq f(31,13)Aeq f(31,13) Beq f(89,13) C13 D不存在P，Q分别为3x4y120与6x8y60上任一点，则|PQ|的最小值为( 答案C；解析|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离在直线3x4y120上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.)A.eq f(9,5) B.eq f(18,5) C3 D6若直线m被两平行线L1：xy10与L2：xy30所截得的线段的长为2eq r(2)，则m的倾斜角可以是_ 答案：；_(写出所有正确答案的序号) 15

11、30456075直线方程专题8-2 距离公式（中下）过点P(1，3)的直线L分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线L的截距式是_ 答案：eq f(x,2)eq f(y,6)1；解析设A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点可得m2，n6，即A、B的坐标分别为(2，0)、(0，6)则l的方程为eq f(x,2)eq f(y,6)1_设A、B两点是轴上的点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则PB的方程为（ 答案：A； ） Axy50 B2xy10 C2 yx40 D2xy70等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x3y60上

12、，顶点A的坐标是(1，2)求边AB、AC所在直线方程 答案：AC方程为3x2y70，AB方程为x5y110或5xy30.解已知BC的斜率为eq f(2,3)，因为BCAC，所以直线AC的斜率为eq f(3,2)，从而方程y2eq f(3,2)(x1)，即3x2y70，又点A(1，2)到直线BC：2x3y60的距离为|AC|eq f(10,r(13)，且|AC|BC|eq f(10,r(13).由于点B在直线2x3y60上，可设B(a，2eq f(2,3)a)，且点B到直线AC的距离为eq f(|3a22f(2,3)a7|,r(3222)eq f(10,r(13)，|eq f(13,3)a11|

13、10.所以eq f(13,3)a1110或eq f(13,3)a1110，所以aeq f(63,13)或eq f(3,13)，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(f(63,13)，f(16,13)或Beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,13)，f(24,13)所以直线AB的方程为y2eq f(f(16,13)2,f(63,13)1)(x1)或y2eq f(f(24,13)2,f(3,13)1)(x1)即x5y110或5xy30，所以AC所在的直线方程为3x2y70，AB所在的直线方程为x5y110或5xy30.直线L过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到L的

14、距离相等，则直线L的方程是（ 答案：3x2y70，4xy60； ）过点A(3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_ 答案3xy100；解析当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大kOAeq f(1,3)，所求直线的方程为y13(x3)，即3xy100._到两条直线3x4y50与5x12y130的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（ 答案：D；）Ax4y40 B7x4y0Cx4y40或4x8y90 D7x4y0或32x56y650已知直线L1 ：mx8yn0，直线L2：2xmy10，L1 / L2，两平行直线间距离为，而过点A(m，n)(m0，n0)的直线L被L1、L2截得的

15、线段长为，求直线L的方程 答案：或；解：，得，故，又与间距离为，解得或（舍） 故点坐标为再设与的夹角为，斜率为，斜率为，解得或直线的方程为或即或设两条平行线分别经过点(3，0)和(0，4)，它们之间的距离为d，则（ 答案：C；）A0d3B0d4 C0d5D3d5直线方程专题8-3 距离公式（中下）直线L与两直线y1和xy70分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，1)，则直线L的斜率为( 答案：D； 设直线l与直线y1的交点为A(x1，1)，直线l与直线xy70的交点为B(x2，y2)，因为M(1，1)为AB的中点，所以1eq f(1y2,2)即y23，代入直线xy70得x24，因为点B

16、，M都在直线l上，所以kleq f(31,41)eq f(2,3)故选D) Aeq f(3,2) Beq f(2,3) Ceq f(3,2) Deq f(2,3)若P(1，6)，Q(3，0)，延长QP到A，使，那么A的坐标为（ 答案：A；）已知直线L经过点P(2，5)，且斜率为eq f(3,4)(1)求直线L的方程；(2)若直线m与L平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程 答案：3x4y10或3x4y290；解(1)由点斜式方程得，y5eq f(3,4)(x2)，3x4y140(2)设m的方程为3x4yc0，则由平行线间的距离公式得，eq f(|c14|,5)3，c1或293x4y10

17、或3x4y290已知直线L过两条直线3x4y50，2x3y80的交点，且与A（2，3），B（4，5）两点的距离相等，求直线L的方程。（ 答案：交点（1，2），； ）过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程为( 答案：A；解析由已知得，所求直线过(1，2)且垂直于(0，0)与(1，2)两点的连线，所求直线的斜率keq f(1,2)，y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.)Ax2y50 B2xy40 Cx3y70 D3xy50已知ABC中，A(3，2)，B(1，5)，C点在直线3xy30上，若ABC的面积为10，求出点C坐标 答案：C点坐标为或；解：由题得：，（为点到直线的距离）设点坐标为

18、，的方程为，即由，解得或C点坐标为或 已知直线L过点P(3，1)且被两平行直线L1：xy10，L2：xy60截得的线段长为5，求直线L的方程 答案：x3或y1；解设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y110，x2y260，两式相减，得(x1x2)(y1y2)5又(x1x2)2(y1y2)225 联立可得eq blcrc (avs4alco1(x1x25,y1y20)或eq blcrc (avs4alco1(x1x20,y1y25)，由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90，故所求的直线方程为x3或y1.已知直线L1与L2的方程分别为7x8y90，7x8

19、y30.直线L平行于L1，直线L与L1的距离为d1，与L2的距离为d2，且d1d212，求直线L的方程 答案：7x8y210或7x8y50；解因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x8yC0，则d1eq f(|C9|,r(7282)，d2eq f(|C3|,r(7282).又2d1d2，2|C9|C3|.解得C21或C5.故所求直线l的方程为7x8y210或7x8y50.直线方程专题8-4 距离公式（中下）一条直线被直线L1：4xy60和L2：3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程 答案：yeq f(1,6)x；解设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称

20、点为B(x0，y0)，且B在直线l2上，由eq blcrc (avs4alco1(4x0y060，,3x05y060，)解得eq blcrc (avs4alco1(x0f(36,23)，,y0f(6,23)，)所求直线方程为yeq f(f(6,23),f(36,23)xeq f(1,6)x，即x6y0（1）已知A(3，4)，在x轴上找一点P，使 |PA|PB|，并求|PA|的值；（2）已知点M(x，4)与N(2，3)间的距离为，求x的值 答案：，或；解（1）设点为，则有，由得，解得即所求点为且（2）由，又， 得，解得或，故所求值为或ABC的三个顶点是A(1，4)，B(2，1)，C(2，3)(1)求BC边的高所在直线方程；(2)求ABC的面积S 答案：xy30，SABC8；解(1)设BC边的高所在直线为l，由题知kBCeq f(31,22)1，则kleq f(1,kBC)1，又点A(1，4)在直线l上，所以直线l的方程为y41(x1)，即xy30(2)BC所在直线方程为：y11(x2)，