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文档简介
1、(母函数在递归关系中的应用)5.5母函数法 母函数法是求解递归关系的一种重要方法，它不仅可以用来求解常系数线性齐次、非齐次递归关系 而且，更为重要的是，它也可以用来求解非线性递归关系和非常系数递归关系。下面举例说明。解：设 为序列例1求解的递归关系式(5.5) (F0，F1，,Fn，)的普通母函数。并将式(5.5)代入F(x)中有解F(x)得由待定系数法可以确定之值为而1-x-x2=0有两个根故将 代入即于是有因此得解：设 是序列(a1，a2,an)的普通母函数。将式(5.10)代入f(x)中有例2求解递归关系式(5.10)上式中令r=1,n=3,得解f(x)得由(1.22)式知故有因此有 解
2、：这是一个非线性递归关系。设 是序列(a1,a2,an,)的普通母函数，则例3求解递归关系式(5.11)解f(x)得 由于 ,而 故舍去f1(x) 因此有又由式(1.21)知在上式中令z=-4x有因此有故 通常，称满足递归关系式(5.11)的序列(a1,a2,an,)为Catalan序列，称序列 中的数 为Catalan数。 这个数很重要，它在各种不同的范围里经常出现，许多有意义的计数问题都与这个数有关。 解：这是一个非常系数线性齐次递归关系。设 为序列(a1,a2,an,)的普通母函数。例4求解递归关系(5.28)将f(x)微分有将上式两边同乘以x有因此有(注意a0=0,a1=1)而将以上三个式子的两边分别相加并由式(5.28)有故这是一个常微分方程，解得而于是有故由上面的例子可见，用母函数法求解递归关系的方法和步骤为1.用f(x)表示序列(a0,a1,an,)的普通母函数，即由初值条件a1=1，可得c=1故有 2. 利用递归关系an的表达式与式(5.29)之间的关系，将式(5.29)化为关于f(x)的方程(大多数情况是将递归关系an的表达式代入式(5.29)的右端)，即 g(f(x)=0 3.由式(5.
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